Номер 28.24, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.24. Мяч подбрасывается вертикально вверх. Его высоту над землей вычисляют по формуле $h(t) = -3t^2 + 12t$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Используя программу “Живая геометрия”, постройте график этой функции. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 9 м?

Постройте график этой функции.

Высота мяча над землей задается квадратичной функцией $h(t) = -3t^2 + 12t$. Графиком этой функции является парабола.

Поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный ($-3 < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы, которая соответствует максимальной высоте подъема мяча.

Абсцисса вершины (время достижения максимальной высоты) вычисляется по формуле $t_в = -b / (2a)$:

$t_в = -12 / (2 \cdot (-3)) = -12 / (-6) = 2$ секунды.

Ордината вершины (максимальная высота) равна значению функции в этой точке:

$h(2) = -3(2)^2 + 12(2) = -3 \cdot 4 + 24 = -12 + 24 = 12$ метров.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2; 12)$.

Найдем точки пересечения графика с осью времени (когда мяч находится на земле, $h(t) = 0$):

$-3t^2 + 12t = 0$

$-3t(t - 4) = 0$

Отсюда $t_1 = 0$ (момент броска) и $t_2 = 4$ (момент падения).

Таким образом, мяч находился в полете 4 секунды. На основе этих данных строим график функции на интервале времени от $t=0$ до $t=4$.

Ответ: График зависимости высоты мяча от времени представлен выше.

Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 9 м?

Чтобы найти время, в течение которого мяч находился на высоте не менее 9 метров, нужно решить неравенство $h(t) \ge 9$. На графике это соответствует участку параболы, который лежит на и выше пунктирной линии $h=9$.

$-3t^2 + 12t \ge 9$

Перенесем все члены в левую часть:

$-3t^2 + 12t - 9 \ge 0$

Разделим обе части неравенства на $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$t^2 - 4t + 3 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни:

$t_1 = 1$, $t_2 = 3$

Поскольку парабола $y = t^2 - 4t + 3$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $t^2 - 4t + 3 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $1 \le t \le 3$.

Это означает, что мяч находился на высоте не менее 9 метров в промежутке времени от 1-й до 3-й секунды.

Чтобы найти общую продолжительность этого периода, вычтем начальное время из конечного:

$\Delta t = 3 - 1 = 2$ секунды.

Ответ: 2 секунды.