Страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Приведите пример комбинаторной задачи.

2. В каких случаях используют правило суммы?

3. В каких случаях используют правило произведения?

1. Комбинаторная задача — это задача, в которой требуется подсчитать количество различных способов (комбинаций) для выполнения некоторого действия или выбора элементов из заданного множества. Эти задачи исследуют перестановки, размещения и сочетания.

Пример задачи:

В меню столовой есть 3 вида супа (борщ, щи, солянка), 4 вида второго блюда (котлета с пюре, гуляш с макаронами, рыба с рисом, пельмени) и 2 вида напитка (чай, компот). Сколькими способами можно составить обед из трех блюд: супа, второго блюда и напитка?

Решение:

Для решения этой задачи используется правило произведения. Выбор каждого блюда — это независимый этап.

1. Выбрать суп можно 3 способами.

2. Для каждого выбранного супа можно выбрать второе блюдо 4 способами.

3. Для каждой пары "суп и второе" можно выбрать напиток 2 способами.

Чтобы найти общее количество комбинаций, нужно перемножить число вариантов на каждом этапе:

$N = 3 \times 4 \times 2 = 24$

Ответ: Можно составить 24 различных варианта обеда.

2. Правило суммы (или принцип сложения) в комбинаторике используется в тех случаях, когда необходимо выбрать один элемент из нескольких взаимоисключающих наборов. Если некоторый объект А можно выбрать $m$ способами, а другой объект Б можно выбрать $n$ способами, и при этом выбор А исключает выбор Б (т.е. нельзя выбрать А и Б одновременно), то сделать выбор «либо А, либо Б» можно $m + n$ способами.

Ключевым словом, указывающим на применение правила суммы, является союз «или».

Пример:

На полке стоит 10 книг по математике и 7 книг по физике. Сколькими способами студент может выбрать одну книгу для чтения?

Решение:

Студент может выбрать книгу по математике (объект А) 10 способами. Также он может выбрать книгу по физике (объект Б) 7 способами. Поскольку выбранная книга не может быть одновременно и по математике, и по физике, эти выборы являются взаимоисключающими. Следовательно, выбрать одну книгу (либо по математике, либо по физике) можно, используя правило суммы:

$10 + 7 = 17$ способами.

Ответ: Правило суммы используется, когда выбор разбивается на несколько непересекающихся случаев, и требуется найти общее число способов, выбрав вариант из одного из этих случаев.

3. Правило произведения (или принцип умножения) используется, когда задача состоит из выполнения последовательности из нескольких независимых действий. Если первое действие можно выполнить $m$ способами, и после каждого из этих способов второе действие можно выполнить $n$ способами, то оба действия (первое и второе) можно выполнить $m \times n$ способами.

Ключевым словом, указывающим на применение правила произведения, является союз «и».

Пример:

Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе могут повторяться?

Решение:

Составление двузначного числа — это последовательность двух действий:

1. Выбор первой цифры (цифры десятков).

2. Выбор второй цифры (цифры единиц).

Первую цифру можно выбрать 5 способами (любая из цифр 1, 2, 3, 4, 5). Поскольку цифры могут повторяться, для каждого выбора первой цифры существует также 5 способов выбрать вторую цифру. Таким образом, общее количество двузначных чисел находится по правилу произведения:

$5 \times 5 = 25$ чисел.

Ответ: Правило произведения используется, когда для получения итогового результата необходимо совершить несколько последовательных и независимых друг от друга выборов, и общее число комбинаций равно произведению числа вариантов на каждом шаге.

7.1. Сколькими способами можно приобрести 1 кг яблок или груш, если в магазине имеется 4 различных сорта яблок и 3 различных сорта груш?

7.1. Для решения этой задачи используется правило суммы из комбинаторики. По условию, необходимо совершить один выбор: купить 1 кг яблок или 1 кг груш. Эти два действия являются взаимоисключающими.

Количество способов выбрать 1 кг яблок равно количеству различных сортов яблок, доступных в магазине. По условию, сортов яблок 4. Следовательно, существует 4 способа купить яблоки.

Аналогично, количество способов выбрать 1 кг груш равно количеству различных сортов груш. По условию, сортов груш 3. Следовательно, существует 3 способа купить груши.

Так как нам нужно выбрать или яблоки, или груши, общее количество способов находится путем сложения количества способов для каждого варианта. Это является применением правила суммы.

Общее количество способов $N$ равно сумме способов выбора яблок и способов выбора груш:
$N = 4 + 3 = 7$

Таким образом, существует 7 различных способов приобрести 1 кг яблок или груш.
Ответ: 7.

7.2. Сколькими способами можно приобрести 1 кг конфет и 1 кг печенья, если в магазине имеется 10 различных сортов конфет и 12 различных сортов печенья?

Для решения этой задачи используется комбинаторное правило умножения. Нам необходимо совершить два независимых выбора: выбрать один сорт конфет и один сорт печенья.

Первый выбор — это выбор 1 кг конфет. По условию, в магазине имеется 10 различных сортов конфет. Следовательно, существует 10 способов выбрать конфеты. Обозначим это количество как $n_1 = 10$.

Второй выбор — это выбор 1 кг печенья. В магазине имеется 12 различных сортов печенья. Значит, существует 12 способов выбрать печенье. Обозначим это количество как $n_2 = 12$.

Поскольку выбор конфет и выбор печенья являются независимыми событиями, общее количество способов совершить покупку равно произведению количества способов для каждого выбора. Общее число способов $N$ вычисляется по формуле:

$N = n_1 \times n_2$

Подставив значения, получаем:

$N = 10 \times 12 = 120$

Таким образом, существует 120 различных способов приобрести 1 кг конфет и 1 кг печенья.
Ответ: 120

7.3. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 2; 4; 9, если они в записи числа не повторяются?

Данная задача относится к разделу комбинаторики и решается с помощью правила умножения или через нахождение числа перестановок.

У нас есть три различные цифры: 2, 4, 9. Мы должны составить из них трехзначное число, в котором цифры не повторяются. Это означает, что для каждой позиции в числе (сотни, десятки, единицы) мы будем выбирать цифру из оставшихся.

1. Выбор первой цифры (сотни): На позицию сотен мы можем поставить любую из трех имеющихся цифр (2, 4 или 9). Таким образом, у нас есть 3 варианта.

2. Выбор второй цифры (десятки): После того как мы выбрали первую цифру, у нас осталось две цифры. Например, если первой была цифра 2, то для второй позиции остались цифры 4 и 9. Следовательно, у нас есть 2 варианта для выбора второй цифры.

3. Выбор третьей цифры (единицы): После выбора первых двух цифр, у нас остается только одна неиспользованная цифра. Таким образом, для третьей позиции у нас остается всего 1 вариант.

Чтобы найти общее количество возможных комбинаций, мы должны перемножить количество вариантов для каждой позиции:

$N = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Этот расчет эквивалентен нахождению числа перестановок из 3 элементов, которое вычисляется как факториал числа 3:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Для наглядности можно перечислить все возможные числа:

249, 294
429, 492
924, 942

Как мы видим, всего можно составить 6 различных трехзначных чисел.

Ответ: 6.

7.4. Имеется 5 различных конвертов и 4 разные марки. Сколькими способами можно расклеить марки на конверты?

Для решения этой задачи воспользуемся основным правилом комбинаторики — правилом умножения. У нас есть 4 различные марки, и для каждой из них нужно выбрать один из 5 различных конвертов.

Рассмотрим марки последовательно. Для первой марки существует 5 возможных конвертов, на которые её можно наклеить. Так как нет никаких ограничений (например, что на один конверт можно наклеить только одну марку), то для второй марки также существует 5 вариантов выбора конверта. Аналогично, для третьей и четвертой марок также существует по 5 вариантов.

Поскольку выбор конверта для каждой марки является независимым событием, общее количество способов можно найти, перемножив количество вариантов для каждой марки. Это является классической задачей на размещения с повторениями.

Число размещений с повторениями из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле $\bar{A}_n^k = n^k$. В нашем случае, мы размещаем $k=4$ различные марки по $n=5$ различным конвертам.

Таким образом, общее количество способов равно: $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$.

Ответ: 625

7.5. Все учащиеся класса либо увлекаются плаванием, либо игрой в теннис. 12 учащихся увлекаются плаванием, 18 учащихся — игрой в теннис, 5 учащихся — плаванием и игрой в теннис.

Сколько в классе учащихся?

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений для множеств. Пусть $П$ — это множество учащихся, которые увлекаются плаванием, а $Т$ — множество учащихся, которые увлекаются игрой в теннис. В условии сказано, что все учащиеся класса увлекаются либо плаванием, либо теннисом, значит, нам нужно найти общее число элементов в объединении этих двух множеств, то есть $|П \cup Т|$.

Из условия нам известны следующие данные:

— Количество учащихся, увлекающихся плаванием: $|П| = 12$.

— Количество учащихся, увлекающихся игрой в теннис: $|Т| = 18$.

— Количество учащихся, которые увлекаются и плаванием, и теннисом (то есть находятся в пересечении множеств): $|П \cap Т| = 5$.

Чтобы найти общее количество учащихся в классе, мы можем сложить число всех, кто увлекается плаванием, и всех, кто увлекается теннисом. При таком подходе те 5 учащихся, которые увлекаются обоими видами спорта, будут посчитаны дважды. Поэтому, чтобы получить верный результат, это пересечение необходимо вычесть из суммы. Это отражено в формуле включений-исключений:

$|П \cup Т| = |П| + |Т| - |П \cap Т|$

Подставим в формулу известные значения:

$|П \cup Т| = 12 + 18 - 5 = 30 - 5 = 25$

Таким образом, в классе 25 учащихся.

Эту задачу также можно решить пошагово, разбив учеников на группы. Для наглядности представим ситуацию с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

1. Найдём количество учащихся, которые увлекаются только плаванием. Для этого из общего числа пловцов вычтем тех, кто увлекается ещё и теннисом: $12 - 5 = 7$ учащихся.

2. Найдём количество учащихся, которые увлекаются только теннисом. Для этого из общего числа теннисистов вычтем тех, кто также увлекается плаванием: $18 - 5 = 13$ учащихся.

3. Общее количество учащихся в классе — это сумма трёх групп: увлекающиеся только плаванием, увлекающиеся только теннисом и увлекающиеся обоими видами спорта: $7 + 13 + 5 = 25$ учащихся.

Ответ: 25 учащихся.

7.6. Составлено 7 букетов с тюльпанами, 9 — с нарциссами, 3 — с тюльпанами и нарциссами. Сколько всего букетов составлено?

Для решения этой задачи можно использовать принцип включений-исключений или решить ее по действиям.

Способ 1: Формула включений-исключений

Этот метод используется в теории множеств для нахождения количества элементов в объединении нескольких множеств.

Пусть $Т$ — это множество букетов с тюльпанами, а $Н$ — множество букетов с нарциссами. Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Количество букетов с тюльпанами: $|Т| = 7$
• Количество букетов с нарциссами: $|Н| = 9$
• Количество букетов с тюльпанами и нарциссами (пересечение множеств): $|Т \cap Н| = 3$

Общее количество составленных букетов — это количество элементов в объединении множеств $Т$ и $Н$, то есть $|Т \cup Н|$.

Формула включений-исключений для двух множеств гласит:

$|Т \cup Н| = |Т| + |Н| - |Т \cap Н|$

Подставим известные значения в формулу:

$|Т \cup Н| = 7 + 9 - 3 = 16 - 3 = 13$

Способ 2: Решение по действиям

Этот способ основан на логическом разделении всех букетов на непересекающиеся группы.

1. Сначала найдем, сколько букетов содержат только тюльпаны. Для этого из общего числа букетов с тюльпанами вычтем количество букетов, в которых есть оба вида цветов:

$7 - 3 = 4$ (букета только с тюльпанами)

2. Затем найдем, сколько букетов содержат только нарциссы:

$9 - 3 = 6$ (букетов только с нарциссами)

3. Общее количество букетов — это сумма букетов с только тюльпанами, только нарциссами и букетов, содержащих оба цветка.

$4 + 6 + 3 = 13$

Этот подход можно наглядно проиллюстрировать с помощью диаграммы Эйлера-Венна, где круги представляют множества букетов с разными цветами, а их пересечение — букеты с обоими видами цветов.

Сложив числа из всех трех областей диаграммы, мы получаем общее количество букетов: $4 + 3 + 6 = 13$.

Ответ: 13.

7.7. 12 учащихся сдавали экзамены по математике и физике. Из двух экзаменов 1 учащийся не сдал экзамен по математике, 3 — по физике и 1 — по двум предметам. Сколько всего неуспевающих учащихся?

Для решения этой задачи мы будем использовать теорию множеств. Пусть $M$ — это множество учащихся, которые не сдали экзамен по математике, а $P$ — множество учащихся, которые не сдали экзамен по физике. Нам нужно найти общее количество неуспевающих учащихся, то есть количество учащихся, которые не сдали хотя бы один экзамен. Это соответствует нахождению мощности объединения множеств $M$ и $P$, то есть $|M \cup P|$.

Из условия задачи нам известно:

• Количество учащихся, не сдавших экзамен по математике: $|M| = 1$.
• Количество учащихся, не сдавших экзамен по физике: $|P| = 3$.
• Количество учащихся, не сдавших оба экзамена (то есть находящихся в пересечении множеств): $|M \cap P| = 1$.

Для нахождения количества элементов в объединении двух множеств используется формула включений-исключений:

$|M \cup P| = |M| + |P| - |M \cap P|$

Подставим известные значения в формулу:

$|M \cup P| = 1 + 3 - 1 = 3$

Таким образом, 3 учащихся не сдали хотя бы один экзамен.

Также задачу можно решить, разбив всех неуспевающих на группы, которые не пересекаются:

1. Учащиеся, которые не сдали только математику. Их количество равно $|M| - |M \cap P| = 1 - 1 = 0$.
2. Учащиеся, которые не сдали только физику. Их количество равно $|P| - |M \cap P| = 3 - 1 = 2$.
3. Учащиеся, которые не сдали оба экзамена. Их количество равно $|M \cap P| = 1$.

Чтобы найти общее число неуспевающих, нужно сложить количество учащихся в этих трех группах:

$0 (только математика) + 2 (только физика) + 1 (оба предмета) = 3$

Визуально это можно представить с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

Общее количество неуспевающих учащихся равно сумме людей во всех частях кругов: $0 + 1 + 2 = 3$.

Ответ: 3.

27.1. Представьте тригонометрическое выражение в виде произведения:

1) $ \sin3x + \sin5x $;

2) $ \sin2\beta + \sin6\beta $;

3) $ \sin15 + \sin15 $;

4) $ \sin130^\circ + \sin10 $;

5) $ \cos3x + \cos7x $;

6) $ \cos13\alpha - \cos5\alpha $;

7) $ \cos13 - \cos27 $;

8) $ \cos78^\circ + \cos18 $.

1) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $. Применим ее к выражению $ \sin 3x + \sin 5x $, поменяв слагаемые местами для удобства: $ \sin 5x + \sin 3x = 2 \sin\left(\frac{5x+3x}{2}\right) \cos\left(\frac{5x-3x}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{8x}{2}\right) \cos\left(\frac{2x}{2}\right) = 2 \sin(4x) \cos(x) $. Ответ: $ 2 \sin(4x) \cos(x) $.

2) Используем формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $ для выражения $ \sin 2\beta + \sin 6\beta $: $ \sin 2\beta + \sin 6\beta = 2 \sin\left(\frac{2\beta+6\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{2\beta-6\beta}{2}\right) = 2 \sin(4\beta) \cos(-2\beta) $. Поскольку косинус является четной функцией, то есть $ \cos(-2\beta) = \cos(2\beta) $, итоговое выражение: $ 2 \sin(4\beta) \cos(2\beta) $. Ответ: $ 2 \sin(4\beta) \cos(2\beta) $.

3) Данное выражение является суммой двух одинаковых слагаемых: $ \sin 15 + \sin 15 = 2\sin 15 $. Это выражение уже представлено в виде произведения. Можно также формально применить формулу суммы синусов: $ \sin 15 + \sin 15 = 2 \sin\left(\frac{15+15}{2}\right) \cos\left(\frac{15-15}{2}\right) = 2 \sin(15) \cos(0) $. Так как $ \cos(0) = 1 $, результат равен $ 2 \sin(15) $. Ответ: $ 2\sin 15 $.

4) Применяем формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $: $ \sin 130^\circ + \sin 10^\circ = 2 \sin\left(\frac{130^\circ+10^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{130^\circ-10^\circ}{2}\right) = 2 \sin(70^\circ) \cos(60^\circ) $. Зная, что $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $, получаем: $ 2 \sin(70^\circ) \cdot \frac{1}{2} = \sin(70^\circ) $. Ответ: $ \sin(70^\circ) $.

5) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $. Применим ее к выражению $ \cos 3x + \cos 7x $: $ \cos 3x + \cos 7x = 2 \cos\left(\frac{3x+7x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x-7x}{2}\right) = 2 \cos(5x) \cos(-2x) $. Так как косинус — четная функция, $ \cos(-2x) = \cos(2x) $, получаем $ 2 \cos(5x) \cos(2x) $. Ответ: $ 2 \cos(5x) \cos(2x) $.

6) Воспользуемся формулой разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $. В данном случае: $ \cos 13\alpha - \cos 5\alpha = -2 \sin\left(\frac{13\alpha+5\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{13\alpha-5\alpha}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{18\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{8\alpha}{2}\right) = -2 \sin(9\alpha) \sin(4\alpha) $. Ответ: $ -2 \sin(9\alpha) \sin(4\alpha) $.

7) Применяем формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $: $ \cos 13 - \cos 27 = -2 \sin\left(\frac{13+27}{2}\right) \sin\left(\frac{13-27}{2}\right) = -2 \sin(20) \sin(-7) $. Поскольку синус — нечетная функция, $ \sin(-7) = -\sin(7) $, то выражение преобразуется к виду $ -2 \sin(20) (-\sin(7)) = 2 \sin(20) \sin(7) $. Ответ: $ 2 \sin(20) \sin(7) $.

8) Используем формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $: $ \cos 78^\circ + \cos 18^\circ = 2 \cos\left(\frac{78^\circ+18^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{78^\circ-18^\circ}{2}\right) = 2 \cos(48^\circ) \cos(30^\circ) $. Так как $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем $ 2 \cos(48^\circ) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cos(48^\circ) $. Ответ: $ \sqrt{3} \cos(48^\circ) $.

27.2. Преобразуйте выражение в произведение:

1) $sin(\frac{\pi}{5}) + sin(\frac{3\pi}{5});$

2) $cos(\frac{2\pi}{3}) + cos(\frac{\pi}{6});$

3) $sin(\frac{3\pi}{10}) - sin(\frac{\pi}{10});$

4) $cos(\frac{\pi}{4}) - cos(\frac{3\pi}{4});$

5) $cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) + cos(\frac{\pi}{3} + \alpha);$

6) $cos(\frac{\pi}{6} - x) - cos(\frac{\pi}{6} + x);$

7) $sinx + siny;$

8) $sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - sin(\frac{\pi}{4} - \alpha);$

9) $sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) + sin(\frac{\pi}{3} - \alpha);$

10) $sinx - cosy;$

11) $sin2x + cos4x;$

12) $cos\beta - sin6\beta.$

1) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула суммы синусов: $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Применим эту формулу к выражению $ \sin\frac{\pi}{5} + \sin\frac{3\pi}{5} $:
$ \alpha = \frac{\pi}{5} $, $ \beta = \frac{3\pi}{5} $.
$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{3\pi}{5}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{5}}{2} = \frac{2\pi}{5} $.
$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} - \frac{3\pi}{5}}{2} = \frac{-\frac{2\pi}{5}}{2} = -\frac{\pi}{5} $.
Подставляя значения, получаем:
$ \sin\frac{\pi}{5} + \sin\frac{3\pi}{5} = 2\sin\frac{2\pi}{5}\cos(-\frac{\pi}{5}) $.
Поскольку функция косинуса четная ($ \cos(-x) = \cos x $), выражение упрощается до:
$ 2\sin\frac{2\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5} $.
Ответ: $ 2\sin\frac{2\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5} $.

2) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула суммы косинусов: $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Применим эту формулу к выражению $ \cos\frac{2\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{6} $:
$ \alpha = \frac{2\pi}{3} $, $ \beta = \frac{\pi}{6} $.
$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{5\pi}{6}}{2} = \frac{5\pi}{12} $.
$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{3\pi}{6}}{2} = \frac{\pi}{4} $.
Подставляя значения, получаем:
$ \cos\frac{2\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{6} = 2\cos\frac{5\pi}{12}\cos\frac{\pi}{4} $.
Зная, что $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:
$ 2\cos\frac{5\pi}{12} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\cos\frac{5\pi}{12} $.
Ответ: $ \sqrt{2}\cos\frac{5\pi}{12} $.

3) Для преобразования разности синусов в произведение используется формула разности синусов: $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Применим эту формулу к выражению $ \sin\frac{3\pi}{10} - \sin\frac{\pi}{10} $:
$ \alpha = \frac{3\pi}{10} $, $ \beta = \frac{\pi}{10} $.
$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{10} + \frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{10}}{2} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} $.
$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{10} - \frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{10}}{2} = \frac{\pi}{10} $.
Подставляя значения, получаем:
$ \sin\frac{3\pi}{10} - \sin\frac{\pi}{10} = 2\cos\frac{\pi}{5}\sin\frac{\pi}{10} $.
Ответ: $ 2\cos\frac{\pi}{5}\sin\frac{\pi}{10} $.

4) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула разности косинусов: $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Применим эту формулу к выражению $ \cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{3\pi}{4} $:
$ \alpha = \frac{\pi}{4} $, $ \beta = \frac{3\pi}{4} $.
$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{2} $.
$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{-\frac{2\pi}{4}}{2} = -\frac{\pi}{4} $.
Подставляя значения, получаем:
$ \cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{3\pi}{4} = -2\sin\frac{\pi}{2}\sin(-\frac{\pi}{4}) $.
Зная, что $ \sin\frac{\pi}{2}=1 $ и $ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:
$ -2 \cdot 1 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} $.
Ответ: $ \sqrt{2} $.

5) Используем формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
В выражении $ \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) $ пусть $ A = \frac{\pi}{3} - \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{3} + \alpha $.
$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} - \alpha) + (\frac{\pi}{3} + \alpha)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $.
$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} - \alpha) - (\frac{\pi}{3} + \alpha)}{2} = \frac{-2\alpha}{2} = -\alpha $.
Получаем: $ 2\cos\frac{\pi}{3}\cos(-\alpha) $.
Так как $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $, то:
$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos\alpha = \cos\alpha $.
Ответ: $ \cos\alpha $.

6) Используем формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
В выражении $ \cos(\frac{\pi}{6} - x) - \cos(\frac{\pi}{6} + x) $ пусть $ A = \frac{\pi}{6} - x $ и $ B = \frac{\pi}{6} + x $.
$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} - x) + (\frac{\pi}{6} + x)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{6}}{2} = \frac{\pi}{6} $.
$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} - x) - (\frac{\pi}{6} + x)}{2} = \frac{-2x}{2} = -x $.
Получаем: $ -2\sin\frac{\pi}{6}\sin(-x) $.
Так как $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $ и $ \sin(-x) = -\sin x $, то:
$ -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin x) = \sin x $.
Ответ: $ \sin x $.

7) Это прямое применение формулы суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Заменяя $ \alpha $ на $ x $ и $ \beta $ на $ y $, получаем:
$ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.
Ответ: $ 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.

8) Используем формулу разности синусов $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
В выражении $ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) $ пусть $ A = \frac{\pi}{4} + \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{4} - \alpha $.
$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + \alpha) + (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{4} $.
$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + \alpha) - (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $.
Получаем: $ 2\cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha $.
Так как $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, то:
$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha $.
Ответ: $ \sqrt{2}\sin\alpha $.

9) Используем формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
В выражении $ \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) + \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) $ пусть $ A = \frac{\pi}{3} + \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{3} - \alpha $.
$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) + (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $.
$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) - (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $.
Получаем: $ 2\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha $.
Так как $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то:
$ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $.
Ответ: $ \sqrt{3}\cos\alpha $.

10) Чтобы преобразовать разность синуса и косинуса, используем формулу приведения $ \sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x) $.
Выражение $ \sin x - \cos y $ становится $ \cos(\frac{\pi}{2} - x) - \cos y $.
Теперь применим формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \alpha = \frac{\pi}{2} - x $, $ \beta = y $.
$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} - x + y}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{x-y}{2} $.
$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} - x - y}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{x+y}{2} $.
Подставляя, получаем: $ -2\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x-y}{2})\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x+y}{2}) $.
Ответ: $ -2\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{x-y}{2})\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{x+y}{2}) $.

11) Чтобы преобразовать сумму синуса и косинуса, используем формулу приведения $ \sin(2x) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) $.
Выражение $ \sin 2x + \cos 4x $ становится $ \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) + \cos 4x $.
Теперь применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \alpha = \frac{\pi}{2} - 2x $, $ \beta = 4x $.
$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} - 2x + 4x}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} + 2x}{2} = \frac{\pi}{4} + x $.
$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} - 2x - 4x}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} - 6x}{2} = \frac{\pi}{4} - 3x $.
Подставляя, получаем: $ 2\cos(\frac{\pi}{4}+x)\cos(\frac{\pi}{4}-3x) $.
Ответ: $ 2\cos(\frac{\pi}{4}+x)\cos(\frac{\pi}{4}-3x) $.

12) Чтобы преобразовать разность косинуса и синуса, используем формулу приведения $ \sin(6\beta) = \cos(\frac{\pi}{2} - 6\beta) $.
Выражение $ \cos\beta - \sin 6\beta $ становится $ \cos\beta - \cos(\frac{\pi}{2} - 6\beta) $.
Теперь применим формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \alpha = \beta $, $ \beta = \frac{\pi}{2} - 6\beta $.
$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\beta + \frac{\pi}{2} - 6\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} - 5\beta}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{5\beta}{2} $.
$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\beta - (\frac{\pi}{2} - 6\beta)}{2} = \frac{7\beta - \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{7\beta}{2} - \frac{\pi}{4} $.
Подставляя, получаем: $ -2\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{5\beta}{2})\sin(\frac{7\beta}{2}-\frac{\pi}{4}) $.
Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin x $, можем записать $ \sin(\frac{7\beta}{2}-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{7\beta}{2}) $.
Тогда выражение равно: $ -2\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{5\beta}{2})[-\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{7\beta}{2})] = 2\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{5\beta}{2})\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{7\beta}{2}) $.
Ответ: $ 2\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{5\beta}{2})\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{7\beta}{2}) $.

27.3. Преобразуйте в произведение тригонометрическое выражение:

1) $ \sin a + \frac{1}{2} $;

2) $ \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin a $;

3) $ \frac{1}{2} - \sin a $;

4) $ \sin a + \frac{\sqrt{2}}{2} $;

5) $ \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos a $;

6) $ \cos a + \frac{1}{2} $;

7) $ \cos a - \frac{\sqrt{3}}{2} $;

8) $ \frac{1}{2} - \cos a $;

9) $ 1 + 2\cos x $;

10) $ 2\cos x - \sqrt{2} $;

11) $ \sqrt{3} - 2\sin 4x $;

12) $ \sqrt{3} + 2\cos 2x $.

1) Для преобразования выражения $\sin a + \frac{1}{2}$ в произведение, представим число $\frac{1}{2}$ в виде синуса известного угла, например, $\sin\frac{\pi}{6}$.
Выражение принимает вид: $\sin a + \sin\frac{\pi}{6}$.
Используем формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Подставляем $\alpha = a$ и $\beta = \frac{\pi}{6}$:
$\sin a + \sin\frac{\pi}{6} = 2 \sin\frac{a+\frac{\pi}{6}}{2} \cos\frac{a-\frac{\pi}{6}}{2} = 2 \sin(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{12}) \cos(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{12})$.
Ответ: $2 \sin(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{12}) \cos(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{12})$.

2) Для преобразования выражения $\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin a$ в произведение, представим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ как $\sin\frac{\pi}{4}$.
Получаем разность синусов: $\sin\frac{\pi}{4} - \sin a$.
Используем формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Подставляем $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = a$:
$\sin\frac{\pi}{4} - \sin a = 2 \sin\frac{\frac{\pi}{4}-a}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{4}+a}{2} = 2 \sin(\frac{\pi}{8} - \frac{a}{2}) \cos(\frac{\pi}{8} + \frac{a}{2})$.
Ответ: $2 \sin(\frac{\pi}{8} - \frac{a}{2}) \cos(\frac{\pi}{8} + \frac{a}{2})$.

3) Для преобразования выражения $\frac{1}{2} - \sin a$ в произведение, представим $\frac{1}{2}$ как $\sin\frac{\pi}{6}$.
Получаем разность синусов: $\sin\frac{\pi}{6} - \sin a$.
Применяем формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Подставляем $\alpha = \frac{\pi}{6}$ и $\beta = a$:
$\sin\frac{\pi}{6} - \sin a = 2 \sin\frac{\frac{\pi}{6}-a}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{6}+a}{2} = 2 \sin(\frac{\pi}{12} - \frac{a}{2}) \cos(\frac{\pi}{12} + \frac{a}{2})$.
Ответ: $2 \sin(\frac{\pi}{12} - \frac{a}{2}) \cos(\frac{\pi}{12} + \frac{a}{2})$.

4) Для преобразования выражения $\sin a + \frac{\sqrt{2}}{2}$ в произведение, представим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ как $\sin\frac{\pi}{4}$.
Получаем сумму синусов: $\sin a + \sin\frac{\pi}{4}$.
Применяем формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Подставляем $\alpha = a$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$:
$\sin a + \sin\frac{\pi}{4} = 2 \sin\frac{a+\frac{\pi}{4}}{2} \cos\frac{a-\frac{\pi}{4}}{2} = 2 \sin(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{8}) \cos(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{8})$.
Ответ: $2 \sin(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{8}) \cos(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{8})$.

5) Для преобразования выражения $\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos a$ в произведение, представим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ как $\cos\frac{\pi}{6}$.
Получаем сумму косинусов: $\cos\frac{\pi}{6} + \cos a$.
Используем формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Подставляем $\alpha = \frac{\pi}{6}$ и $\beta = a$:
$\cos\frac{\pi}{6} + \cos a = 2 \cos\frac{\frac{\pi}{6}+a}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{6}-a}{2} = 2 \cos(\frac{\pi}{12} + \frac{a}{2}) \cos(\frac{\pi}{12} - \frac{a}{2})$.
Ответ: $2 \cos(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{12}) \cos(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{12})$.

6) Для преобразования выражения $\cos a + \frac{1}{2}$ в произведение, представим $\frac{1}{2}$ как $\cos\frac{\pi}{3}$.
Получаем сумму косинусов: $\cos a + \cos\frac{\pi}{3}$.
Применяем формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Подставляем $\alpha = a$ и $\beta = \frac{\pi}{3}$:
$\cos a + \cos\frac{\pi}{3} = 2 \cos\frac{a+\frac{\pi}{3}}{2} \cos\frac{a-\frac{\pi}{3}}{2} = 2 \cos(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{6}) \cos(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{6})$.
Ответ: $2 \cos(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{6}) \cos(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{6})$.

7) Для преобразования выражения $\cos a - \frac{\sqrt{3}}{2}$ в произведение, представим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ как $\cos\frac{\pi}{6}$.
Получаем разность косинусов: $\cos a - \cos\frac{\pi}{6}$.
Используем формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Подставляем $\alpha = a$ и $\beta = \frac{\pi}{6}$:
$\cos a - \cos\frac{\pi}{6} = -2 \sin\frac{a+\frac{\pi}{6}}{2} \sin\frac{a-\frac{\pi}{6}}{2} = -2 \sin(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{12}) \sin(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{12})$.
Ответ: $-2 \sin(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{12}) \sin(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{12})$.

8) Для преобразования выражения $\frac{1}{2} - \cos a$ в произведение, представим $\frac{1}{2}$ как $\cos\frac{\pi}{3}$.
Получаем разность косинусов: $\cos\frac{\pi}{3} - \cos a$.
Применяем формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Подставляем $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = a$:
$\cos\frac{\pi}{3} - \cos a = -2 \sin\frac{\frac{\pi}{3}+a}{2} \sin\frac{\frac{\pi}{3}-a}{2} = -2 \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{a}{2}) \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{a}{2})$.
Ответ: $-2 \sin(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{6}) \sin(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{6})$.

9) Для преобразования выражения $1 + 2\cos x$ в произведение, вынесем за скобки множитель 2: $2(\frac{1}{2} + \cos x)$.
Представим $\frac{1}{2}$ как $\cos\frac{\pi}{3}$. Выражение в скобках станет $\cos\frac{\pi}{3} + \cos x$.
Применим к выражению в скобках формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$2(\cos\frac{\pi}{3} + \cos x) = 2 \cdot \left(2 \cos\frac{\frac{\pi}{3}+x}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{3}-x}{2}\right) = 4 \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}) \cos(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2})$.
Ответ: $4 \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}) \cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})$.

10) Для преобразования выражения $2\cos x - \sqrt{2}$ в произведение, вынесем за скобки 2: $2(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Представим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ как $\cos\frac{\pi}{4}$. Выражение в скобках станет $\cos x - \cos\frac{\pi}{4}$.
Применим к выражению в скобках формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$2(\cos x - \cos\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \left(-2 \sin\frac{x+\frac{\pi}{4}}{2} \sin\frac{x-\frac{\pi}{4}}{2}\right) = -4 \sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}) \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
Ответ: $-4 \sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}) \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.

11) Для преобразования выражения $\sqrt{3} - 2\sin 4x$ в произведение, вынесем за скобки 2: $2(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin 4x)$.
Представим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ как $\sin\frac{\pi}{3}$. Выражение в скобках станет $\sin\frac{\pi}{3} - \sin 4x$.
Применим к выражению в скобках формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:
$2(\sin\frac{\pi}{3} - \sin 4x) = 2 \cdot \left(2 \sin\frac{\frac{\pi}{3}-4x}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{3}+4x}{2}\right) = 4 \sin(\frac{\pi}{6} - 2x) \cos(\frac{\pi}{6} + 2x)$.
Ответ: $4 \sin(\frac{\pi}{6} - 2x) \cos(\frac{\pi}{6} + 2x)$.

12) Для преобразования выражения $\sqrt{3} + 2\cos 2x$ в произведение, вынесем за скобки 2: $2(\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos 2x)$.
Представим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ как $\cos\frac{\pi}{6}$. Выражение в скобках станет $\cos\frac{\pi}{6} + \cos 2x$.
Применим к выражению в скобках формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$2(\cos\frac{\pi}{6} + \cos 2x) = 2 \cdot \left(2 \cos\frac{\frac{\pi}{6}+2x}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{6}-2x}{2}\right) = 4 \cos(\frac{\pi}{12} + x) \cos(\frac{\pi}{12} - x)$.
Ответ: $4 \cos(x + \frac{\pi}{12}) \cos(x - \frac{\pi}{12})$.

27.4. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 37^\circ + \sin 23^\circ}{\sin 37^\circ - \sin 23^\circ}$;

2) $\frac{\cos 20^\circ - \cos 140^\circ}{\cos 20^\circ + \cos 140^\circ}$;

3) $\frac{\sin 55^\circ - \sin 35^\circ}{\cos 55^\circ - \cos 35^\circ}$;

4) $\frac{\cos 25^\circ - \cos 85^\circ}{\sin 25^\circ + \sin 85^\circ}$;

5) $\frac{\cos \alpha - \cos \beta}{\cos \alpha + \cos \beta}$;

6) $\frac{\sin \alpha - \sin \beta}{\sin \alpha + \sin \beta}$;

7) $\frac{\cos \alpha + \cos \beta}{\sin \beta - \sin \alpha}$;

8) $\frac{\cos \alpha - \cos \beta}{\sin \alpha + \sin \beta}$;

9) $\frac{\cos 5x - \cos x}{\sin 5x + \sin x}$;

10) $\frac{\sin 2x - \sin x}{\cos 2x + \cos x}$;

11) $\frac{\sin 2x + \sin 6x}{\cos 2x - \cos 6x}$;

12) $\frac{\cos 2x - \cos 3x}{\sin 2x - \sin 3x}$;

13) $\frac{\sin 4\alpha - \sin 6\alpha}{\cos 3\alpha + \cos 7\alpha}$;

14) $\frac{\sin 7\beta + \sin 11\beta}{\cos 10\beta - \cos 8\beta}$;

15) $\frac{\cos(45^\circ - \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ - \alpha) + \sin(45^\circ + \alpha)}$;

16) $\frac{\sin(45^\circ + \alpha) + \sin(45^\circ - \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) - \sin(45^\circ - \alpha)}$.

1) Используя формулы суммы и разности синусов, преобразуем числитель и знаменатель: $\sin 37^\circ + \sin 23^\circ = 2 \sin\frac{37^\circ+23^\circ}{2} \cos\frac{37^\circ-23^\circ}{2} = 2 \sin 30^\circ \cos 7^\circ$; $\sin 37^\circ - \sin 23^\circ = 2 \cos\frac{37^\circ+23^\circ}{2} \sin\frac{37^\circ-23^\circ}{2} = 2 \cos 30^\circ \sin 7^\circ$. Тогда выражение равно: $\frac{2 \sin 30^\circ \cos 7^\circ}{2 \cos 30^\circ \sin 7^\circ} = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} \cdot \frac{\cos 7^\circ}{\sin 7^\circ} = \tan 30^\circ \cot 7^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \cot 7^\circ$. Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3} \cot 7^\circ$.

2) Используем формулу приведения $\cos 140^\circ = \cos(180^\circ - 40^\circ) = -\cos 40^\circ$. Выражение принимает вид $\frac{\cos 20^\circ + \cos 40^\circ}{\cos 20^\circ - \cos 40^\circ}$. Применим формулы суммы и разности косинусов: $\frac{2 \cos\frac{20^\circ+40^\circ}{2} \cos\frac{20^\circ-40^\circ}{2}}{-2 \sin\frac{20^\circ+40^\circ}{2} \sin\frac{20^\circ-40^\circ}{2}} = \frac{2 \cos 30^\circ \cos(-10^\circ)}{-2 \sin 30^\circ \sin(-10^\circ)} = \frac{2 \cos 30^\circ \cos 10^\circ}{2 \sin 30^\circ \sin 10^\circ} = \cot 30^\circ \cot 10^\circ = \sqrt{3} \cot 10^\circ$. Ответ: $\sqrt{3} \cot 10^\circ$.

3) Применим формулы разности синусов и косинусов: $\frac{\sin 55^\circ - \sin 35^\circ}{\cos 55^\circ - \cos 35^\circ} = \frac{2 \cos\frac{55^\circ+35^\circ}{2} \sin\frac{55^\circ-35^\circ}{2}}{-2 \sin\frac{55^\circ+35^\circ}{2} \sin\frac{55^\circ-35^\circ}{2}} = \frac{2 \cos 45^\circ \sin 10^\circ}{-2 \sin 45^\circ \sin 10^\circ} = -\frac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = -\cot 45^\circ = -1$. Ответ: $-1$.

4) Применим формулу разности косинусов и суммы синусов: $\frac{\cos 25^\circ - \cos 85^\circ}{\sin 25^\circ + \sin 85^\circ} = \frac{-2 \sin\frac{25^\circ+85^\circ}{2} \sin\frac{25^\circ-85^\circ}{2}}{2 \sin\frac{25^\circ+85^\circ}{2} \cos\frac{25^\circ-85^\circ}{2}} = \frac{-2 \sin 55^\circ \sin(-30^\circ)}{2 \sin 55^\circ \cos(-30^\circ)} = \frac{2 \sin 55^\circ \sin 30^\circ}{2 \sin 55^\circ \cos 30^\circ} = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

5) Используя формулы разности и суммы косинусов, получаем: $\frac{\cos \alpha - \cos \beta}{\cos \alpha + \cos \beta} = \frac{-2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}} = -\tan\frac{\alpha+\beta}{2} \tan\frac{\alpha-\beta}{2}$. Ответ: $-\tan\frac{\alpha+\beta}{2} \tan\frac{\alpha-\beta}{2}$.

6) Используя формулы разности и суммы синусов, получаем: $\frac{\sin \alpha - \sin \beta}{\sin \alpha + \sin \beta} = \frac{2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}} = \cot\frac{\alpha+\beta}{2} \tan\frac{\alpha-\beta}{2}$. Ответ: $\cot\frac{\alpha+\beta}{2} \tan\frac{\alpha-\beta}{2}$.

7) Преобразуем числитель и знаменатель: $\frac{\cos \alpha + \cos \beta}{\sin \beta - \sin \alpha} = \frac{2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{2 \cos\frac{\beta+\alpha}{2} \sin\frac{\beta-\alpha}{2}} = \frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin(\frac{-(\alpha-\beta)}{2})} = \frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{-\sin\frac{\alpha-\beta}{2}} = -\cot\frac{\alpha-\beta}{2}$. Ответ: $-\cot\frac{\alpha-\beta}{2}$.

8) Преобразуем числитель и знаменатель: $\frac{\cos \alpha - \cos \beta}{\sin \alpha + \sin \beta} = \frac{-2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}} = -\frac{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}} = -\tan\frac{\alpha-\beta}{2}$. Ответ: $-\tan\frac{\alpha-\beta}{2}$.

9) Используя результат из задачи 8 при $\alpha=5x$ и $\beta=x$: $\frac{\cos 5x - \cos x}{\sin 5x + \sin x} = -\tan\frac{5x-x}{2} = -\tan\frac{4x}{2} = -\tan(2x)$. Ответ: $-\tan(2x)$.

10) Преобразуем числитель и знаменатель: $\frac{\sin 2x - \sin x}{\cos 2x + \cos x} = \frac{2 \cos\frac{2x+x}{2} \sin\frac{2x-x}{2}}{2 \cos\frac{2x+x}{2} \cos\frac{2x-x}{2}} = \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} = \tan\frac{x}{2}$. Ответ: $\tan\frac{x}{2}$.

11) Преобразуем числитель и знаменатель: $\frac{\sin 2x + \sin 6x}{\cos 2x - \cos 6x} = \frac{2 \sin\frac{2x+6x}{2} \cos\frac{2x-6x}{2}}{-2 \sin\frac{2x+6x}{2} \sin\frac{2x-6x}{2}} = \frac{2 \sin 4x \cos(-2x)}{-2 \sin 4x \sin(-2x)} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \cot 2x$. Ответ: $\cot 2x$.

12) Преобразуем числитель и знаменатель: $\frac{\cos 2x - \cos 3x}{\sin 2x - \sin 3x} = \frac{-2 \sin\frac{2x+3x}{2} \sin\frac{2x-3x}{2}}{2 \cos\frac{2x+3x}{2} \sin\frac{2x-3x}{2}} = -\frac{\sin\frac{5x}{2}}{\cos\frac{5x}{2}} = -\tan\frac{5x}{2}$. Ответ: $-\tan\frac{5x}{2}$.

13) В условии, вероятно, допущена опечатка, так как используются разные переменные ($\alpha$ и $x$). Предположим, что имелось в виду выражение $\frac{\sin 4\alpha - \sin 6\alpha}{\cos 3\alpha + \cos 7\alpha}$. Применим формулы преобразования. Числитель: $\sin 4\alpha - \sin 6\alpha = 2 \cos\frac{4\alpha+6\alpha}{2} \sin\frac{4\alpha-6\alpha}{2} = -2 \cos 5\alpha \sin\alpha$. Знаменатель: $\cos 3\alpha + \cos 7\alpha = 2 \cos\frac{3\alpha+7\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-7\alpha}{2} = 2 \cos 5\alpha \cos 2\alpha$. Тогда дробь равна $\frac{-2 \cos 5\alpha \sin\alpha}{2 \cos 5\alpha \cos 2\alpha} = -\frac{\sin\alpha}{\cos 2\alpha}$. Ответ: $-\frac{\sin\alpha}{\cos 2\alpha}$.

14) Преобразуем числитель и знаменатель: $\frac{\sin 7\beta + \sin 11\beta}{\cos 10\beta - \cos 8\beta} = \frac{2 \sin\frac{7\beta+11\beta}{2} \cos\frac{7\beta-11\beta}{2}}{-2 \sin\frac{10\beta+8\beta}{2} \sin\frac{10\beta-8\beta}{2}} = \frac{2 \sin 9\beta \cos(-2\beta)}{-2 \sin 9\beta \sin\beta} = \frac{\cos 2\beta}{-\sin\beta} = -\frac{\cos 2\beta}{\sin\beta}$. Ответ: $-\frac{\cos 2\beta}{\sin\beta}$.

15) Пусть $A = 45^\circ - \alpha$ и $B = 45^\circ + \alpha$. Тогда выражение принимает вид $\frac{\cos A + \cos B}{\sin A + \sin B}$. Преобразуем: $\frac{2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}}{2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}} = \frac{\cos\frac{A+B}{2}}{\sin\frac{A+B}{2}} = \cot\frac{A+B}{2}$. Так как $\frac{A+B}{2} = \frac{45^\circ - \alpha + 45^\circ + \alpha}{2} = 45^\circ$, то результат $\cot 45^\circ = 1$. Ответ: $1$.

16) Пусть $A = 45^\circ + \alpha$ и $B = 45^\circ - \alpha$. Тогда выражение принимает вид $\frac{\sin A + \sin B}{\sin A - \sin B}$. Преобразуем: $\frac{2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}}{2 \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2}} = \tan\frac{A+B}{2} \cot\frac{A-B}{2}$. Так как $\frac{A+B}{2} = \frac{45^\circ + \alpha + 45^\circ - \alpha}{2} = 45^\circ$ и $\frac{A-B}{2} = \frac{45^\circ + \alpha - (45^\circ - \alpha)}{2} = \alpha$, то результат $\tan 45^\circ \cot\alpha = 1 \cdot \cot\alpha = \cot\alpha$. Ответ: $\cot\alpha$.