Номер 27.3, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.3. Преобразуйте в произведение тригонометрическое выражение:

1) $ \sin a + \frac{1}{2} $;

2) $ \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin a $;

3) $ \frac{1}{2} - \sin a $;

4) $ \sin a + \frac{\sqrt{2}}{2} $;

5) $ \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos a $;

6) $ \cos a + \frac{1}{2} $;

7) $ \cos a - \frac{\sqrt{3}}{2} $;

8) $ \frac{1}{2} - \cos a $;

9) $ 1 + 2\cos x $;

10) $ 2\cos x - \sqrt{2} $;

11) $ \sqrt{3} - 2\sin 4x $;

12) $ \sqrt{3} + 2\cos 2x $.

1) Для преобразования выражения $\sin a + \frac{1}{2}$ в произведение, представим число $\frac{1}{2}$ в виде синуса известного угла, например, $\sin\frac{\pi}{6}$.
Выражение принимает вид: $\sin a + \sin\frac{\pi}{6}$.
Используем формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Подставляем $\alpha = a$ и $\beta = \frac{\pi}{6}$:
$\sin a + \sin\frac{\pi}{6} = 2 \sin\frac{a+\frac{\pi}{6}}{2} \cos\frac{a-\frac{\pi}{6}}{2} = 2 \sin(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{12}) \cos(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{12})$.
Ответ: $2 \sin(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{12}) \cos(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{12})$.

2) Для преобразования выражения $\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin a$ в произведение, представим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ как $\sin\frac{\pi}{4}$.
Получаем разность синусов: $\sin\frac{\pi}{4} - \sin a$.
Используем формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Подставляем $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = a$:
$\sin\frac{\pi}{4} - \sin a = 2 \sin\frac{\frac{\pi}{4}-a}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{4}+a}{2} = 2 \sin(\frac{\pi}{8} - \frac{a}{2}) \cos(\frac{\pi}{8} + \frac{a}{2})$.
Ответ: $2 \sin(\frac{\pi}{8} - \frac{a}{2}) \cos(\frac{\pi}{8} + \frac{a}{2})$.

3) Для преобразования выражения $\frac{1}{2} - \sin a$ в произведение, представим $\frac{1}{2}$ как $\sin\frac{\pi}{6}$.
Получаем разность синусов: $\sin\frac{\pi}{6} - \sin a$.
Применяем формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Подставляем $\alpha = \frac{\pi}{6}$ и $\beta = a$:
$\sin\frac{\pi}{6} - \sin a = 2 \sin\frac{\frac{\pi}{6}-a}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{6}+a}{2} = 2 \sin(\frac{\pi}{12} - \frac{a}{2}) \cos(\frac{\pi}{12} + \frac{a}{2})$.
Ответ: $2 \sin(\frac{\pi}{12} - \frac{a}{2}) \cos(\frac{\pi}{12} + \frac{a}{2})$.

4) Для преобразования выражения $\sin a + \frac{\sqrt{2}}{2}$ в произведение, представим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ как $\sin\frac{\pi}{4}$.
Получаем сумму синусов: $\sin a + \sin\frac{\pi}{4}$.
Применяем формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Подставляем $\alpha = a$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$:
$\sin a + \sin\frac{\pi}{4} = 2 \sin\frac{a+\frac{\pi}{4}}{2} \cos\frac{a-\frac{\pi}{4}}{2} = 2 \sin(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{8}) \cos(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{8})$.
Ответ: $2 \sin(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{8}) \cos(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{8})$.

5) Для преобразования выражения $\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos a$ в произведение, представим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ как $\cos\frac{\pi}{6}$.
Получаем сумму косинусов: $\cos\frac{\pi}{6} + \cos a$.
Используем формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Подставляем $\alpha = \frac{\pi}{6}$ и $\beta = a$:
$\cos\frac{\pi}{6} + \cos a = 2 \cos\frac{\frac{\pi}{6}+a}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{6}-a}{2} = 2 \cos(\frac{\pi}{12} + \frac{a}{2}) \cos(\frac{\pi}{12} - \frac{a}{2})$.
Ответ: $2 \cos(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{12}) \cos(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{12})$.

6) Для преобразования выражения $\cos a + \frac{1}{2}$ в произведение, представим $\frac{1}{2}$ как $\cos\frac{\pi}{3}$.
Получаем сумму косинусов: $\cos a + \cos\frac{\pi}{3}$.
Применяем формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Подставляем $\alpha = a$ и $\beta = \frac{\pi}{3}$:
$\cos a + \cos\frac{\pi}{3} = 2 \cos\frac{a+\frac{\pi}{3}}{2} \cos\frac{a-\frac{\pi}{3}}{2} = 2 \cos(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{6}) \cos(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{6})$.
Ответ: $2 \cos(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{6}) \cos(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{6})$.

7) Для преобразования выражения $\cos a - \frac{\sqrt{3}}{2}$ в произведение, представим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ как $\cos\frac{\pi}{6}$.
Получаем разность косинусов: $\cos a - \cos\frac{\pi}{6}$.
Используем формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Подставляем $\alpha = a$ и $\beta = \frac{\pi}{6}$:
$\cos a - \cos\frac{\pi}{6} = -2 \sin\frac{a+\frac{\pi}{6}}{2} \sin\frac{a-\frac{\pi}{6}}{2} = -2 \sin(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{12}) \sin(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{12})$.
Ответ: $-2 \sin(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{12}) \sin(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{12})$.

8) Для преобразования выражения $\frac{1}{2} - \cos a$ в произведение, представим $\frac{1}{2}$ как $\cos\frac{\pi}{3}$.
Получаем разность косинусов: $\cos\frac{\pi}{3} - \cos a$.
Применяем формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Подставляем $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = a$:
$\cos\frac{\pi}{3} - \cos a = -2 \sin\frac{\frac{\pi}{3}+a}{2} \sin\frac{\frac{\pi}{3}-a}{2} = -2 \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{a}{2}) \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{a}{2})$.
Ответ: $-2 \sin(\frac{a}{2} + \frac{\pi}{6}) \sin(\frac{a}{2} - \frac{\pi}{6})$.

9) Для преобразования выражения $1 + 2\cos x$ в произведение, вынесем за скобки множитель 2: $2(\frac{1}{2} + \cos x)$.
Представим $\frac{1}{2}$ как $\cos\frac{\pi}{3}$. Выражение в скобках станет $\cos\frac{\pi}{3} + \cos x$.
Применим к выражению в скобках формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$2(\cos\frac{\pi}{3} + \cos x) = 2 \cdot \left(2 \cos\frac{\frac{\pi}{3}+x}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{3}-x}{2}\right) = 4 \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{x}{2}) \cos(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2})$.
Ответ: $4 \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}) \cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})$.

10) Для преобразования выражения $2\cos x - \sqrt{2}$ в произведение, вынесем за скобки 2: $2(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Представим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ как $\cos\frac{\pi}{4}$. Выражение в скобках станет $\cos x - \cos\frac{\pi}{4}$.
Применим к выражению в скобках формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$2(\cos x - \cos\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \left(-2 \sin\frac{x+\frac{\pi}{4}}{2} \sin\frac{x-\frac{\pi}{4}}{2}\right) = -4 \sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}) \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
Ответ: $-4 \sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}) \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.

11) Для преобразования выражения $\sqrt{3} - 2\sin 4x$ в произведение, вынесем за скобки 2: $2(\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin 4x)$.
Представим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ как $\sin\frac{\pi}{3}$. Выражение в скобках станет $\sin\frac{\pi}{3} - \sin 4x$.
Применим к выражению в скобках формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:
$2(\sin\frac{\pi}{3} - \sin 4x) = 2 \cdot \left(2 \sin\frac{\frac{\pi}{3}-4x}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{3}+4x}{2}\right) = 4 \sin(\frac{\pi}{6} - 2x) \cos(\frac{\pi}{6} + 2x)$.
Ответ: $4 \sin(\frac{\pi}{6} - 2x) \cos(\frac{\pi}{6} + 2x)$.

12) Для преобразования выражения $\sqrt{3} + 2\cos 2x$ в произведение, вынесем за скобки 2: $2(\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos 2x)$.
Представим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ как $\cos\frac{\pi}{6}$. Выражение в скобках станет $\cos\frac{\pi}{6} + \cos 2x$.
Применим к выражению в скобках формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$2(\cos\frac{\pi}{6} + \cos 2x) = 2 \cdot \left(2 \cos\frac{\frac{\pi}{6}+2x}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{6}-2x}{2}\right) = 4 \cos(\frac{\pi}{12} + x) \cos(\frac{\pi}{12} - x)$.
Ответ: $4 \cos(x + \frac{\pi}{12}) \cos(x - \frac{\pi}{12})$.