Номер 28.21, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.21. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\frac{x^3 - 3x^2 - 10x}{x + 4}};$

2) $y = \sqrt{\frac{-x^3 + 4x^2 + 12x}{x - 1}};$

3) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 3x - 10}{x + 4}} + \sqrt{2x + 5};$

4) $y = \sqrt{\frac{-x^2 + 2x + 15}{x + 7}} - \frac{2}{5 - x}.$

1) $y = \sqrt{\frac{x^3 - 3x^2 - 10x}{x + 4}}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Получаем систему неравенств:
$\begin{cases} \frac{x^3 - 3x^2 - 10x}{x + 4} \ge 0 \\ x + 4 \ne 0 \end{cases}$

Решим неравенство $\frac{x^3 - 3x^2 - 10x}{x + 4} \ge 0$ методом интервалов.
Сначала найдем корни числителя и знаменателя.
Корни числителя: $x^3 - 3x^2 - 10x = 0$
$x(x^2 - 3x - 10) = 0$
Один корень $x_1 = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x - 10 = 0$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
$x_3 = \frac{3 - 7}{2} = -2$
Корни числителя: -2, 0, 5.

Корень знаменателя: $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$.

Неравенство можно переписать в виде: $\frac{x(x + 2)(x - 5)}{x + 4} \ge 0$.
Наносим точки -4, -2, 0, 5 на числовую ось. Точка -4 выколотая (т.к. знаменатель не может быть равен 0), остальные точки закрашенные.
Определяем знаки выражения на интервалах:
$(-\infty; -4)$: знак (+)
$(-4; -2]$: знак (-)
$[-2; 0]$: знак (+)
$[0; 5]$: знак (-)
$[5; +\infty)$: знак (+)
Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup [-2; 0] \cup [5; +\infty)$.

2) $y = \sqrt{\frac{-x^3 + 4x^2 + 12x}{x - 1}}$

Область определения функции задается условиями: выражение под корнем неотрицательно, знаменатель не равен нулю.
$\begin{cases} \frac{-x^3 + 4x^2 + 12x}{x - 1} \ge 0 \\ x - 1 \ne 0 \end{cases}$

Решим неравенство. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{x^3 - 4x^2 - 12x}{x - 1} \le 0$

Найдем корни числителя и знаменателя.
Корни числителя: $x^3 - 4x^2 - 12x = 0$
$x(x^2 - 4x - 12) = 0$
Один корень $x_1 = 0$.
Решим $x^2 - 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета, $x_2 = 6, x_3 = -2$.
Корни числителя: -2, 0, 6.

Корень знаменателя: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Неравенство можно переписать в виде: $\frac{x(x + 2)(x - 6)}{x - 1} \le 0$.
Наносим точки -2, 0, 1, 6 на числовую ось. Точка 1 выколотая, остальные закрашенные.
Определяем знаки на интервалах:
$(-\infty; -2]$: знак (+)
$[-2; 0]$: знак (-)
$[0; 1)$: знак (+)
$(1; 6]$: знак (-)
$[6; +\infty)$: знак (+)
Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю.

Ответ: $x \in [-2; 0] \cup (1; 6]$.

3) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 3x - 10}{x + 4}} + \sqrt{2x + 5}$

Область определения функции является пересечением областей определения двух слагаемых. Это требует одновременного выполнения двух условий:
$\begin{cases} \frac{x^2 - 3x - 10}{x + 4} \ge 0 \\ 2x + 5 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\frac{x^2 - 3x - 10}{x + 4} \ge 0$.
Корни числителя $x^2 - 3x - 10 = 0$ это $x_1 = 5, x_2 = -2$.
Корень знаменателя $x + 4 = 0$ это $x = -4$.
Неравенство: $\frac{(x + 2)(x - 5)}{x + 4} \ge 0$.
Методом интервалов получаем решение: $x \in (-4; -2] \cup [5; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $2x + 5 \ge 0$.
$2x \ge -5$
$x \ge -2.5$
Решение: $x \in [-2.5; +\infty)$.

3. Найдем пересечение полученных решений:
$((-4; -2] \cup [5; +\infty)) \cap [-2.5; +\infty)$.
Пересечение интервала $(-4; -2]$ с $[-2.5; +\infty)$ дает $[-2.5; -2]$.
Пересечение интервала $[5; +\infty)$ с $[-2.5; +\infty)$ дает $[5; +\infty)$.
Объединяем полученные множества.

Ответ: $x \in [-2.5; -2] \cup [5; +\infty)$.

4) $y = \sqrt{\frac{-x^2 + 2x + 15}{x + 7}} - \frac{2}{5 - x}$

Область определения функции задается системой условий:
$\begin{cases} \frac{-x^2 + 2x + 15}{x + 7} \ge 0 \\ 5 - x \ne 0 \end{cases}$

1. Решим неравенство $\frac{-x^2 + 2x + 15}{x + 7} \ge 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{x^2 - 2x - 15}{x + 7} \le 0$.
Корни числителя $x^2 - 2x - 15 = 0$: $x_1 = 5, x_2 = -3$.
Корень знаменателя $x + 7 = 0$: $x = -7$.
Неравенство: $\frac{(x + 3)(x - 5)}{x + 7} \le 0$.
Методом интервалов получаем решение: $x \in (-\infty; -7) \cup [-3; 5]$.

2. Решим условие $5 - x \ne 0$.
$x \ne 5$.

3. Объединим результаты. Из множества $(-\infty; -7) \cup [-3; 5]$ нужно исключить точку $x=5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup [-3; 5)$.