Номер 28.11, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.11. Докажите, что верно равенство:

1)

$cos75^\circ \cdot cos15^\circ = \frac{1}{4};$

2)

$sin105^\circ \cdot sin75^\circ = \frac{1}{4};$

3)

$4 \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = 1 - 4\sin^2\alpha;$

4)

$4\sin\left(\frac{\pi}{6} - \beta\right) \cos\left(\frac{\pi}{6} - \beta\right) = 3 - 4 \cos^2 \beta;$

1) Для доказательства равенства $\cos75^\circ \cdot \cos15^\circ = \frac{1}{4}$ воспользуемся формулой приведения и формулой синуса двойного угла.

Используем формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

$\cos75^\circ = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin15^\circ$.

Тогда исходное выражение принимает вид:

$\cos75^\circ \cdot \cos15^\circ = \sin15^\circ \cdot \cos15^\circ$.

Теперь применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$. Из нее следует, что $\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Подставим $\alpha = 15^\circ$:

$\sin15^\circ \cdot \cos15^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 15^\circ) = \frac{1}{2}\sin(30^\circ)$.

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Таким образом, мы доказали, что $\cos75^\circ \cdot \cos15^\circ = \frac{1}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

2) Для проверки равенства $\sin105^\circ \cdot \sin75^\circ = \frac{1}{4}$ преобразуем его левую часть, используя формулу произведения синусов: $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.

Подставим $\alpha = 105^\circ$ и $\beta = 75^\circ$:

$\sin105^\circ \sin75^\circ = \frac{1}{2}(\cos(105^\circ - 75^\circ) - \cos(105^\circ + 75^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(30^\circ) - \cos(180^\circ))$.

Значения косинусов для данных углов известны: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(180^\circ) = -1$.

Подставляем эти значения в выражение:

$\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - (-1)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$.

Таким образом, левая часть равенства равна $\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$, а не $\frac{1}{4}$, как указано в условии.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} \neq \frac{1}{4}$.

Следовательно, в условии задачи, вероятно, допущена опечатка. Равенство в представленном виде неверно.

Ответ: Равенство неверно, так как $\sin105^\circ \cdot \sin75^\circ = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$.

3) Для проверки равенства $4 \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = 1 - 4\sin^2\alpha$ преобразуем левую часть.

Воспользуемся формулой произведения косинусов: $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y))$.

Пусть $x = \frac{\pi}{6} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{6} - \alpha$. Тогда:

$x + y = (\frac{\pi}{6} + \alpha) + (\frac{\pi}{6} - \alpha) = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

$x - y = (\frac{\pi}{6} + \alpha) - (\frac{\pi}{6} - \alpha) = 2\alpha$

Подставляем в левую часть исходного равенства:

$4 \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = 4 \cdot \frac{1}{2}(\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(2\alpha)) = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(2\alpha))$.

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

$2(\frac{1}{2} + \cos(2\alpha)) = 1 + 2\cos(2\alpha)$.

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

$1 + 2(1 - 2\sin^2\alpha) = 1 + 2 - 4\sin^2\alpha = 3 - 4\sin^2\alpha$.

Таким образом, левая часть тождества равна $3 - 4\sin^2\alpha$, а не $1 - 4\sin^2\alpha$.

$3 - 4\sin^2\alpha \neq 1 - 4\sin^2\alpha$.

Следовательно, в условии задачи, вероятно, допущена опечатка. Равенство в представленном виде неверно.

Ответ: Равенство неверно, так как $4 \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = 3 - 4\sin^2\alpha$.

4) Для проверки равенства $4\sin(\frac{\pi}{6} - \beta) \cos(\frac{\pi}{6} - \beta) = 3 - 4 \cos^2 \beta$ преобразуем обе части.

Преобразуем левую часть (ЛЧ) с помощью формулы синуса двойного угла $2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$.

Пусть $\theta = \frac{\pi}{6} - \beta$.

ЛЧ $= 2 \cdot (2\sin(\frac{\pi}{6} - \beta)\cos(\frac{\pi}{6} - \beta)) = 2\sin(2(\frac{\pi}{6} - \beta)) = 2\sin(\frac{\pi}{3} - 2\beta)$.

Проверим, является ли данное равенство тождеством. Для этого выберем контрольное значение, например, $\beta=0$.

При $\beta=0$ левая часть равна:

$4\sin(\frac{\pi}{6})\cos(\frac{\pi}{6}) = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

При $\beta=0$ правая часть равна:

$3 - 4\cos^2(0) = 3 - 4(1)^2 = -1$.

Так как $\sqrt{3} \neq -1$, равенство не является тождеством и неверно для всех $\beta$.

Следовательно, в условии задачи, вероятно, допущена опечатка.

Ответ: Равенство неверно.