Страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

8.15. 1) Сколько разных комплектов одежды, состоящих из куртки и брюк, можно составить из 4 разных курток и 4 разных брюк, если они все подходят друг другу?

2) В продуктовом магазине имеются колбасные изделия 4-х сортов, конфеты 2-х сортов и хлеб 3-х сортов. Сколькими способами можно приобрести 1 кг колбасы, 0,5 кг конфет и 1 булку хлеба?

1) Для решения этой задачи применяется комбинаторное правило умножения. Чтобы составить один комплект одежды, нужно выбрать одну куртку и одни брюки. Так как выбор куртки не зависит от выбора брюк, общее количество возможных комплектов равно произведению числа вариантов для каждого элемента одежды.

Количество вариантов выбора куртки: 4.

Количество вариантов выбора брюк: 4.

Общее количество разных комплектов одежды рассчитывается по формуле:

$N = 4 \times 4 = 16$

Таким образом, можно составить 16 разных комплектов одежды.

Ответ: 16.

2) Данная задача также решается с помощью правила умножения. Покупка состоит из трех независимых выборов: выбор сорта колбасы, выбор сорта конфет и выбор сорта хлеба. Чтобы найти общее количество способов совершить покупку, необходимо перемножить количество доступных вариантов для каждого товара.

Количество сортов колбасных изделий для выбора: 4.

Количество сортов конфет для выбора: 2.

Количество сортов хлеба для выбора: 3.

Общее количество способов сделать покупку равно:

$N = 4 \times 2 \times 3 = 24$

Следовательно, существует 24 способа приобрести указанный набор продуктов.

Ответ: 24.

8.16. Для множества ${1, 2, 3, 4}$ составьте все его подмножества: одноэлементные, двухэлементные, трехэлементные.

Сколько подмножеств получилось, которые не содержат ни одного элемента?

Сколько подмножеств содержат по одному элементу, по два элемента, по три элемента, по четыре элемента?

Сколько всего подмножеств получилось?

Исходное множество: $M = \{1, 2, 3, 4\}$. Подмножество — это множество, все элементы которого принадлежат исходному множеству.

одноэлементные:
Это подмножества, состоящие из одного элемента исходного множества. Для их составления мы берем каждый элемент по отдельности.
$\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}$.
Всего их 4. Их количество можно вычислить с помощью формулы числа сочетаний $C_n^k$, где $n=4$ (число элементов в исходном множестве), а $k=1$ (число элементов в подмножестве): $C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.
Ответ: $\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}$.

двухэлементные:
Это подмножества, состоящие из двух элементов. Составляем все возможные пары без повторений и без учета порядка.
$\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{3, 4\}$.
Всего их 6. По формуле числа сочетаний при $n=4$ и $k=2$: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$.
Ответ: $\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{3, 4\}$.

трехэлементные:
Это подмножества, состоящие из трех элементов. Проще всего их составить, убирая по одному элементу из исходного множества.
$\{1, 2, 3\}$ (убрали 4), $\{1, 2, 4\}$ (убрали 3), $\{1, 3, 4\}$ (убрали 2), $\{2, 3, 4\}$ (убрали 1).
Всего их 4. По формуле числа сочетаний при $n=4$ и $k=3$: $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{24}{6 \cdot 1} = 4$.
Ответ: $\{1, 2, 3\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 3, 4\}, \{2, 3, 4\}$.

Сколько подмножеств получилось, которые не содержат ни одного элемента?
Существует только одно подмножество, которое не содержит ни одного элемента — это пустое множество. Оно обозначается как $\emptyset$ или $\{\}$. Пустое множество является подмножеством любого множества.
Ответ: 1 подмножество.

Сколько подмножеств содержат по одному элементу, по два элемента, по три элемента, по четыре элемента?
- Подмножеств, содержащих по одному элементу: 4 (это одноэлементные подмножества $C_4^1=4$).
- Подмножеств, содержащих по два элемента: 6 (это двухэлементные подмножества $C_4^2=6$).
- Подмножеств, содержащих по три элемента: 4 (это трехэлементные подмножества $C_4^3=4$).
- Подмножеств, содержащих по четыре элемента: 1 (это само исходное множество $\{1, 2, 3, 4\}$, $C_4^4=1$).
Ответ: По одному элементу — 4 подмножества, по два элемента — 6, по три элемента — 4, по четыре элемента — 1.

Сколько всего подмножеств получилось?
Общее число подмножеств — это сумма количеств всех возможных подмножеств: с 0, 1, 2, 3 и 4 элементами.
Всего = (подмножества с 0 эл.) + (с 1 эл.) + (с 2 эл.) + (с 3 эл.) + (с 4 эл.) = $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$.
Также общее число всех подмножеств для множества из $n$ элементов равно $2^n$. Для нашего множества из 4 элементов общее число подмножеств равно $2^4 = 16$.
Ответ: 16 подмножеств.

28.6. Упростите выражение:

1) $2\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right);$

2) $2\sin\left(\beta + \frac{2\pi}{3}\right)\sin\left(\beta + \frac{\pi}{3}\right).$

1) Для упрощения выражения $2\sin(\alpha + \frac{\pi}{3})\cos(\alpha - \frac{\pi}{3})$ воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (формула произведения синуса на косинус):

$2\sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y)$

В нашем случае $x = \alpha + \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha - \frac{\pi}{3}$.

Найдем сумму и разность аргументов:

$x+y = (\alpha + \frac{\pi}{3}) + (\alpha - \frac{\pi}{3}) = 2\alpha$

$x-y = (\alpha + \frac{\pi}{3}) - (\alpha - \frac{\pi}{3}) = \alpha + \frac{\pi}{3} - \alpha + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

Подставим эти значения в формулу:

$2\sin(\alpha + \frac{\pi}{3})\cos(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \sin(2\alpha) + \sin(\frac{2\pi}{3})$

Известно, что значение $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, итоговое выражение равно:

$\sin(2\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\sin(2\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Для упрощения выражения $2\sin(\beta + \frac{2\pi}{3})\sin(\beta + \frac{\pi}{3})$ воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов:

$2\sin x \sin y = \cos(x-y) - \cos(x+y)$

В нашем случае $x = \beta + \frac{2\pi}{3}$ и $y = \beta + \frac{\pi}{3}$.

Найдем разность и сумму аргументов:

$x-y = (\beta + \frac{2\pi}{3}) - (\beta + \frac{\pi}{3}) = \beta + \frac{2\pi}{3} - \beta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$

$x+y = (\beta + \frac{2\pi}{3}) + (\beta + \frac{\pi}{3}) = 2\beta + \frac{3\pi}{3} = 2\beta + \pi$

Подставим эти значения в формулу:

$2\sin(\beta + \frac{2\pi}{3})\sin(\beta + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(2\beta + \pi)$

Упростим полученное выражение. Значение $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Для второго слагаемого используем формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$, поэтому $\cos(2\beta + \pi) = -\cos(2\beta)$.

Тогда выражение принимает вид:

$\frac{1}{2} - (-\cos(2\beta)) = \frac{1}{2} + \cos(2\beta)$

Ответ: $\frac{1}{2} + \cos(2\beta)$.

28.7. Докажите справедливость равенства:

1) $4\cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{3} + 2\cos\alpha;$

2) $2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}\right) = 1 - \sqrt{2}\sin\alpha;$

3) $\cos^2(45^\circ - x) - \cos^2(60^\circ + x) - \cos75^\circ\sin(75^\circ - 2x) = \sin2x;$

4) $\sin^2(45^\circ + x) - \sin^2(30^\circ - x) - \cos75^\circ \cdot \cos(15^\circ + 2x) = \sin2x.$

1) Докажем тождество $4\cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{3} + 2\cos\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу произведения косинусов $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$.

Пусть $A = \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}$ и $B = \frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}$.

Тогда $A+B = \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

И $A-B = \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$.

Подставим эти значения в левую часть исходного равенства:

$4\cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right) = 2 \cdot \left(2\cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = 2(\cos(A+B) + \cos(A-B)) = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha\right)$.

Зная, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos\alpha\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\cos\alpha = \sqrt{3} + 2\cos\alpha$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано путем применения формулы произведения косинусов и упрощения выражения.

2) Докажем тождество $2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}\right) = 1 - \sqrt{2}\sin\alpha$.

Преобразуем левую часть, используя формулу произведения синуса на косинус $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.

Пусть $A = \frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}$ и $B = \frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}$.

Тогда $A+B = \left(\frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.

И $A-B = \left(\frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}\right) = -\frac{2\alpha}{2} = -\alpha$.

Подставим эти значения в левую часть исходного равенства:

$2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{2} \cdot \left(2\sin\left(\frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}\right)\right) = \sqrt{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B)) = \sqrt{2}\left(\sin\frac{\pi}{4} + \sin(-\alpha)\right)$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и значение $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin\alpha\right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}\sin\alpha = \frac{2}{2} - \sqrt{2}\sin\alpha = 1 - \sqrt{2}\sin\alpha$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано с помощью формулы произведения синуса на косинус и последующих упрощений.

3) Докажем тождество $\cos^2(45^\circ - x) - \cos^2(60^\circ + x) - \cos75^\circ\sin(75^\circ - 2x) = \sin2x$.

Преобразуем левую часть по частям. Сначала разность квадратов косинусов, используя формулу понижения степени $\cos^2A = \frac{1+\cos2A}{2}$:

$\cos^2(45^\circ - x) - \cos^2(60^\circ + x) = \frac{1+\cos(2(45^\circ-x))}{2} - \frac{1+\cos(2(60^\circ+x))}{2} = \frac{1+\cos(90^\circ-2x) - (1+\cos(120^\circ+2x))}{2}$.

Применяя формулу приведения $\cos(90^\circ-\beta)=\sin\beta$, получаем:

$\frac{1+\sin2x - 1-\cos(120^\circ+2x)}{2} = \frac{\sin2x - \cos(120^\circ+2x)}{2}$.

Теперь преобразуем третье слагаемое, используя формулу произведения косинуса на синус $2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$:

$\cos75^\circ\sin(75^\circ - 2x) = \frac{1}{2}(\sin(75^\circ+75^\circ-2x) - \sin(75^\circ-(75^\circ-2x))) = \frac{1}{2}(\sin(150^\circ-2x) - \sin(2x))$.

Подставим все в левую часть исходного равенства:

$\frac{\sin2x - \cos(120^\circ+2x)}{2} - \frac{\sin(150^\circ-2x) - \sin2x}{2} = \frac{1}{2}(\sin2x - \cos(120^\circ+2x) - \sin(150^\circ-2x) + \sin2x)$.

$\frac{1}{2}(2\sin2x - \cos(120^\circ+2x) - \sin(150^\circ-2x))$.

Раскроем скобки, используя формулы суммы и разности углов:

$\cos(120^\circ+2x) = \cos120^\circ\cos2x - \sin120^\circ\sin2x = -\frac{1}{2}\cos2x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x$.

$\sin(150^\circ-2x) = \sin150^\circ\cos2x - \cos150^\circ\sin2x = \frac{1}{2}\cos2x - (-\frac{\sqrt{3}}{2})\sin2x = \frac{1}{2}\cos2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x$.

Подставляем обратно:

$\frac{1}{2}(2\sin2x - (-\frac{1}{2}\cos2x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x) - (\frac{1}{2}\cos2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x)) = \frac{1}{2}(2\sin2x + \frac{1}{2}\cos2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x - \frac{1}{2}\cos2x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x)$.

После сокращения взаимно уничтожающихся слагаемых остается: $\frac{1}{2}(2\sin2x) = \sin2x$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано с помощью формул понижения степени, произведения тригонометрических функций и формул сложения/вычитания углов.

4) Докажем тождество $\sin^2(45^\circ + x) - \sin^2(30^\circ - x) - \cos75^\circ \cos(15^\circ + 2x) = \sin2x$.

Преобразуем левую часть. Для разности квадратов синусов используем формулу $\sin^2A - \sin^2B = \sin(A+B)\sin(A-B)$.

Пусть $A = 45^\circ + x$ и $B = 30^\circ - x$.

Тогда $A+B = (45^\circ + x) + (30^\circ - x) = 75^\circ$.

И $A-B = (45^\circ + x) - (30^\circ - x) = 15^\circ + 2x$.

Следовательно, $\sin^2(45^\circ + x) - \sin^2(30^\circ - x) = \sin(75^\circ)\sin(15^\circ + 2x)$.

Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

$\sin(75^\circ)\sin(15^\circ + 2x) - \cos75^\circ \cos(15^\circ + 2x)$.

Вынесем минус за скобки:

$-(\cos75^\circ \cos(15^\circ + 2x) - \sin75^\circ \sin(15^\circ + 2x))$.

Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$, где $A = 75^\circ$ и $B = 15^\circ + 2x$.

Получаем: $-\cos(75^\circ + (15^\circ + 2x)) = -\cos(90^\circ + 2x)$.

Используя формулу приведения $\cos(90^\circ + \beta) = -\sin\beta$, имеем:

$-(-\sin2x) = \sin2x$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано с помощью формулы разности квадратов синусов, формулы косинуса суммы и формулы приведения.

28.8. Верно ли равенство:

1) $\cos100^\circ \cos110^\circ + \cos20^\circ \cos10^\circ = \cos10^\circ$;

2) $2\cos47^\circ \cos73^\circ - \sin64^\circ = -0,5?$;

1) Для проверки верности равенства $ \cos100^\circ \cos110^\circ + \cos20^\circ \cos10^\circ = \cos10^\circ $ преобразуем его левую часть.
Используем формулы приведения для углов $100^\circ$ и $110^\circ$:
$ \cos100^\circ = \cos(90^\circ + 10^\circ) = -\sin10^\circ $
$ \cos110^\circ = \cos(90^\circ + 20^\circ) = -\sin20^\circ $
Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:
$ (-\sin10^\circ)(-\sin20^\circ) + \cos20^\circ \cos10^\circ = \sin10^\circ \sin20^\circ + \cos10^\circ \cos20^\circ $
Полученное выражение соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.
Применим эту формулу, где $ \alpha = 20^\circ $ и $ \beta = 10^\circ $:
$ \cos10^\circ \cos20^\circ + \sin10^\circ \sin20^\circ = \cos(20^\circ - 10^\circ) = \cos10^\circ $
В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна правой: $ \cos10^\circ = \cos10^\circ $.
Ответ: да, равенство верно.

2) Для проверки верности равенства $ 2\cos47^\circ \cos73^\circ - \sin64^\circ = -0,5 $ преобразуем его левую часть.
Для произведения косинусов $ 2\cos47^\circ \cos73^\circ $ применим формулу преобразования произведения в сумму: $ 2\cos\alpha \cos\beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) $.
$ 2\cos47^\circ \cos73^\circ = \cos(73^\circ + 47^\circ) + \cos(73^\circ - 47^\circ) = \cos120^\circ + \cos26^\circ $
Теперь подставим это в левую часть исходного равенства:
$ (\cos120^\circ + \cos26^\circ) - \sin64^\circ $
Вычислим значение $ \cos120^\circ $:
$ \cos120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos60^\circ = - \frac{1}{2} = -0,5 $
Теперь преобразуем $ \sin64^\circ $ с помощью формулы приведения:
$ \sin64^\circ = \sin(90^\circ - 26^\circ) = \cos26^\circ $
Подставим полученные значения обратно в выражение:
$ -0,5 + \cos26^\circ - \cos26^\circ = -0,5 $
В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства равна правой: $ -0,5 = -0,5 $.
Ответ: да, равенство верно.

28.9. Запишите в виде суммы выражение:

1) $8\cos\beta \cdot \cos2\beta \cdot \cos4\beta$;

2) $\cos3\beta \cdot \cos5\beta \cdot \cos8\beta$;

3) $4\sin\beta \cdot \sin4\beta \cdot \cos5\beta$;

4) $2\cos\alpha \cdot \sin2\alpha \cdot \cos6\alpha$;

5) $\sin\alpha \cdot \sin3\alpha \cdot \sin6\alpha$;

6) $16\sin\alpha \cdot \cos2\alpha \cdot \sin10\alpha$.

1) Для преобразования произведения $8\cos\beta \cdot \cos2\beta \cdot \cos4\beta$ в сумму воспользуемся формулой произведения косинусов $2\cos A \cos B = \cos(A - B) + \cos(A + B)$.
Сгруппируем множители: $8\cos\beta \cos2\beta \cos4\beta = 4\cos4\beta \cdot (2\cos\beta \cos2\beta)$.
Применим формулу к выражению в скобках:
$2\cos\beta \cos2\beta = \cos(2\beta - \beta) + \cos(2\beta + \beta) = \cos\beta + \cos3\beta$.
Подставим результат обратно в исходное выражение:
$4\cos4\beta(\cos\beta + \cos3\beta) = 4\cos4\beta\cos\beta + 4\cos4\beta\cos3\beta$.
Теперь применим формулу произведения косинусов к каждому слагаемому:
$4\cos4\beta\cos\beta = 2 \cdot (2\cos4\beta\cos\beta) = 2(\cos(4\beta - \beta) + \cos(4\beta + \beta)) = 2(\cos3\beta + \cos5\beta)$.
$4\cos4\beta\cos3\beta = 2 \cdot (2\cos4\beta\cos3\beta) = 2(\cos(4\beta - 3\beta) + \cos(4\beta + 3\beta)) = 2(\cos\beta + \cos7\beta)$.
Сложим полученные выражения:
$2(\cos3\beta + \cos5\beta) + 2(\cos\beta + \cos7\beta) = 2\cos3\beta + 2\cos5\beta + 2\cos\beta + 2\cos7\beta$.
Ответ: $2\cos\beta + 2\cos3\beta + 2\cos5\beta + 2\cos7\beta$.

2) Преобразуем выражение $\cos3\beta \cdot \cos5\beta \cdot \cos8\beta$ в сумму.
Сначала сгруппируем первые два множителя и применим формулу $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B))$:
$\cos3\beta \cos5\beta = \frac{1}{2}(\cos(5\beta-3\beta) + \cos(5\beta+3\beta)) = \frac{1}{2}(\cos2\beta + \cos8\beta)$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{1}{2}(\cos2\beta + \cos8\beta)\cos8\beta = \frac{1}{2}\cos2\beta\cos8\beta + \frac{1}{2}\cos^2 8\beta$.
Преобразуем каждое слагаемое. Для первого используем формулу произведения косинусов, для второго — формулу понижения степени $\cos^2 A = \frac{1+\cos2A}{2}$.
$\frac{1}{2}\cos2\beta\cos8\beta = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\cos(8\beta-2\beta) + \cos(8\beta+2\beta)) = \frac{1}{4}(\cos6\beta + \cos10\beta)$.
$\frac{1}{2}\cos^2 8\beta = \frac{1}{2} \cdot \frac{1+\cos(2 \cdot 8\beta)}{2} = \frac{1}{4}(1 + \cos16\beta)$.
Складывая полученные части, получаем:
$\frac{1}{4}(\cos6\beta + \cos10\beta) + \frac{1}{4}(1 + \cos16\beta) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos6\beta + \frac{1}{4}\cos10\beta + \frac{1}{4}\cos16\beta$.
Ответ: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos6\beta + \frac{1}{4}\cos10\beta + \frac{1}{4}\cos16\beta$.

3) Для преобразования выражения $4\sin\beta \cdot \sin4\beta \cdot \cos5\beta$ используем формулу произведения синусов $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$.
$4\sin\beta \sin4\beta \cos5\beta = 2 \cdot (2\sin\beta \sin4\beta) \cos5\beta$.
$2\sin\beta \sin4\beta = \cos(4\beta-\beta) - \cos(4\beta+\beta) = \cos3\beta - \cos5\beta$.
Подставляем в выражение:
$2(\cos3\beta - \cos5\beta)\cos5\beta = 2\cos3\beta\cos5\beta - 2\cos^2 5\beta$.
Преобразуем каждое слагаемое, используя формулы $2\cos A \cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$ и $2\cos^2 A = 1+\cos2A$:
$2\cos3\beta\cos5\beta = \cos(5\beta-3\beta) + \cos(5\beta+3\beta) = \cos2\beta + \cos8\beta$.
$2\cos^2 5\beta = 1 + \cos(2 \cdot 5\beta) = 1 + \cos10\beta$.
Вычитая второе из первого, получаем:
$(\cos2\beta + \cos8\beta) - (1 + \cos10\beta) = \cos2\beta + \cos8\beta - 1 - \cos10\beta$.
Ответ: $-1 + \cos2\beta + \cos8\beta - \cos10\beta$.

4) Преобразуем $2\cos\alpha \cdot \sin2\alpha \cdot \cos6\alpha$.
Сгруппируем $2\cos\alpha \sin2\alpha$ и применим формулу $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.
$2\sin2\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha+\alpha) + \sin(2\alpha-\alpha) = \sin3\alpha + \sin\alpha$.
Подставим в выражение:
$(\sin3\alpha + \sin\alpha)\cos6\alpha = \sin3\alpha\cos6\alpha + \sin\alpha\cos6\alpha$.
К каждому слагаемому применим формулу $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$:
$\sin3\alpha\cos6\alpha = \frac{1}{2}(\sin(3\alpha+6\alpha) + \sin(3\alpha-6\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin9\alpha - \sin3\alpha)$.
$\sin\alpha\cos6\alpha = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+6\alpha) + \sin(\alpha-6\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin7\alpha - \sin5\alpha)$.
Сложим результаты:
$\frac{1}{2}(\sin9\alpha - \sin3\alpha) + \frac{1}{2}(\sin7\alpha - \sin5\alpha) = \frac{1}{2}(\sin9\alpha + \sin7\alpha - \sin5\alpha - \sin3\alpha)$.
Ответ: $-\frac{1}{2}\sin3\alpha - \frac{1}{2}\sin5\alpha + \frac{1}{2}\sin7\alpha + \frac{1}{2}\sin9\alpha$.

5) Преобразуем $\sin\alpha \cdot \sin3\alpha \cdot \sin6\alpha$ в сумму.
Используем формулу $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$ для первых двух множителей:
$\sin\alpha \sin3\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha-\alpha) - \cos(3\alpha+\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos2\alpha - \cos4\alpha)$.
Подставим в выражение:
$\frac{1}{2}(\cos2\alpha - \cos4\alpha)\sin6\alpha = \frac{1}{2}\cos2\alpha\sin6\alpha - \frac{1}{2}\cos4\alpha\sin6\alpha$.
К каждому слагаемому применим формулу $\cos A \sin B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) - \sin(A-B))$:
$\frac{1}{2}\cos2\alpha\sin6\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\sin(2\alpha+6\alpha) - \sin(2\alpha-6\alpha)) = \frac{1}{4}(\sin8\alpha + \sin4\alpha)$.
$\frac{1}{2}\cos4\alpha\sin6\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\sin(4\alpha+6\alpha) - \sin(4\alpha-6\alpha)) = \frac{1}{4}(\sin10\alpha + \sin2\alpha)$.
Вычтем второе из первого:
$\frac{1}{4}(\sin8\alpha + \sin4\alpha) - \frac{1}{4}(\sin10\alpha + \sin2\alpha) = \frac{1}{4}(\sin8\alpha + \sin4\alpha - \sin10\alpha - \sin2\alpha)$.
Ответ: $-\frac{1}{4}\sin2\alpha + \frac{1}{4}\sin4\alpha + \frac{1}{4}\sin8\alpha - \frac{1}{4}\sin10\alpha$.

6) Преобразуем $16\sin\alpha \cdot \cos2\alpha \cdot \sin10\alpha$.
Сгруппируем синусы: $16(\sin\alpha \sin10\alpha)\cos2\alpha$.
Применим формулу $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$:
$\sin\alpha \sin10\alpha = \frac{1}{2}(\cos(10\alpha-\alpha) - \cos(10\alpha+\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos9\alpha - \cos11\alpha)$.
Подставим в выражение:
$16 \cdot \frac{1}{2}(\cos9\alpha - \cos11\alpha)\cos2\alpha = 8(\cos9\alpha - \cos11\alpha)\cos2\alpha = 8\cos9\alpha\cos2\alpha - 8\cos11\alpha\cos2\alpha$.
Применим формулу $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B))$:
$8\cos9\alpha\cos2\alpha = 4(\cos(9\alpha-2\alpha) + \cos(9\alpha+2\alpha)) = 4(\cos7\alpha + \cos11\alpha)$.
$8\cos11\alpha\cos2\alpha = 4(\cos(11\alpha-2\alpha) + \cos(11\alpha+2\alpha)) = 4(\cos9\alpha + \cos13\alpha)$.
Вычтем второе из первого:
$4(\cos7\alpha + \cos11\alpha) - 4(\cos9\alpha + \cos13\alpha) = 4\cos7\alpha + 4\cos11\alpha - 4\cos9\alpha - 4\cos13\alpha$.
Ответ: $4\cos7\alpha - 4\cos9\alpha + 4\cos11\alpha - 4\cos13\alpha$.

28.10. Найдите значение выражения:

1) $ \cos{8a} + \cos{6a} + 2 \sin{5a} \cdot \sin{3a} $, если $ \cos{a} = -\frac{1}{\sqrt{3}} $;

2) $ \cos{12a} - \cos{6a} + 2 \cos{5a} \cdot \cos{7a} $, если $ \cos{a} = -\frac{1}{\sqrt{5}} $;

3) $ \sin{2a}\cos{5a} - \sin{a}\cos{6a} $, если $ \sin{a} = a $;

4) $ \cos{7a}\cos{4a} - \cos{8a}\cos{3a} $, если $ \cos{a} = a $.

1) Найдем значение выражения $\cos(8a) + \cos(6a) + 2 \sin(5a) \sin(3a)$, если $\cos(a) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Для начала упростим выражение. Воспользуемся формулой произведения синусов: $2 \sin(x) \sin(y) = \cos(x-y) - \cos(x+y)$.
Применим ее к слагаемому $2 \sin(5a) \sin(3a)$:
$2 \sin(5a) \sin(3a) = \cos(5a - 3a) - \cos(5a + 3a) = \cos(2a) - \cos(8a)$.
Подставим это в исходное выражение:
$\cos(8a) + \cos(6a) + (\cos(2a) - \cos(8a)) = \cos(8a) + \cos(6a) + \cos(2a) - \cos(8a) = \cos(6a) + \cos(2a)$.
Теперь найдем значения $\cos(2a)$ и $\cos(6a)$, зная, что $\cos(a) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$:
$\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1 = 2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{1}{3}\right) - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$.
Для $\cos(6a)$ используем формулу косинуса тройного угла $\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$, где $x=2a$:
$\cos(6a) = \cos(3 \cdot 2a) = 4\cos^3(2a) - 3\cos(2a) = 4\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 3\left(-\frac{1}{3}\right) = 4\left(-\frac{1}{27}\right) + 1 = -\frac{4}{27} + 1 = \frac{23}{27}$.
Наконец, найдем значение выражения:
$\cos(6a) + \cos(2a) = \frac{23}{27} + \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{23}{27} - \frac{9}{27} = \frac{14}{27}$.
Ответ: $\frac{14}{27}$.

2) Найдем значение выражения $\cos(12a) - \cos(6a) + 2 \cos(5a) \cos(7a)$, если $\cos(a) = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Упростим выражение с помощью формулы произведения косинусов: $2 \cos(x) \cos(y) = \cos(x-y) + \cos(x+y)$.
Применим ее к слагаемому $2 \cos(5a) \cos(7a)$:
$2 \cos(7a) \cos(5a) = \cos(7a - 5a) + \cos(7a + 5a) = \cos(2a) + \cos(12a)$.
Подставим в исходное выражение:
$\cos(12a) - \cos(6a) + (\cos(2a) + \cos(12a)) = 2\cos(12a) - \cos(6a) + \cos(2a)$.
Теперь последовательно вычислим значения косинусов, зная, что $\cos(a) = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
$\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1 = 2\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{1}{5}\right) - 1 = -\frac{3}{5}$.
$\cos(6a) = \cos(3 \cdot 2a) = 4\cos^3(2a) - 3\cos(2a) = 4\left(-\frac{3}{5}\right)^3 - 3\left(-\frac{3}{5}\right) = 4\left(-\frac{27}{125}\right) + \frac{9}{5} = -\frac{108}{125} + \frac{225}{125} = \frac{117}{125}$.
$\cos(12a) = \cos(2 \cdot 6a) = 2\cos^2(6a) - 1 = 2\left(\frac{117}{125}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{13689}{15625}\right) - 1 = \frac{27378}{15625} - \frac{15625}{15625} = \frac{11753}{15625}$.
Подставим найденные значения в упрощенное выражение:
$2\cos(12a) - \cos(6a) + \cos(2a) = 2\left(\frac{11753}{15625}\right) - \frac{117}{125} - \frac{3}{5} = \frac{23506}{15625} - \frac{117 \cdot 125}{125 \cdot 125} - \frac{3 \cdot 3125}{5 \cdot 3125} = \frac{23506 - 14625 - 9375}{15625} = \frac{23506 - 24000}{15625} = -\frac{494}{15625}$.
Ответ: $-\frac{494}{15625}$.

3) Найдем значение выражения $\sin(2a)\cos(5a) - \sin(a)\cos(6a)$, если $\sin(a) = a$.
Преобразуем выражение. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$ и формулу косинуса суммы $\cos(6a) = \cos(5a+a) = \cos(5a)\cos(a) - \sin(5a)\sin(a)$.
$\sin(2a)\cos(5a) - \sin(a)\cos(6a) = (2\sin(a)\cos(a))\cos(5a) - \sin(a)(\cos(5a)\cos(a) - \sin(5a)\sin(a)) = $
$= 2\sin(a)\cos(a)\cos(5a) - \sin(a)\cos(5a)\cos(a) + \sin(a)\sin(5a)\sin(a) = $
$= \sin(a)\cos(a)\cos(5a) + \sin^2(a)\sin(5a) = \sin(a)(\cos(a)\cos(5a) + \sin(a)\sin(5a))$.
В скобках получилась формула косинуса разности $\cos(x-y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$.
$\sin(a)\cos(5a-a) = \sin(a)\cos(4a)$.
Теперь выразим $\cos(4a)$ через $\sin(a) = a$.
$\cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a) = 1 - 2a^2$.
$\cos(4a) = \cos(2 \cdot 2a) = 2\cos^2(2a) - 1 = 2(1-2a^2)^2 - 1 = 2(1 - 4a^2 + 4a^4) - 1 = 2 - 8a^2 + 8a^4 - 1 = 8a^4 - 8a^2 + 1$.
Подставим в итоговое выражение:
$\sin(a)\cos(4a) = a(8a^4 - 8a^2 + 1) = 8a^5 - 8a^3 + a$.
Ответ: $8a^5 - 8a^3 + a$.

4) Найдем значение выражения $\cos(7a)\cos(4a) - \cos(8a)\cos(3a)$, если $\cos(a) = a$.
Воспользуемся формулой произведения косинусов: $\cos(x)\cos(y) = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y))$.
$\cos(7a)\cos(4a) = \frac{1}{2}(\cos(11a) + \cos(3a))$.
$\cos(8a)\cos(3a) = \frac{1}{2}(\cos(11a) + \cos(5a))$.
Подставим в исходное выражение:
$\frac{1}{2}(\cos(11a) + \cos(3a)) - \frac{1}{2}(\cos(11a) + \cos(5a)) = \frac{1}{2}(\cos(11a) + \cos(3a) - \cos(11a) - \cos(5a)) = \frac{1}{2}(\cos(3a) - \cos(5a))$.
Теперь используем формулу разности косинусов: $\cos(x) - \cos(y) = -2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$.
$\frac{1}{2}\left(-2\sin\left(\frac{3a+5a}{2}\right)\sin\left(\frac{3a-5a}{2}\right)\right) = -\sin(4a)\sin(-a) = \sin(4a)\sin(a)$.
Выразим полученное выражение через $\cos(a) = a$.
$\sin(4a) = 2\sin(2a)\cos(2a) = 2(2\sin(a)\cos(a))\cos(2a) = 4\sin(a)\cos(a)\cos(2a)$.
Тогда $\sin(4a)\sin(a) = 4\sin^2(a)\cos(a)\cos(2a)$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(a) = 1 - \cos^2(a) = 1 - a^2$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1 = 2a^2 - 1$.
Подставляем:
$4(1-a^2)(a)(2a^2 - 1) = 4a(2a^2 - 1 - 2a^4 + a^2) = 4a(-2a^4 + 3a^2 - 1) = -8a^5 + 12a^3 - 4a$.
Ответ: $-8a^5 + 12a^3 - 4a$.

28.11. Докажите, что верно равенство:

1)

$cos75^\circ \cdot cos15^\circ = \frac{1}{4};$

2)

$sin105^\circ \cdot sin75^\circ = \frac{1}{4};$

3)

$4 \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = 1 - 4\sin^2\alpha;$

4)

$4\sin\left(\frac{\pi}{6} - \beta\right) \cos\left(\frac{\pi}{6} - \beta\right) = 3 - 4 \cos^2 \beta;$

1) Для доказательства равенства $\cos75^\circ \cdot \cos15^\circ = \frac{1}{4}$ воспользуемся формулой приведения и формулой синуса двойного угла.

Используем формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

$\cos75^\circ = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin15^\circ$.

Тогда исходное выражение принимает вид:

$\cos75^\circ \cdot \cos15^\circ = \sin15^\circ \cdot \cos15^\circ$.

Теперь применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$. Из нее следует, что $\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Подставим $\alpha = 15^\circ$:

$\sin15^\circ \cdot \cos15^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 15^\circ) = \frac{1}{2}\sin(30^\circ)$.

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Таким образом, мы доказали, что $\cos75^\circ \cdot \cos15^\circ = \frac{1}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

2) Для проверки равенства $\sin105^\circ \cdot \sin75^\circ = \frac{1}{4}$ преобразуем его левую часть, используя формулу произведения синусов: $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.

Подставим $\alpha = 105^\circ$ и $\beta = 75^\circ$:

$\sin105^\circ \sin75^\circ = \frac{1}{2}(\cos(105^\circ - 75^\circ) - \cos(105^\circ + 75^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(30^\circ) - \cos(180^\circ))$.

Значения косинусов для данных углов известны: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(180^\circ) = -1$.

Подставляем эти значения в выражение:

$\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - (-1)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$.

Таким образом, левая часть равенства равна $\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$, а не $\frac{1}{4}$, как указано в условии.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4} \neq \frac{1}{4}$.

Следовательно, в условии задачи, вероятно, допущена опечатка. Равенство в представленном виде неверно.

Ответ: Равенство неверно, так как $\sin105^\circ \cdot \sin75^\circ = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$.

3) Для проверки равенства $4 \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = 1 - 4\sin^2\alpha$ преобразуем левую часть.

Воспользуемся формулой произведения косинусов: $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y))$.

Пусть $x = \frac{\pi}{6} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{6} - \alpha$. Тогда:

$x + y = (\frac{\pi}{6} + \alpha) + (\frac{\pi}{6} - \alpha) = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

$x - y = (\frac{\pi}{6} + \alpha) - (\frac{\pi}{6} - \alpha) = 2\alpha$

Подставляем в левую часть исходного равенства:

$4 \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = 4 \cdot \frac{1}{2}(\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(2\alpha)) = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(2\alpha))$.

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

$2(\frac{1}{2} + \cos(2\alpha)) = 1 + 2\cos(2\alpha)$.

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

$1 + 2(1 - 2\sin^2\alpha) = 1 + 2 - 4\sin^2\alpha = 3 - 4\sin^2\alpha$.

Таким образом, левая часть тождества равна $3 - 4\sin^2\alpha$, а не $1 - 4\sin^2\alpha$.

$3 - 4\sin^2\alpha \neq 1 - 4\sin^2\alpha$.

Следовательно, в условии задачи, вероятно, допущена опечатка. Равенство в представленном виде неверно.

Ответ: Равенство неверно, так как $4 \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = 3 - 4\sin^2\alpha$.

4) Для проверки равенства $4\sin(\frac{\pi}{6} - \beta) \cos(\frac{\pi}{6} - \beta) = 3 - 4 \cos^2 \beta$ преобразуем обе части.

Преобразуем левую часть (ЛЧ) с помощью формулы синуса двойного угла $2\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)$.

Пусть $\theta = \frac{\pi}{6} - \beta$.

ЛЧ $= 2 \cdot (2\sin(\frac{\pi}{6} - \beta)\cos(\frac{\pi}{6} - \beta)) = 2\sin(2(\frac{\pi}{6} - \beta)) = 2\sin(\frac{\pi}{3} - 2\beta)$.

Проверим, является ли данное равенство тождеством. Для этого выберем контрольное значение, например, $\beta=0$.

При $\beta=0$ левая часть равна:

$4\sin(\frac{\pi}{6})\cos(\frac{\pi}{6}) = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

При $\beta=0$ правая часть равна:

$3 - 4\cos^2(0) = 3 - 4(1)^2 = -1$.

Так как $\sqrt{3} \neq -1$, равенство не является тождеством и неверно для всех $\beta$.

Следовательно, в условии задачи, вероятно, допущена опечатка.

Ответ: Равенство неверно.