Номер 27.19, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.19. Упростите выражение:

1) $\sin(\pi + x) \cdot \sin(4\pi + x) - \cos(6\pi - 2x);$

2) $\sin(2\pi + 2x) + 4 \sin x \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right).$

1) Для упрощения выражения $sin(\pi + x) \cdot sin(4\pi + x) - cos(6\pi - 2x)$ воспользуемся формулами приведения и свойством периодичности тригонометрических функций.

По формулам приведения:

$sin(\pi + x) = -sin(x)$, так как угол $(\pi+x)$ находится в III четверти, где синус отрицателен, а при прибавлении $\pi$ название функции не меняется.

В силу периодичности функции синус (период равен $2\pi$):

$sin(4\pi + x) = sin(2 \cdot 2\pi + x) = sin(x)$.

В силу периодичности функции косинус (период равен $2\pi$) и ее четности ($cos(-\alpha) = cos(\alpha)$):

$cos(6\pi - 2x) = cos(3 \cdot 2\pi - 2x) = cos(-2x) = cos(2x)$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:

$(-sin(x)) \cdot sin(x) - cos(2x) = -sin^2(x) - cos(2x)$.

Далее используем формулу косинуса двойного угла $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$:

$-sin^2(x) - (cos^2(x) - sin^2(x)) = -sin^2(x) - cos^2(x) + sin^2(x) = -cos^2(x)$.

Другой способ — использовать формулу $cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)$:

$-sin^2(x) - (1 - 2sin^2(x)) = -sin^2(x) - 1 + 2sin^2(x) = sin^2(x) - 1$.

Из основного тригонометрического тождества $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$ следует, что $sin^2(x) - 1 = -cos^2(x)$.

Ответ: $-cos^2(x)$.

2) Упростим выражение $sin(2\pi + 2x) + 4 \cdot sinx \cdot sin(\frac{3\pi}{2} + x)$.

Используем свойство периодичности функции синус:

$sin(2\pi + 2x) = sin(2x)$.

Применим формулу приведения:

$sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -cos(x)$, так как угол $(\frac{3\pi}{2}+x)$ находится в IV четверти, где синус отрицателен, а при прибавлении $\frac{3\pi}{2}$ название функции меняется на кофункцию.

Подставим полученные выражения в исходное:

$sin(2x) + 4 \cdot sinx \cdot (-cos(x)) = sin(2x) - 4sinx \cdot cosx$.

Используем формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sinx \cdot cosx$:

$sin(2x) - 2 \cdot (2sinx \cdot cosx) = sin(2x) - 2sin(2x) = -sin(2x)$.

Ответ: $-sin(2x)$.