Номер 27.11, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.11. Упростите выражение:

1) $1 - 2\sin^2\alpha + \cos(4\alpha - 2\pi)$;

2) $\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$.

1)

Для упрощения выражения $1 - 2\sin^2\alpha + \cos(4\alpha - 2\pi)$ воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Первая часть выражения, $1 - 2\sin^2\alpha$, является формулой косинуса двойного угла:$1 - 2\sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.

Вторая часть выражения, $\cos(4\alpha - 2\pi)$, может быть упрощена, используя свойство периодичности функции косинуса. Период косинуса равен $2\pi$, поэтому $\cos(x - 2k\pi) = \cos(x)$ для любого целого $k$.Следовательно, $\cos(4\alpha - 2\pi) = \cos(4\alpha)$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:$1 - 2\sin^2\alpha + \cos(4\alpha - 2\pi) = \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha)$.

Чтобы упростить дальше, применим формулу суммы косинусов: $\cos(x) + \cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.В нашем случае $x = 4\alpha$ и $y = 2\alpha$.$\cos(4\alpha) + \cos(2\alpha) = 2\cos\left(\frac{4\alpha+2\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{4\alpha-2\alpha}{2}\right) = 2\cos(3\alpha)\cos(\alpha)$.

Ответ: $2\cos(3\alpha)\cos(\alpha)$.

2)

Для упрощения выражения $\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$ воспользуемся формулой суммы синусов.

Формула суммы синусов имеет вид: $\sin(x) + \sin(y) = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{3} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3} - \alpha$.Найдем полусумму и полуразность аргументов:$\frac{x+y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) + (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} = \frac{2\pi/3}{2} = \frac{\pi}{3}$.$\frac{x-y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) - (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$.

Подставим найденные значения в формулу суммы синусов:$\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha)$.

Мы знаем, что значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.$2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\alpha) = \sqrt{3}\cos(\alpha)$.

Ответ: $\sqrt{3}\cos(\alpha)$.