Номер 27.9, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.9. Упростите выражение:

1) $\frac{2\sin^2 49^\circ - 1}{\cos 53^\circ - \cos 37^\circ};$

2) $\frac{\sin 11^\circ - \sin 49^\circ}{1 - 2\cos^2 54^\circ 30'};$

3) $\frac{3\sin 124^\circ - \cos 146^\circ - 2\cos 34^\circ}{\cos 49^\circ \cos 15^\circ + \cos 41^\circ \cos 75^\circ};$

4) $\frac{6\sin 25^\circ - 3\cos 65^\circ + 7\sin 155^\circ}{\cos 53^\circ \cos 12^\circ - \cos 37^\circ \cos 78^\circ};$

5) $\frac{4\sin 139^\circ - 7\cos 131^\circ + 2\sin 41^\circ}{\cos 68^\circ \cos 19^\circ + \cos 22^\circ \cos 71^\circ};$

6) $\frac{\cos 37^\circ - 8\cos 143^\circ + 2\sin 127^\circ}{\sin 42^\circ \sin 79^\circ + \sin 48^\circ \sin 11^\circ}.$

1) Упростим числитель, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$, из которой следует, что $2\sin^2\alpha - 1 = -\cos(2\alpha)$. $2\sin^2 49^\circ - 1 = -\cos(2 \cdot 49^\circ) = -\cos(98^\circ)$.

Упростим знаменатель, используя формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$. $\cos 53^\circ - \cos 37^\circ = -2\sin\frac{53^\circ+37^\circ}{2}\sin\frac{53^\circ-37^\circ}{2} = -2\sin\frac{90^\circ}{2}\sin\frac{16^\circ}{2} = -2\sin 45^\circ \sin 8^\circ$. Так как $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 8^\circ = -\sqrt{2} \sin 8^\circ$.

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь: $\frac{-\cos(98^\circ)}{-\sqrt{2} \sin 8^\circ} = \frac{\cos(98^\circ)}{\sqrt{2} \sin 8^\circ}$.

Применим формулу приведения для числителя: $\cos(98^\circ) = \cos(90^\circ + 8^\circ) = -\sin 8^\circ$. $\frac{-\sin 8^\circ}{\sqrt{2} \sin 8^\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) Упростим числитель, используя формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$. $\sin 11^\circ - \sin 49^\circ = 2\sin\frac{11^\circ-49^\circ}{2}\cos\frac{11^\circ+49^\circ}{2} = 2\sin(\frac{-38^\circ}{2})\cos(\frac{60^\circ}{2}) = 2\sin(-19^\circ)\cos(30^\circ)$. Так как $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $-2\sin 19^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3} \sin 19^\circ$.

Упростим знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$, из которой следует, что $1 - 2\cos^2\alpha = -\cos(2\alpha)$. $1 - 2\cos^2 54^\circ 30' = -\cos(2 \cdot 54^\circ 30')$. $2 \cdot 54^\circ 30' = 108^\circ 60' = 109^\circ$. Знаменатель равен $-\cos(109^\circ)$.

Подставим упрощенные выражения в дробь: $\frac{-\sqrt{3} \sin 19^\circ}{-\cos(109^\circ)} = \frac{\sqrt{3} \sin 19^\circ}{\cos(109^\circ)}$.

Применим формулу приведения для знаменателя: $\cos(109^\circ) = \cos(90^\circ + 19^\circ) = -\sin 19^\circ$. $\frac{\sqrt{3} \sin 19^\circ}{-\sin 19^\circ} = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.

3) Упростим числитель, используя формулы приведения: $\sin 124^\circ = \sin(90^\circ + 34^\circ) = \cos 34^\circ$. $\cos 146^\circ = \cos(180^\circ - 34^\circ) = -\cos 34^\circ$. Подставляем в числитель: $3\cos 34^\circ - (-\cos 34^\circ) - 2\cos 34^\circ = 3\cos 34^\circ + \cos 34^\circ - 2\cos 34^\circ = 2\cos 34^\circ$.

Упростим знаменатель. Используем формулы приведения: $\cos 41^\circ = \cos(90^\circ - 49^\circ) = \sin 49^\circ$. $\cos 75^\circ = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ$. Подставляем в знаменатель: $\cos 49^\circ \cos 15^\circ + \sin 49^\circ \sin 15^\circ$. Это формула косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. $\cos 49^\circ \cos 15^\circ + \sin 49^\circ \sin 15^\circ = \cos(49^\circ - 15^\circ) = \cos 34^\circ$.

Подставим упрощенные выражения в дробь: $\frac{2\cos 34^\circ}{\cos 34^\circ} = 2$.

Ответ: $2$.

4) Упростим числитель, используя формулы приведения: $\cos 65^\circ = \cos(90^\circ - 25^\circ) = \sin 25^\circ$. $\sin 155^\circ = \sin(180^\circ - 25^\circ) = \sin 25^\circ$. Подставляем в числитель: $6\sin 25^\circ - 3\sin 25^\circ + 7\sin 25^\circ = (6 - 3 + 7)\sin 25^\circ = 10\sin 25^\circ$.

Упростим знаменатель. Используем формулы приведения: $\cos 37^\circ = \cos(90^\circ - 53^\circ) = \sin 53^\circ$. $\cos 78^\circ = \cos(90^\circ - 12^\circ) = \sin 12^\circ$. Подставляем в знаменатель: $\cos 53^\circ \cos 12^\circ - \sin 53^\circ \sin 12^\circ$. Это формула косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$. $\cos 53^\circ \cos 12^\circ - \sin 53^\circ \sin 12^\circ = \cos(53^\circ + 12^\circ) = \cos 65^\circ$.

Подставим упрощенные выражения в дробь: $\frac{10\sin 25^\circ}{\cos 65^\circ}$. Используем формулу приведения для знаменателя: $\cos 65^\circ = \cos(90^\circ - 25^\circ) = \sin 25^\circ$. $\frac{10\sin 25^\circ}{\sin 25^\circ} = 10$.

Ответ: $10$.

5) Упростим числитель, используя формулы приведения: $\sin 139^\circ = \sin(180^\circ - 41^\circ) = \sin 41^\circ$. $\cos 131^\circ = \cos(90^\circ + 41^\circ) = -\sin 41^\circ$. Подставляем в числитель: $4\sin 41^\circ - 7(-\sin 41^\circ) + 2\sin 41^\circ = 4\sin 41^\circ + 7\sin 41^\circ + 2\sin 41^\circ = (4 + 7 + 2)\sin 41^\circ = 13\sin 41^\circ$.

Упростим знаменатель. Используем формулы приведения: $\cos 22^\circ = \cos(90^\circ - 68^\circ) = \sin 68^\circ$. $\cos 71^\circ = \cos(90^\circ - 19^\circ) = \sin 19^\circ$. Подставляем в знаменатель: $\cos 68^\circ \cos 19^\circ + \sin 68^\circ \sin 19^\circ$. Это формула косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. $\cos 68^\circ \cos 19^\circ + \sin 68^\circ \sin 19^\circ = \cos(68^\circ - 19^\circ) = \cos 49^\circ$.

Подставим упрощенные выражения в дробь: $\frac{13\sin 41^\circ}{\cos 49^\circ}$. Используем формулу приведения для знаменателя: $\cos 49^\circ = \cos(90^\circ - 41^\circ) = \sin 41^\circ$. $\frac{13\sin 41^\circ}{\sin 41^\circ} = 13$.

Ответ: $13$.

6) Упростим числитель, используя формулы приведения: $\cos 143^\circ = \cos(180^\circ - 37^\circ) = -\cos 37^\circ$. $\sin 127^\circ = \sin(90^\circ + 37^\circ) = \cos 37^\circ$. Подставляем в числитель: $\cos 37^\circ - 8(-\cos 37^\circ) + 2\cos 37^\circ = \cos 37^\circ + 8\cos 37^\circ + 2\cos 37^\circ = (1 + 8 + 2)\cos 37^\circ = 11\cos 37^\circ$.

Упростим знаменатель. Используем формулы приведения: $\sin 48^\circ = \sin(90^\circ - 42^\circ) = \cos 42^\circ$. $\sin 11^\circ = \sin(90^\circ - 79^\circ) = \cos 79^\circ$. Подставляем в знаменатель: $\sin 42^\circ \sin 79^\circ + \cos 42^\circ \cos 79^\circ$. Переставим слагаемые: $\cos 42^\circ \cos 79^\circ + \sin 42^\circ \sin 79^\circ$. Это формула косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. $\cos 79^\circ \cos 42^\circ + \sin 79^\circ \sin 42^\circ = \cos(79^\circ - 42^\circ) = \cos 37^\circ$.

Подставим упрощенные выражения в дробь: $\frac{11\cos 37^\circ}{\cos 37^\circ} = 11$.

Ответ: $11$.