Номер 28.12, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.12. Найдите значение выражения:

1) $\cos6x + \cos8x + 2\sin3x \cdot \sin5x$, если $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

2) $\cos12x - \cos6x - 2\cos7x \cdot \cos5x$, если $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) Сначала упростим данное выражение $\cos6x + \cos8x + 2\sin3x \cdot \sin5x$.

Для этого воспользуемся формулой произведения синусов: $2\sin\alpha \cdot \sin\beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.

Применим эту формулу к члену $2\sin3x \cdot \sin5x$. Пусть $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$. Тогда:

$2\sin5x \cdot \sin3x = \cos(5x - 3x) - \cos(5x + 3x) = \cos2x - \cos8x$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$\cos6x + \cos8x + (\cos2x - \cos8x) = \cos6x + \cos8x + \cos2x - \cos8x = \cos6x + \cos2x$.

Далее нам нужно найти значение выражения $\cos6x + \cos2x$, используя условие $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Найдем $\cos2x$, используя формулу косинуса двойного угла $\cos2x = 1 - 2\sin^2x$:

$\cos2x = 1 - 2\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{3}{9} = 1 - 2 \cdot \frac{1}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем $\cos6x$. Представим $6x$ как $3 \cdot (2x)$ и воспользуемся формулой косинуса тройного угла $\cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.

Пусть $\alpha = 2x$. Тогда:

$\cos6x = \cos(3 \cdot 2x) = 4\cos^3(2x) - 3\cos(2x)$.

Подставим ранее найденное значение $\cos2x = \frac{1}{3}$:

$\cos6x = 4\left(\frac{1}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{1}{3}\right) = 4 \cdot \frac{1}{27} - 1 = \frac{4}{27} - \frac{27}{27} = -\frac{23}{27}$.

Наконец, вычислим значение всего выражения:

$\cos6x + \cos2x = -\frac{23}{27} + \frac{1}{3} = -\frac{23}{27} + \frac{9}{27} = \frac{-23 + 9}{27} = -\frac{14}{27}$.

Ответ: $-\frac{14}{27}$.

2) Сначала упростим выражение $\cos12x - \cos6x - 2\cos7x \cdot \cos5x$.

Воспользуемся формулой произведения косинусов: $2\cos\alpha \cdot \cos\beta = \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)$.

Применим эту формулу к члену $2\cos7x \cdot \cos5x$. Пусть $\alpha = 7x$ и $\beta = 5x$. Тогда:

$2\cos7x \cdot \cos5x = \cos(7x - 5x) + \cos(7x + 5x) = \cos2x + \cos12x$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$\cos12x - \cos6x - (\cos2x + \cos12x) = \cos12x - \cos6x - \cos2x - \cos12x = -(\cos6x + \cos2x)$.

Далее нам нужно найти значение выражения $-(\cos6x + \cos2x)$, используя условие $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Найдем $\cos2x$, используя формулу косинуса двойного угла $\cos2x = 2\cos^2x - 1$:

$\cos2x = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{3}{9} - 1 = 2 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$.

Теперь найдем $\cos6x$. Представим $6x$ как $3 \cdot (2x)$ и воспользуемся формулой косинуса тройного угла $\cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.

Пусть $\alpha = 2x$. Тогда:

$\cos6x = \cos(3 \cdot 2x) = 4\cos^3(2x) - 3\cos(2x)$.

Подставим ранее найденное значение $\cos2x = -\frac{1}{3}$:

$\cos6x = 4\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 3\left(-\frac{1}{3}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{1}{27}\right) + 1 = -\frac{4}{27} + \frac{27}{27} = \frac{23}{27}$.

Наконец, вычислим значение всего выражения:

$-(\cos6x + \cos2x) = -\left(\frac{23}{27} + \left(-\frac{1}{3}\right)\right) = -\left(\frac{23}{27} - \frac{9}{27}\right) = -\left(\frac{14}{27}\right) = -\frac{14}{27}$.

Ответ: $-\frac{14}{27}$.