Номер 28.6, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.6. Упростите выражение:

1) $2\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right);$

2) $2\sin\left(\beta + \frac{2\pi}{3}\right)\sin\left(\beta + \frac{\pi}{3}\right).$

1) Для упрощения выражения $2\sin(\alpha + \frac{\pi}{3})\cos(\alpha - \frac{\pi}{3})$ воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (формула произведения синуса на косинус):

$2\sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y)$

В нашем случае $x = \alpha + \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha - \frac{\pi}{3}$.

Найдем сумму и разность аргументов:

$x+y = (\alpha + \frac{\pi}{3}) + (\alpha - \frac{\pi}{3}) = 2\alpha$

$x-y = (\alpha + \frac{\pi}{3}) - (\alpha - \frac{\pi}{3}) = \alpha + \frac{\pi}{3} - \alpha + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

Подставим эти значения в формулу:

$2\sin(\alpha + \frac{\pi}{3})\cos(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \sin(2\alpha) + \sin(\frac{2\pi}{3})$

Известно, что значение $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, итоговое выражение равно:

$\sin(2\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\sin(2\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Для упрощения выражения $2\sin(\beta + \frac{2\pi}{3})\sin(\beta + \frac{\pi}{3})$ воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов:

$2\sin x \sin y = \cos(x-y) - \cos(x+y)$

В нашем случае $x = \beta + \frac{2\pi}{3}$ и $y = \beta + \frac{\pi}{3}$.

Найдем разность и сумму аргументов:

$x-y = (\beta + \frac{2\pi}{3}) - (\beta + \frac{\pi}{3}) = \beta + \frac{2\pi}{3} - \beta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$

$x+y = (\beta + \frac{2\pi}{3}) + (\beta + \frac{\pi}{3}) = 2\beta + \frac{3\pi}{3} = 2\beta + \pi$

Подставим эти значения в формулу:

$2\sin(\beta + \frac{2\pi}{3})\sin(\beta + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(2\beta + \pi)$

Упростим полученное выражение. Значение $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Для второго слагаемого используем формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$, поэтому $\cos(2\beta + \pi) = -\cos(2\beta)$.

Тогда выражение принимает вид:

$\frac{1}{2} - (-\cos(2\beta)) = \frac{1}{2} + \cos(2\beta)$

Ответ: $\frac{1}{2} + \cos(2\beta)$.