Номер 28.14, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.14. Найдите значение тригонометрического выражения:

1) $\sin 15^\circ \cos 7^\circ - \cos 11^\circ \cos 79^\circ - \sin 4^\circ \sin 86^\circ;$

2) $\cos 17^\circ \cos 73^\circ - \sin 13^\circ \cos 21^\circ - \cos 4^\circ \cos 86^\circ.$

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

$\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$
$\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$
$\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$

Преобразуем каждый член исходного выражения $\sin15^\circ \cos 7^\circ - \cos11^\circ \cos79^\circ - \sin4^\circ \sin86^\circ$ по отдельности:

$\sin15^\circ \cos7^\circ = \frac{1}{2}(\sin(15^\circ+7^\circ) + \sin(15^\circ-7^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin22^\circ + \sin8^\circ)$.

$\cos11^\circ \cos79^\circ = \frac{1}{2}(\cos(11^\circ+79^\circ) + \cos(11^\circ-79^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos90^\circ + \cos(-68^\circ)) = \frac{1}{2}(0 + \cos68^\circ) = \frac{1}{2}\cos68^\circ$.

$\sin4^\circ \sin86^\circ = \frac{1}{2}(\cos(4^\circ-86^\circ) - \cos(4^\circ+86^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(-82^\circ) - \cos90^\circ) = \frac{1}{2}(\cos82^\circ - 0) = \frac{1}{2}\cos82^\circ$.

Теперь подставим полученные результаты обратно в выражение:

$\frac{1}{2}(\sin22^\circ + \sin8^\circ) - \frac{1}{2}\cos68^\circ - \frac{1}{2}\cos82^\circ = \frac{1}{2}\sin22^\circ + \frac{1}{2}\sin8^\circ - \frac{1}{2}\cos68^\circ - \frac{1}{2}\cos82^\circ$.

Далее применим формулы приведения $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$:

$\cos68^\circ = \sin(90^\circ - 68^\circ) = \sin22^\circ$
$\cos82^\circ = \sin(90^\circ - 82^\circ) = \sin8^\circ$

Подставив эти значения, получаем:

$\frac{1}{2}\sin22^\circ + \frac{1}{2}\sin8^\circ - \frac{1}{2}\sin22^\circ - \frac{1}{2}\sin8^\circ = 0$.

Ответ: $0$

2) Аналогично первому пункту, применим формулы преобразования произведения в сумму к выражению $\cos17^\circ \cos73^\circ - \sin13^\circ \cos21^\circ - \cos4^\circ \cos86^\circ$.

Преобразуем каждый член выражения:

$\cos17^\circ \cos73^\circ = \frac{1}{2}(\cos(17^\circ+73^\circ) + \cos(17^\circ-73^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos90^\circ + \cos(-56^\circ)) = \frac{1}{2}(0 + \cos56^\circ) = \frac{1}{2}\cos56^\circ$.

$\sin13^\circ \cos21^\circ = \frac{1}{2}(\sin(13^\circ+21^\circ) + \sin(13^\circ-21^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin34^\circ + \sin(-8^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin34^\circ - \sin8^\circ)$.

$\cos4^\circ \cos86^\circ = \frac{1}{2}(\cos(4^\circ+86^\circ) + \cos(4^\circ-86^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos90^\circ + \cos(-82^\circ)) = \frac{1}{2}(0 + \cos82^\circ) = \frac{1}{2}\cos82^\circ$.

Подставим преобразованные члены в исходное выражение:

$\frac{1}{2}\cos56^\circ - \left( \frac{1}{2}(\sin34^\circ - \sin8^\circ) \right) - \frac{1}{2}\cos82^\circ = \frac{1}{2}\cos56^\circ - \frac{1}{2}\sin34^\circ + \frac{1}{2}\sin8^\circ - \frac{1}{2}\cos82^\circ$.

Теперь воспользуемся формулами приведения $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$:

$\cos56^\circ = \sin(90^\circ - 56^\circ) = \sin34^\circ$
$\cos82^\circ = \sin(90^\circ - 82^\circ) = \sin8^\circ$

Подставим эти равенства в наше выражение и получим:

$\frac{1}{2}\sin34^\circ - \frac{1}{2}\sin34^\circ + \frac{1}{2}\sin8^\circ - \frac{1}{2}\sin8^\circ = 0$.

Ответ: $0$