Номер 28.7, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.7. Докажите справедливость равенства:

1) $4\cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{3} + 2\cos\alpha;$

2) $2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}\right) = 1 - \sqrt{2}\sin\alpha;$

3) $\cos^2(45^\circ - x) - \cos^2(60^\circ + x) - \cos75^\circ\sin(75^\circ - 2x) = \sin2x;$

4) $\sin^2(45^\circ + x) - \sin^2(30^\circ - x) - \cos75^\circ \cdot \cos(15^\circ + 2x) = \sin2x.$

1) Докажем тождество $4\cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{3} + 2\cos\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу произведения косинусов $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$.

Пусть $A = \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}$ и $B = \frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}$.

Тогда $A+B = \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

И $A-B = \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$.

Подставим эти значения в левую часть исходного равенства:

$4\cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right) = 2 \cdot \left(2\cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = 2(\cos(A+B) + \cos(A-B)) = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha\right)$.

Зная, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos\alpha\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\cos\alpha = \sqrt{3} + 2\cos\alpha$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано путем применения формулы произведения косинусов и упрощения выражения.

2) Докажем тождество $2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}\right) = 1 - \sqrt{2}\sin\alpha$.

Преобразуем левую часть, используя формулу произведения синуса на косинус $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.

Пусть $A = \frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}$ и $B = \frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}$.

Тогда $A+B = \left(\frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.

И $A-B = \left(\frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}\right) = -\frac{2\alpha}{2} = -\alpha$.

Подставим эти значения в левую часть исходного равенства:

$2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{2} \cdot \left(2\sin\left(\frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}\right)\right) = \sqrt{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B)) = \sqrt{2}\left(\sin\frac{\pi}{4} + \sin(-\alpha)\right)$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и значение $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin\alpha\right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}\sin\alpha = \frac{2}{2} - \sqrt{2}\sin\alpha = 1 - \sqrt{2}\sin\alpha$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано с помощью формулы произведения синуса на косинус и последующих упрощений.

3) Докажем тождество $\cos^2(45^\circ - x) - \cos^2(60^\circ + x) - \cos75^\circ\sin(75^\circ - 2x) = \sin2x$.

Преобразуем левую часть по частям. Сначала разность квадратов косинусов, используя формулу понижения степени $\cos^2A = \frac{1+\cos2A}{2}$:

$\cos^2(45^\circ - x) - \cos^2(60^\circ + x) = \frac{1+\cos(2(45^\circ-x))}{2} - \frac{1+\cos(2(60^\circ+x))}{2} = \frac{1+\cos(90^\circ-2x) - (1+\cos(120^\circ+2x))}{2}$.

Применяя формулу приведения $\cos(90^\circ-\beta)=\sin\beta$, получаем:

$\frac{1+\sin2x - 1-\cos(120^\circ+2x)}{2} = \frac{\sin2x - \cos(120^\circ+2x)}{2}$.

Теперь преобразуем третье слагаемое, используя формулу произведения косинуса на синус $2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$:

$\cos75^\circ\sin(75^\circ - 2x) = \frac{1}{2}(\sin(75^\circ+75^\circ-2x) - \sin(75^\circ-(75^\circ-2x))) = \frac{1}{2}(\sin(150^\circ-2x) - \sin(2x))$.

Подставим все в левую часть исходного равенства:

$\frac{\sin2x - \cos(120^\circ+2x)}{2} - \frac{\sin(150^\circ-2x) - \sin2x}{2} = \frac{1}{2}(\sin2x - \cos(120^\circ+2x) - \sin(150^\circ-2x) + \sin2x)$.

$\frac{1}{2}(2\sin2x - \cos(120^\circ+2x) - \sin(150^\circ-2x))$.

Раскроем скобки, используя формулы суммы и разности углов:

$\cos(120^\circ+2x) = \cos120^\circ\cos2x - \sin120^\circ\sin2x = -\frac{1}{2}\cos2x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x$.

$\sin(150^\circ-2x) = \sin150^\circ\cos2x - \cos150^\circ\sin2x = \frac{1}{2}\cos2x - (-\frac{\sqrt{3}}{2})\sin2x = \frac{1}{2}\cos2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x$.

Подставляем обратно:

$\frac{1}{2}(2\sin2x - (-\frac{1}{2}\cos2x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x) - (\frac{1}{2}\cos2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x)) = \frac{1}{2}(2\sin2x + \frac{1}{2}\cos2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x - \frac{1}{2}\cos2x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x)$.

После сокращения взаимно уничтожающихся слагаемых остается: $\frac{1}{2}(2\sin2x) = \sin2x$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано с помощью формул понижения степени, произведения тригонометрических функций и формул сложения/вычитания углов.

4) Докажем тождество $\sin^2(45^\circ + x) - \sin^2(30^\circ - x) - \cos75^\circ \cos(15^\circ + 2x) = \sin2x$.

Преобразуем левую часть. Для разности квадратов синусов используем формулу $\sin^2A - \sin^2B = \sin(A+B)\sin(A-B)$.

Пусть $A = 45^\circ + x$ и $B = 30^\circ - x$.

Тогда $A+B = (45^\circ + x) + (30^\circ - x) = 75^\circ$.

И $A-B = (45^\circ + x) - (30^\circ - x) = 15^\circ + 2x$.

Следовательно, $\sin^2(45^\circ + x) - \sin^2(30^\circ - x) = \sin(75^\circ)\sin(15^\circ + 2x)$.

Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

$\sin(75^\circ)\sin(15^\circ + 2x) - \cos75^\circ \cos(15^\circ + 2x)$.

Вынесем минус за скобки:

$-(\cos75^\circ \cos(15^\circ + 2x) - \sin75^\circ \sin(15^\circ + 2x))$.

Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$, где $A = 75^\circ$ и $B = 15^\circ + 2x$.

Получаем: $-\cos(75^\circ + (15^\circ + 2x)) = -\cos(90^\circ + 2x)$.

Используя формулу приведения $\cos(90^\circ + \beta) = -\sin\beta$, имеем:

$-(-\sin2x) = \sin2x$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано с помощью формулы разности квадратов синусов, формулы косинуса суммы и формулы приведения.