Вопросы, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Для каких углов можно использовать формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму?

2. Почему формулу $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)]$ относят к формулам преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, а не в разность?

1. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (или разность) можно использовать для любых углов.
Это связано с тем, что основные тригонометрические функции, такие как синус ($ \sin x $) и косинус ($ \cos x $), определены для любого действительного числа $x$. Аргументами этих функций могут быть любые углы, выраженные в градусах или радианах.
Рассмотрим, например, формулы:
$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $
$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] $
$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $
Во всех этих формулах-тождествах углы $ \alpha $ и $ \beta $ могут принимать любые действительные значения. Никаких ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа, в этих формулах не возникает. Следовательно, они справедливы для абсолютно любых углов.
Ответ: Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму можно использовать для любых углов $ \alpha $ и $ \beta $, так как функции синус и косинус определены на всей числовой оси.

2. Формулу $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $ относят к формулам преобразования в сумму, потому что в алгебре понятие "сумма" часто используется в более широком смысле, как "алгебраическая сумма".
Алгебраическая сумма — это операция, которая включает как сложение, так и вычитание. Любую разность можно представить в виде суммы. Например, выражение $ A - B $ можно записать как сумму $ A + (-B) $.
Таким образом, правая часть формулы $ \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $ является алгебраической суммой двух слагаемых: $ \frac{1}{2}\cos(\alpha - \beta) $ и $ (-\frac{1}{2}\cos(\alpha + \beta)) $.
Название "формулы преобразования произведения в сумму" является обобщающим для всей группы подобных тождеств. Оно подчеркивает главный принцип: переход от операции умножения тригонометрических функций к операции сложения/вычитания. Некоторые формулы в этой группе содержат знак плюс, другие — минус, но все они относятся к одному классу преобразований.
Ответ: Эту формулу относят к формулам преобразования в сумму, так как в математике разность рассматривается как частный случай суммы (алгебраическая сумма), а название является обобщающим для всей группы формул, преобразующих произведение в сложение или вычитание.