Номер 28.26, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.26. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin\alpha + \sin4\alpha + \sin7\alpha}{\cos\alpha + \cos4\alpha + \cos7\alpha} = \text{tg}4\alpha;$

2) $\frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)} = \text{tg}\alpha;$

3) $\frac{\sin\alpha - 2\cos4\alpha - \sin7\alpha}{\cos\alpha + 2\sin4\alpha - \cos7\alpha} = -\text{ctg}4\alpha;$

4) $\frac{\sin9\alpha + \sin8\alpha - \sin7\alpha - \sin6\alpha}{\cos6\alpha + \cos7\alpha + \cos8\alpha + \cos9\alpha} = \text{tg}\alpha.$

1)Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем первое и третье слагаемые в числителе и знаменателе и применим формулы суммы синусов и суммы косинусов: $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $ и $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.
$ \frac{\sin\alpha + \sin4\alpha + \sin7\alpha}{\cos\alpha + \cos4\alpha + \cos7\alpha} = \frac{(\sin7\alpha + \sin\alpha) + \sin4\alpha}{(\cos7\alpha + \cos\alpha) + \cos4\alpha} = \frac{2\sin\frac{7\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} + \sin4\alpha}{2\cos\frac{7\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} + \cos4\alpha} = \frac{2\sin4\alpha\cos3\alpha + \sin4\alpha}{2\cos4\alpha\cos3\alpha + \cos4\alpha} $
Вынесем общие множители $ \sin4\alpha $ в числителе и $ \cos4\alpha $ в знаменателе за скобки:
$ \frac{\sin4\alpha(2\cos3\alpha + 1)}{\cos4\alpha(2\cos3\alpha + 1)} $
Сократим дробь на общий множитель $ (2\cos3\alpha + 1) $:
$ \frac{\sin4\alpha}{\cos4\alpha} = \text{tg}4\alpha $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ:

2)Преобразуем левую часть тождества, используя формулы суммы синусов и суммы косинусов: $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $ и $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.
$ \frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)} = \frac{2\sin\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}}{2\cos\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}} = \frac{2\sin\frac{2\alpha}{2}\cos\frac{2\beta}{2}}{2\cos\frac{2\alpha}{2}\cos\frac{2\beta}{2}} = \frac{2\sin\alpha\cos\beta}{2\cos\alpha\cos\beta} $
Сократим дробь на $ 2\cos\beta $:
$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ:

3)Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе и применим формулы разности синусов и разности косинусов: $ \sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $ и $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $.
$ \frac{\sin\alpha - 2\cos4\alpha - \sin7\alpha}{\cos\alpha + 2\sin4\alpha - \cos7\alpha} = \frac{(\sin\alpha - \sin7\alpha) - 2\cos4\alpha}{(\cos\alpha - \cos7\alpha) + 2\sin4\alpha} = \frac{2\cos\frac{\alpha+7\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-7\alpha}{2} - 2\cos4\alpha}{-2\sin\frac{\alpha+7\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-7\alpha}{2} + 2\sin4\alpha} $
Учитывая, что $ \sin(-3\alpha) = -\sin3\alpha $:
$ \frac{2\cos4\alpha\sin(-3\alpha) - 2\cos4\alpha}{-2\sin4\alpha\sin(-3\alpha) + 2\sin4\alpha} = \frac{-2\cos4\alpha\sin3\alpha - 2\cos4\alpha}{2\sin4\alpha\sin3\alpha + 2\sin4\alpha} $
Вынесем общие множители за скобки:
$ \frac{-2\cos4\alpha(\sin3\alpha + 1)}{2\sin4\alpha(\sin3\alpha + 1)} $
Сократим дробь на $ 2(\sin3\alpha + 1) $:
$ -\frac{\cos4\alpha}{\sin4\alpha} = -\text{ctg}4\alpha $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ:

4)Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе и применим формулы преобразования суммы и разности в произведение.
Числитель: $ (\sin9\alpha - \sin7\alpha) + (\sin8\alpha - \sin6\alpha) $
$ \sin9\alpha - \sin7\alpha = 2\cos\frac{9\alpha+7\alpha}{2}\sin\frac{9\alpha-7\alpha}{2} = 2\cos8\alpha\sin\alpha $
$ \sin8\alpha - \sin6\alpha = 2\cos\frac{8\alpha+6\alpha}{2}\sin\frac{8\alpha-6\alpha}{2} = 2\cos7\alpha\sin\alpha $
Числитель равен: $ 2\cos8\alpha\sin\alpha + 2\cos7\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha(\cos8\alpha + \cos7\alpha) $.
Знаменатель: $ (\cos9\alpha + \cos6\alpha) + (\cos8\alpha + \cos7\alpha) $
$ \cos9\alpha + \cos6\alpha = 2\cos\frac{9\alpha+6\alpha}{2}\cos\frac{9\alpha-6\alpha}{2} = 2\cos\frac{15\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2} $
$ \cos8\alpha + \cos7\alpha = 2\cos\frac{8\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha-7\alpha}{2} = 2\cos\frac{15\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $
Знаменатель равен: $ 2\cos\frac{15\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2} + 2\cos\frac{15\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos\frac{15\alpha}{2}(\cos\frac{3\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}) $.
Подставим полученные выражения в дробь:
$ \frac{2\sin\alpha(\cos8\alpha + \cos7\alpha)}{2\cos\frac{15\alpha}{2}(\cos\frac{3\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})} $
Преобразуем суммы косинусов в скобках:
$ \cos8\alpha + \cos7\alpha = 2\cos\frac{15\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $
$ \cos\frac{3\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos\frac{\frac{3\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}}{2}\cos\frac{\frac{3\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}}{2} = 2\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2} $
Подставим эти выражения обратно в дробь:
$ \frac{2\sin\alpha(2\cos\frac{15\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2})}{2\cos\frac{15\alpha}{2}(2\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2})} = \frac{4\sin\alpha\cos\frac{15\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{4\cos\alpha\cos\frac{15\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} $
Сократим дробь на $ 4\cos\frac{15\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $:
$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: