Номер 28.25, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.25. Упростите выражение:

1) $2 - \frac{\cos^2 \alpha - 4\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cdot \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{1 - 8\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cdot \cos^2 \frac{\alpha}{2}}$

2) $\frac{\sin^4 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha - \cos^4 \alpha}{\operatorname{tg}2\alpha - 1}$

1) Упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $.

Для начала преобразуем выражение $ 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2} $. Его можно записать как $ (2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2})^2 $.

Применяя формулу синуса двойного угла для угла $ \frac{\alpha}{2} $, получаем: $ 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \sin \alpha $.

Следовательно, $ (2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2})^2 = \sin^2 \alpha $.

Теперь подставим это в исходную дробь.

Числитель дроби: $ \cos^2\alpha - 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $. Это формула косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) $.

Знаменатель дроби: $ 1 - 8\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2} = 1 - 2 \cdot (4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}) = 1 - 2\sin^2\alpha $. Это также одна из форм формулы косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) $.

Теперь вернемся к исходному выражению:

$ 2 - \frac{\cos^2\alpha - 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}}{1 - 8\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}} = 2 - \frac{\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} $

При условии, что $ \cos(2\alpha) \neq 0 $, дробь равна 1.

$ 2 - 1 = 1 $.

Ответ: 1

2) Рассмотрим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Числитель: $ \sin^4 \alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha - \cos^4 \alpha $.

Сгруппируем слагаемые: $ (\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Разложим разность квадратов $ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) $.

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ и формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $, получаем:

$ (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = -(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) \cdot 1 = -\cos(2\alpha) $.

Выражение $ 2\sin\alpha\cos\alpha $ является формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) $.

Таким образом, числитель равен $ \sin(2\alpha) - \cos(2\alpha) $.

Знаменатель: $ \text{tg}2\alpha - 1 $.

Представим тангенс как отношение синуса к косинусу:

$ \text{tg}2\alpha - 1 = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} - 1 = \frac{\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} $.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$ \frac{\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)}{\frac{\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}} = (\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)) \cdot \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)} $.

При условии, что $ \sin(2\alpha) - \cos(2\alpha) \neq 0 $ (то есть $ \text{tg}2\alpha \neq 1 $), мы можем сократить это выражение.

В результате получаем $ \cos(2\alpha) $.

Ответ: $ \cos(2\alpha) $