Номер 27.15, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.15. Докажите, что если А, В и С — меры внутренних углов треугольника, то верны равенства:

1) $ \sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}; $

2) $ \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C; $

3) $ \sin 4A + \sin 4B + \sin 4C = - 4 \sin 2A \cdot \sin 2B \cdot \sin 2C. $

1) Докажем равенство $\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2} \cos\frac{C}{2}$.

Поскольку A, B и C — внутренние углы треугольника, их сумма равна $\pi$: $A + B + C = \pi$.

Преобразуем левую часть равенства. Сначала сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\sin A + \sin B + \sin C = \left(\sin A + \sin B\right) + \sin C = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} + \sin C$.

Теперь используем формулу синуса двойного угла для $\sin C = 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$:

$2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} + 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$.

Из условия $A+B+C=\pi$ следует, что $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$. Используя формулы приведения, получаем $\sin\frac{A+B}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \cos\frac{C}{2}$.

Подставим это в наше выражение:

$2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2} + 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$.

Вынесем общий множитель $2\cos\frac{C}{2}$ за скобки:

$2\cos\frac{C}{2}\left(\cos\frac{A-B}{2} + \sin\frac{C}{2}\right)$.

Теперь преобразуем $\sin\frac{C}{2}$. Из $A+B+C=\pi$ следует $\frac{C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2}$. Тогда $\sin\frac{C}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{A+B}{2}\right) = \cos\frac{A+B}{2}$.

Подставим это в скобки: $2\cos\frac{C}{2}\left(\cos\frac{A-B}{2} + \cos\frac{A+B}{2}\right)$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к выражению в скобках:

$\cos\frac{A-B}{2} + \cos\frac{A+B}{2} = 2\cos\frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\cos\frac{\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2}}{2} = 2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}$.

Подставив результат обратно, получаем:

$2\cos\frac{C}{2}\left(2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\right) = 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$.

Таким образом, левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.

2) Докажем равенство $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$.

Используем условие $A + B + C = \pi$.

Преобразуем левую часть. Применим формулу суммы синусов и формулу синуса двойного угла:

$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = (\sin 2A + \sin 2B) + \sin 2C = 2\sin(A+B)\cos(A-B) + 2\sin C\cos C$.

Из $A+B = \pi - C$ следует, что $\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C$.

Подставляем в выражение: $2\sin C\cos(A-B) + 2\sin C\cos C = 2\sin C(\cos(A-B) + \cos C)$.

Из $C = \pi - (A+B)$ следует, что $\cos C = \cos(\pi - (A+B)) = -\cos(A+B)$.

Выражение в скобках становится $\cos(A-B) - \cos(A+B)$.

По формуле разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos(A-B) - \cos(A+B) = -2\sin\frac{(A-B)+(A+B)}{2}\sin\frac{(A-B)-(A+B)}{2} = -2\sin A \sin(-B) = 2\sin A\sin B$.

Подставляя это обратно, получаем:

$2\sin C(2\sin A\sin B) = 4\sin A\sin B\sin C$.

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.

3) Докажем равенство $\sin 4A + \sin 4B + \sin 4C = -4 \sin 2A \sin 2B \sin 2C$.

Используем условие $A + B + C = \pi$.

Преобразуем левую часть, используя те же методы:

$\sin 4A + \sin 4B + \sin 4C = (\sin 4A + \sin 4B) + \sin 4C = 2\sin(2A+2B)\cos(2A-2B) + 2\sin 2C\cos 2C$.

Из $A+B+C=\pi$ следует $2A+2B+2C = 2\pi$, откуда $2A+2B = 2\pi - 2C$.

Тогда $\sin(2A+2B) = \sin(2\pi-2C) = -\sin 2C$.

Подставляем в выражение: $2(-\sin 2C)\cos(2A-2B) + 2\sin 2C\cos 2C = -2\sin 2C(\cos(2A-2B) - \cos 2C)$.

Из $2C = 2\pi - (2A+2B)$ следует, что $\cos 2C = \cos(2\pi - (2A+2B)) = \cos(2A+2B)$.

Выражение в скобках становится $\cos(2A-2B) - \cos(2A+2B)$.

Применяя формулу разности косинусов, получаем:

$\cos(2A-2B) - \cos(2A+2B) = -2\sin\frac{(2A-2B)+(2A+2B)}{2}\sin\frac{(2A-2B)-(2A+2B)}{2} = -2\sin 2A \sin(-2B) = 2\sin 2A\sin 2B$.

Подставляя это обратно, получаем:

$-2\sin 2C(2\sin 2A\sin 2B) = -4\sin 2A\sin 2B\sin 2C$.

Левая часть равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Доказано.