Номер 28.5, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.5. Найдите значение выражения:

1) $cos(\alpha + \beta)$, если $sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}$ и $cos\alpha cos\beta = -\frac{1}{2}$;

2) $cos(\alpha - \beta)$, если $sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}$ и $cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}$;

3) $\sqrt{2} cos(\alpha - \beta)$, если $cos\alpha cos\beta = -\frac{1}{2}$ и $sin\alpha sin\beta = -\frac{1}{2}$;

4) $3 cos(\alpha + \beta)$, если $cos \alpha cos\beta = -\frac{1}{2}$ и $sin\alpha sin\beta = -\frac{1}{2}$.

1) Для нахождения значения выражения $cos(α + β)$ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:

$cos(α + β) = cosα \cdot cosβ - sinα \cdot sinβ$

В условии даны значения $sinα \cdot sinβ = \frac{1}{2}$ и $cosα \cdot cosβ = -\frac{1}{2}$. Подставим их в формулу:

$cos(α + β) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$

Ответ: -1

2) Для нахождения значения выражения $cos(α - β)$ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов:

$cos(α - β) = cosα \cdot cosβ + sinα \cdot sinβ$

В условии даны значения $sinα \cdot sinβ = \frac{1}{2}$ и $cosα \cdot cosβ = \frac{1}{2}$. Подставим их в формулу:

$cos(α - β) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Ответ: 1

3) Сначала найдем значение $cos(α - β)$, используя формулу косинуса разности:

$cos(α - β) = cosα \cdot cosβ + sinα \cdot sinβ$

Подставим известные значения $cosα \cdot cosβ = \frac{1}{2}$ и $sinα \cdot sinβ = -\frac{1}{2}$:

$cos(α - β) = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Теперь умножим полученный результат на $\sqrt{2}$, чтобы найти значение всего выражения:

$\sqrt{2} \cdot cos(α - β) = \sqrt{2} \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

4) Сначала найдем значение $cos(α + β)$, используя формулу косинуса суммы:

$cos(α + β) = cosα \cdot cosβ - sinα \cdot sinβ$

Подставим известные значения $cosα \cdot cosβ = -\frac{1}{2}$ и $sinα \cdot sinβ = -\frac{1}{2}$:

$cos(α + β) = -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Теперь умножим полученный результат на 3, чтобы найти значение всего выражения:

$3 \cdot cos(α + β) = 3 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0