Номер 27.12, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.12. Преобразуйте в произведение выражение:

1) $1 + \sin\beta + \cos\beta$;

2) $1 + \sin\beta - \cos\beta$;

3) $1 - \sin\beta + \cos\beta$;

4) $1 - \sin\beta - \cos\beta$.

1) Для преобразования выражения $1 + \sin\beta + \cos\beta$ в произведение, сгруппируем слагаемые и воспользуемся тригонометрическими формулами половинного угла.
Сгруппируем $1$ и $\cos\beta$: $(1 + \cos\beta) + \sin\beta$.
Применим формулу $1 + \cos\beta = 2\cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$ и формулу синуса двойного угла $\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Выражение примет вид: $2\cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Вынесем за скобки общий множитель $2\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$: $2\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) + \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right)$.
Выражение в скобках преобразуем с помощью метода вспомогательного угла: $\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) + \sin\left(\frac{\beta}{2}\right) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) + \sin\frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right) = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.
Подставим полученное выражение обратно: $2\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) \cdot \sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.
Ответ: $2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.

2) Для преобразования выражения $1 + \sin\beta - \cos\beta$ сгруппируем слагаемые иначе: $(1 - \cos\beta) + \sin\beta$.
Применим формулу $1 - \cos\beta = 2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$ и формулу синуса двойного угла $\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Выражение примет вид: $2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Вынесем за скобки общий множитель $2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$: $2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) + \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\right)$.
Выражение в скобках, как и в предыдущем пункте, равно $\sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.
Подставим это выражение обратно: $2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) \cdot \sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.
Ответ: $2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.

3) Для преобразования выражения $1 - \sin\beta + \cos\beta$ сгруппируем слагаемые так: $(1 + \cos\beta) - \sin\beta$.
Используем те же формулы, что и в первом пункте: $1 + \cos\beta = 2\cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$ и $\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Выражение примет вид: $2\cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right) - 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Вынесем за скобки общий множитель $2\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$: $2\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) - \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right)$.
Выражение в скобках преобразуем с помощью метода вспомогательного угла: $\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) - \sin\left(\frac{\beta}{2}\right) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) - \sin\frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right) = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$.
Подставим полученное выражение обратно: $2\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) \cdot \sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$.
Ответ: $2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$.

4) Для преобразования выражения $1 - \sin\beta - \cos\beta$ сгруппируем слагаемые так: $(1 - \cos\beta) - \sin\beta$.
Применим формулы $1 - \cos\beta = 2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$ и $\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Выражение примет вид: $2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right) - 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$.
Вынесем за скобки общий множитель $2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$: $2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\left(\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) - \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\right)$.
Выражение в скобках преобразуем с помощью метода вспомогательного угла: $\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) - \cos\left(\frac{\beta}{2}\right) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\cos\frac{\pi}{4} - \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.
Подставим полученное выражение обратно: $2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) \cdot \sqrt{2}\sin\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.
Ответ: $2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.