Страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

28.12. Найдите значение выражения:

1) $\cos6x + \cos8x + 2\sin3x \cdot \sin5x$, если $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

2) $\cos12x - \cos6x - 2\cos7x \cdot \cos5x$, если $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) Сначала упростим данное выражение $\cos6x + \cos8x + 2\sin3x \cdot \sin5x$.

Для этого воспользуемся формулой произведения синусов: $2\sin\alpha \cdot \sin\beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.

Применим эту формулу к члену $2\sin3x \cdot \sin5x$. Пусть $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$. Тогда:

$2\sin5x \cdot \sin3x = \cos(5x - 3x) - \cos(5x + 3x) = \cos2x - \cos8x$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$\cos6x + \cos8x + (\cos2x - \cos8x) = \cos6x + \cos8x + \cos2x - \cos8x = \cos6x + \cos2x$.

Далее нам нужно найти значение выражения $\cos6x + \cos2x$, используя условие $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Найдем $\cos2x$, используя формулу косинуса двойного угла $\cos2x = 1 - 2\sin^2x$:

$\cos2x = 1 - 2\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{3}{9} = 1 - 2 \cdot \frac{1}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем $\cos6x$. Представим $6x$ как $3 \cdot (2x)$ и воспользуемся формулой косинуса тройного угла $\cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.

Пусть $\alpha = 2x$. Тогда:

$\cos6x = \cos(3 \cdot 2x) = 4\cos^3(2x) - 3\cos(2x)$.

Подставим ранее найденное значение $\cos2x = \frac{1}{3}$:

$\cos6x = 4\left(\frac{1}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{1}{3}\right) = 4 \cdot \frac{1}{27} - 1 = \frac{4}{27} - \frac{27}{27} = -\frac{23}{27}$.

Наконец, вычислим значение всего выражения:

$\cos6x + \cos2x = -\frac{23}{27} + \frac{1}{3} = -\frac{23}{27} + \frac{9}{27} = \frac{-23 + 9}{27} = -\frac{14}{27}$.

Ответ: $-\frac{14}{27}$.

2) Сначала упростим выражение $\cos12x - \cos6x - 2\cos7x \cdot \cos5x$.

Воспользуемся формулой произведения косинусов: $2\cos\alpha \cdot \cos\beta = \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)$.

Применим эту формулу к члену $2\cos7x \cdot \cos5x$. Пусть $\alpha = 7x$ и $\beta = 5x$. Тогда:

$2\cos7x \cdot \cos5x = \cos(7x - 5x) + \cos(7x + 5x) = \cos2x + \cos12x$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$\cos12x - \cos6x - (\cos2x + \cos12x) = \cos12x - \cos6x - \cos2x - \cos12x = -(\cos6x + \cos2x)$.

Далее нам нужно найти значение выражения $-(\cos6x + \cos2x)$, используя условие $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Найдем $\cos2x$, используя формулу косинуса двойного угла $\cos2x = 2\cos^2x - 1$:

$\cos2x = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{3}{9} - 1 = 2 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$.

Теперь найдем $\cos6x$. Представим $6x$ как $3 \cdot (2x)$ и воспользуемся формулой косинуса тройного угла $\cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.

Пусть $\alpha = 2x$. Тогда:

$\cos6x = \cos(3 \cdot 2x) = 4\cos^3(2x) - 3\cos(2x)$.

Подставим ранее найденное значение $\cos2x = -\frac{1}{3}$:

$\cos6x = 4\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 3\left(-\frac{1}{3}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{1}{27}\right) + 1 = -\frac{4}{27} + \frac{27}{27} = \frac{23}{27}$.

Наконец, вычислим значение всего выражения:

$-(\cos6x + \cos2x) = -\left(\frac{23}{27} + \left(-\frac{1}{3}\right)\right) = -\left(\frac{23}{27} - \frac{9}{27}\right) = -\left(\frac{14}{27}\right) = -\frac{14}{27}$.

Ответ: $-\frac{14}{27}$.

28.13. Докажите тождество:

1) $ \sin^2 2x - \cos \left( \frac{\pi}{3} - 2x \right) \cdot \sin \left( 2x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{4} $;

2) $ 1 + 2\cos 2x - 4\cos \left( \frac{\pi}{6} + x \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{6} - x \right) = 0 $.

1) Докажем тождество $\sin^2{2x} - \cos(\frac{\pi}{3} - 2x) \cdot \sin(2x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{4}$, преобразовав его левую часть.

Сначала используем формулу приведения для косинуса, чтобы выразить его через синус: $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Применим эту формулу к члену $\cos(\frac{\pi}{3} - 2x)$:

$\cos(\frac{\pi}{3} - 2x) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{3} - 2x)) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2x) = \sin(\frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2x) = \sin(\frac{\pi}{6} + 2x)$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного тождества. Она примет вид:

$\sin^2{2x} - \sin(\frac{\pi}{6} + 2x) \cdot \sin(2x - \frac{\pi}{6})$

Далее воспользуемся формулой произведения синусов, которая является следствием формулы косинуса разности: $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = \frac{\pi}{6}$. Применяя формулу, получаем:

$\sin(2x + \frac{\pi}{6}) \cdot \sin(2x - \frac{\pi}{6}) = \sin^2(2x) - \sin^2(\frac{\pi}{6})$.

Подставим это в наше выражение:

$\sin^2{2x} - (\sin^2(2x) - \sin^2(\frac{\pi}{6})) = \sin^2{2x} - \sin^2(2x) + \sin^2(\frac{\pi}{6}) = \sin^2(\frac{\pi}{6})$.

Осталось вычислить значение $\sin^2(\frac{\pi}{6})$:

Поскольку $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, то $\sin^2(\frac{\pi}{6}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна $\frac{1}{4}$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество $\sin^2{2x} - \cos(\frac{\pi}{3} - 2x) \cdot \sin(2x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{4}$ доказано.

2) Докажем тождество $1 + 2\cos{2x} - 4\cos(\frac{\pi}{6} + x) \cdot \cos(\frac{\pi}{6} - x) = 0$, преобразовав его левую часть.

Рассмотрим произведение косинусов $4\cos(\frac{\pi}{6} + x) \cdot \cos(\frac{\pi}{6} - x)$.

Используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Пусть $\alpha = \frac{\pi}{6} + x$ и $\beta = \frac{\pi}{6} - x$. Тогда:

$\alpha - \beta = (\frac{\pi}{6} + x) - (\frac{\pi}{6} - x) = 2x$

$\alpha + \beta = (\frac{\pi}{6} + x) + (\frac{\pi}{6} - x) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

Подставляем найденные значения в формулу произведения:

$\cos(\frac{\pi}{6} + x) \cdot \cos(\frac{\pi}{6} - x) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(\frac{\pi}{3}))$.

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$1 + 2\cos{2x} - 4 \cdot \left[ \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(\frac{\pi}{3})) \right]$

Упростим полученное выражение:

$1 + 2\cos{2x} - 2(\cos(2x) + \cos(\frac{\pi}{3}))$

Мы знаем значение косинуса: $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Подставим его:

$1 + 2\cos{2x} - 2(\cos(2x) + \frac{1}{2})$

Раскроем скобки:

$1 + 2\cos{2x} - 2\cos{2x} - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 2\cos{2x} - 2\cos{2x} - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(1 - 1) + (2\cos{2x} - 2\cos{2x}) = 0 + 0 = 0$.

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна $0$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество $1 + 2\cos{2x} - 4\cos(\frac{\pi}{6} + x) \cdot \cos(\frac{\pi}{6} - x) = 0$ доказано.

28.14. Найдите значение тригонометрического выражения:

1) $\sin 15^\circ \cos 7^\circ - \cos 11^\circ \cos 79^\circ - \sin 4^\circ \sin 86^\circ;$

2) $\cos 17^\circ \cos 73^\circ - \sin 13^\circ \cos 21^\circ - \cos 4^\circ \cos 86^\circ.$

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

$\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$
$\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$
$\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$

Преобразуем каждый член исходного выражения $\sin15^\circ \cos 7^\circ - \cos11^\circ \cos79^\circ - \sin4^\circ \sin86^\circ$ по отдельности:

$\sin15^\circ \cos7^\circ = \frac{1}{2}(\sin(15^\circ+7^\circ) + \sin(15^\circ-7^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin22^\circ + \sin8^\circ)$.

$\cos11^\circ \cos79^\circ = \frac{1}{2}(\cos(11^\circ+79^\circ) + \cos(11^\circ-79^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos90^\circ + \cos(-68^\circ)) = \frac{1}{2}(0 + \cos68^\circ) = \frac{1}{2}\cos68^\circ$.

$\sin4^\circ \sin86^\circ = \frac{1}{2}(\cos(4^\circ-86^\circ) - \cos(4^\circ+86^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(-82^\circ) - \cos90^\circ) = \frac{1}{2}(\cos82^\circ - 0) = \frac{1}{2}\cos82^\circ$.

Теперь подставим полученные результаты обратно в выражение:

$\frac{1}{2}(\sin22^\circ + \sin8^\circ) - \frac{1}{2}\cos68^\circ - \frac{1}{2}\cos82^\circ = \frac{1}{2}\sin22^\circ + \frac{1}{2}\sin8^\circ - \frac{1}{2}\cos68^\circ - \frac{1}{2}\cos82^\circ$.

Далее применим формулы приведения $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$:

$\cos68^\circ = \sin(90^\circ - 68^\circ) = \sin22^\circ$
$\cos82^\circ = \sin(90^\circ - 82^\circ) = \sin8^\circ$

Подставив эти значения, получаем:

$\frac{1}{2}\sin22^\circ + \frac{1}{2}\sin8^\circ - \frac{1}{2}\sin22^\circ - \frac{1}{2}\sin8^\circ = 0$.

Ответ: $0$

2) Аналогично первому пункту, применим формулы преобразования произведения в сумму к выражению $\cos17^\circ \cos73^\circ - \sin13^\circ \cos21^\circ - \cos4^\circ \cos86^\circ$.

Преобразуем каждый член выражения:

$\cos17^\circ \cos73^\circ = \frac{1}{2}(\cos(17^\circ+73^\circ) + \cos(17^\circ-73^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos90^\circ + \cos(-56^\circ)) = \frac{1}{2}(0 + \cos56^\circ) = \frac{1}{2}\cos56^\circ$.

$\sin13^\circ \cos21^\circ = \frac{1}{2}(\sin(13^\circ+21^\circ) + \sin(13^\circ-21^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin34^\circ + \sin(-8^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin34^\circ - \sin8^\circ)$.

$\cos4^\circ \cos86^\circ = \frac{1}{2}(\cos(4^\circ+86^\circ) + \cos(4^\circ-86^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos90^\circ + \cos(-82^\circ)) = \frac{1}{2}(0 + \cos82^\circ) = \frac{1}{2}\cos82^\circ$.

Подставим преобразованные члены в исходное выражение:

$\frac{1}{2}\cos56^\circ - \left( \frac{1}{2}(\sin34^\circ - \sin8^\circ) \right) - \frac{1}{2}\cos82^\circ = \frac{1}{2}\cos56^\circ - \frac{1}{2}\sin34^\circ + \frac{1}{2}\sin8^\circ - \frac{1}{2}\cos82^\circ$.

Теперь воспользуемся формулами приведения $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$:

$\cos56^\circ = \sin(90^\circ - 56^\circ) = \sin34^\circ$
$\cos82^\circ = \sin(90^\circ - 82^\circ) = \sin8^\circ$

Подставим эти равенства в наше выражение и получим:

$\frac{1}{2}\sin34^\circ - \frac{1}{2}\sin34^\circ + \frac{1}{2}\sin8^\circ - \frac{1}{2}\sin8^\circ = 0$.

Ответ: $0$

28.15. Упростите выражение:

1) $ \sin5x \cdot \sin4x + \sin4x \cdot \sin3x - \sin2x \cdot \sinx - 2\sin3x \cdot \sin5x \cdot \cosx; $

2) $ 1 + \tan3x - \tan(60^{\circ} + x) \cdot \tanx. $

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими формулами и группировкой слагаемых.

Исходное выражение:

$ \sin5x \cdot \sin4x + \sin4x \cdot \sin3x - \sin2x \cdot \sin x - 2\sin3x \cdot \sin5x \cdot \cos x $

Сначала преобразуем последнее слагаемое, используя формулу произведения синуса на косинус $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$.

$ -2\sin3x \cdot \sin5x \cdot \cos x = -\sin5x \cdot (2\sin3x \cos x) = -\sin5x \cdot (\sin(3x+x) + \sin(3x-x)) = -\sin5x(\sin4x + \sin2x) $

Раскроем скобки:

$ -\sin5x \cdot \sin4x - \sin5x \cdot \sin2x $

Теперь подставим это преобразованное слагаемое обратно в исходное выражение:

$ \sin5x \cdot \sin4x + \sin4x \cdot \sin3x - \sin2x \cdot \sin x - \sin5x \cdot \sin4x - \sin5x \cdot \sin2x $

Сократим подобные члены ($\sin5x \cdot \sin4x$ и $-\sin5x \cdot \sin4x$):

$ \sin4x \cdot \sin3x - \sin2x \cdot \sin x - \sin5x \cdot \sin2x $

Вынесем общий множитель $-\sin2x$ из последних двух слагаемых:

$ \sin4x \cdot \sin3x - \sin2x(\sin x + \sin5x) $

Применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к выражению в скобках:

$ \sin x + \sin5x = 2\sin\frac{x+5x}{2}\cos\frac{5x-x}{2} = 2\sin3x\cos2x $

Подставим результат обратно в выражение:

$ \sin4x \cdot \sin3x - \sin2x(2\sin3x\cos2x) = \sin4x \cdot \sin3x - 2\sin2x\cos2x\sin3x $

Вынесем общий множитель $\sin3x$:

$ \sin3x(\sin4x - 2\sin2x\cos2x) $

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Для $\alpha=2x$ получаем $\sin4x = 2\sin2x\cos2x$.

Подставим это в скобки:

$ \sin3x(2\sin2x\cos2x - 2\sin2x\cos2x) = \sin3x \cdot 0 = 0 $

Ответ: 0

2) Для упрощения данного выражения воспользуемся тождеством для тангенса тройного угла.

Исходное выражение:

$ 1 + \tg3x - \tg(60° + x) \cdot \tg x $

Известно тождество, связывающее тангенс тройного угла с тангенсами других углов:

$ \tg(3x) = \tg(x) \cdot \tg(60° - x) \cdot \tg(60° + x) $

При условии, что $\tg(60° - x) \neq 0$, мы можем выразить произведение $\tg(x) \cdot \tg(60° + x)$ из этого тождества:

$ \tg(x) \cdot \tg(60° + x) = \frac{\tg(3x)}{\tg(60° - x)} $

Подставим это выражение в исходное:

$ 1 + \tg3x - \frac{\tg(3x)}{\tg(60° - x)} $

Вынесем $\tg3x$ за скобки:

$ 1 + \tg3x \left(1 - \frac{1}{\tg(60° - x)}\right) $

Так как $\frac{1}{\tg\alpha} = \ctg\alpha$, заменим дробь на котангенс:

$ 1 + \tg3x(1 - \ctg(60° - x)) $

Это является упрощенной формой исходного выражения.

Ответ: $1 + \tg3x(1 - \ctg(60° - x))$

28.16. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin 5\alpha - 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha}{1 - \cos 5\alpha - 2\sin^2 3\alpha} = \operatorname{ctg} 5,5\alpha;$

2) $\frac{2\cos^2 2\beta + \cos 5\beta - 1}{\sin 5\beta + 2\cos 2\beta \sin 2\beta} = \operatorname{ctg} 4,5\beta;$

3) $\frac{\sin 4\alpha + 2\sin 2\alpha}{2(\cos \alpha + \cos 3\alpha)} = \cos \alpha \cdot \operatorname{tg} 2\alpha;$

4) $\frac{2\cos \beta + \cos 3\beta + \cos 5\beta}{\cos 3\beta + \sin \beta \sin 2\beta} = 4\cos 2\beta.$

1) Для доказательства тождества $ \frac{\sin(5\alpha) - 2\sin(3\alpha)\cos(3\alpha)}{1 - \cos(5\alpha) - 2\sin^2(3\alpha)} = \text{ctg}(5.5\alpha) $ преобразуем его левую часть.
Сначала преобразуем числитель, используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $.
$ \sin(5\alpha) - 2\sin(3\alpha)\cos(3\alpha) = \sin(5\alpha) - \sin(2 \cdot 3\alpha) = \sin(5\alpha) - \sin(6\alpha) $.
Далее применим формулу разности синусов $ \sin A - \sin B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2}) $:
$ \sin(5\alpha) - \sin(6\alpha) = 2\cos(\frac{5\alpha+6\alpha}{2})\sin(\frac{5\alpha-6\alpha}{2}) = 2\cos(\frac{11\alpha}{2})\sin(\frac{-\alpha}{2}) = -2\cos(\frac{11\alpha}{2})\sin(\frac{\alpha}{2}) $.
Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) $, из которой следует $ 2\sin^2(x) = 1 - \cos(2x) $:
$ 1 - \cos(5\alpha) - 2\sin^2(3\alpha) = 1 - \cos(5\alpha) - (1 - \cos(2 \cdot 3\alpha)) = 1 - \cos(5\alpha) - 1 + \cos(6\alpha) = \cos(6\alpha) - \cos(5\alpha) $.
Применим формулу разности косинусов $ \cos A - \cos B = -2\sin(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2}) $:
$ \cos(6\alpha) - \cos(5\alpha) = -2\sin(\frac{6\alpha+5\alpha}{2})\sin(\frac{6\alpha-5\alpha}{2}) = -2\sin(\frac{11\alpha}{2})\sin(\frac{\alpha}{2}) $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{-2\cos(\frac{11\alpha}{2})\sin(\frac{\alpha}{2})}{-2\sin(\frac{11\alpha}{2})\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\cos(\frac{11\alpha}{2})}{\sin(\frac{11\alpha}{2})} = \text{ctg}(\frac{11\alpha}{2}) = \text{ctg}(5.5\alpha) $.
Таким образом, левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $ \frac{2\cos^2(2\beta) + \cos(5\beta) - 1}{\sin(5\beta) + 2\cos(2\beta)\sin(2\beta)} = \text{ctg}(4.5\beta) $ преобразуем его левую часть.
Преобразуем числитель. Перегруппируем слагаемые и применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 $:
$ (2\cos^2(2\beta) - 1) + \cos(5\beta) = \cos(2 \cdot 2\beta) + \cos(5\beta) = \cos(4\beta) + \cos(5\beta) $.
Применим формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) $:
$ \cos(4\beta) + \cos(5\beta) = 2\cos(\frac{4\beta+5\beta}{2})\cos(\frac{4\beta-5\beta}{2}) = 2\cos(\frac{9\beta}{2})\cos(\frac{-\beta}{2}) = 2\cos(\frac{9\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2}) $.
Преобразуем знаменатель. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $:
$ \sin(5\beta) + 2\sin(2\beta)\cos(2\beta) = \sin(5\beta) + \sin(2 \cdot 2\beta) = \sin(5\beta) + \sin(4\beta) $.
Применим формулу суммы синусов $ \sin A + \sin B = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) $:
$ \sin(5\beta) + \sin(4\beta) = 2\sin(\frac{5\beta+4\beta}{2})\cos(\frac{5\beta-4\beta}{2}) = 2\sin(\frac{9\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2}) $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{2\cos(\frac{9\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})}{2\sin(\frac{9\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})} = \frac{\cos(\frac{9\beta}{2})}{\sin(\frac{9\beta}{2})} = \text{ctg}(\frac{9\beta}{2}) = \text{ctg}(4.5\beta) $.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $ \frac{\sin(4\alpha) + 2\sin(2\alpha)}{2(\cos(\alpha) + \cos(3\alpha))} = \cos(\alpha) \cdot \text{tg}(2\alpha) $ преобразуем его левую часть.
Преобразуем числитель, вынеся общий множитель и используя формулу синуса двойного угла $ \sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $:
$ \sin(4\alpha) + 2\sin(2\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) + 2\sin(2\alpha) = 2\sin(2\alpha)(\cos(2\alpha) + 1) $.
Используем формулу $ 1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x) $ для выражения в скобках:
$ 2\sin(2\alpha)(2\cos^2(\alpha)) = 4\sin(2\alpha)\cos^2(\alpha) $.
Преобразуем знаменатель, используя формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) $:
$ 2(\cos(\alpha) + \cos(3\alpha)) = 2 \cdot [2\cos(\frac{\alpha+3\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha-3\alpha}{2})] = 4\cos(2\alpha)\cos(-\alpha) = 4\cos(2\alpha)\cos(\alpha) $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в левую часть:
$ \frac{4\sin(2\alpha)\cos^2(\alpha)}{4\cos(2\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{\sin(2\alpha)\cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \cdot \cos(\alpha) = \text{tg}(2\alpha)\cos(\alpha) $.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $ \frac{2\cos(\beta) + \cos(3\beta) + \cos(5\beta)}{\cos(3\beta) + \sin(\beta)\sin(2\beta)} = 4\cos(2\beta) $ преобразуем его левую часть.
Преобразуем числитель. Сгруппируем $ \cos(3\beta) $ и $ \cos(5\beta) $ и применим формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) $:
$ \cos(3\beta) + \cos(5\beta) = 2\cos(\frac{3\beta+5\beta}{2})\cos(\frac{3\beta-5\beta}{2}) = 2\cos(4\beta)\cos(-\beta) = 2\cos(4\beta)\cos(\beta) $.
Тогда числитель равен:$ 2\cos(\beta) + 2\cos(4\beta)\cos(\beta) = 2\cos(\beta)(1 + \cos(4\beta)) $.
Используя формулу $ 1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x) $, получаем $ 1 + \cos(4\beta) = 2\cos^2(2\beta) $.
Числитель окончательно равен $ 2\cos(\beta) \cdot (2\cos^2(2\beta)) = 4\cos(\beta)\cos^2(2\beta) $.
Преобразуем знаменатель. Используем формулу косинуса суммы $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $:
$ \cos(3\beta) = \cos(2\beta + \beta) = \cos(2\beta)\cos(\beta) - \sin(2\beta)\sin(\beta) $.
Тогда знаменатель равен:
$ (\cos(2\beta)\cos(\beta) - \sin(2\beta)\sin(\beta)) + \sin(\beta)\sin(2\beta) = \cos(2\beta)\cos(\beta) $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{4\cos(\beta)\cos^2(2\beta)}{\cos(2\beta)\cos(\beta)} = 4\cos(2\beta) $.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

28.17. Преобразуйте в сумму тригонометрических функций произведение:

1) $4\sin5^{\circ} \cdot \cos15^{\circ} \cdot \sin25^{\circ}$;

2) $4\sin20^{\circ} \cdot \cos20^{\circ} \cdot \cos80^{\circ}$.

1) $4\sin5^\circ \cdot \cos15^\circ \cdot \sin25^\circ$

Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму воспользуемся соответствующими формулами. Сначала сгруппируем множители и применим формулу преобразования произведения синуса на косинус:

$2\sin\alpha \cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$

Рассмотрим выражение:

$4\sin5^\circ \cos15^\circ \sin25^\circ = 2 \cdot (2\sin5^\circ \cos15^\circ) \cdot \sin25^\circ$

Преобразуем выражение в скобках:

$2\sin5^\circ \cos15^\circ = \sin(5^\circ + 15^\circ) + \sin(5^\circ - 15^\circ) = \sin20^\circ + \sin(-10^\circ)$

Так как синус — функция нечетная ($\sin(-x) = -\sin(x)$), получаем:

$\sin20^\circ - \sin10^\circ$

Подставим результат обратно в исходное выражение:

$2(\sin20^\circ - \sin10^\circ)\sin25^\circ = 2\sin20^\circ\sin25^\circ - 2\sin10^\circ\sin25^\circ$

Теперь к каждому из полученных произведений применим формулу преобразования произведения синусов:

$2\sin\alpha \sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$

Для первого слагаемого:

$2\sin20^\circ\sin25^\circ = \cos(25^\circ - 20^\circ) - \cos(25^\circ + 20^\circ) = \cos5^\circ - \cos45^\circ$

Для второго слагаемого:

$2\sin10^\circ\sin25^\circ = \cos(25^\circ - 10^\circ) - \cos(25^\circ + 10^\circ) = \cos15^\circ - \cos35^\circ$

Собираем все вместе:

$(\cos5^\circ - \cos45^\circ) - (\cos15^\circ - \cos35^\circ) = \cos5^\circ - \cos45^\circ - \cos15^\circ + \cos35^\circ$

Упорядочим слагаемые и подставим известное значение $\cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\cos5^\circ - \cos15^\circ + \cos35^\circ - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\cos5^\circ - \cos15^\circ + \cos35^\circ - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) $4\sin20^\circ \cdot \cos20^\circ \cdot \cos80^\circ$

Для преобразования данного произведения воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Сгруппируем множители в исходном выражении:

$4\sin20^\circ \cos20^\circ \cos80^\circ = 2 \cdot (2\sin20^\circ \cos20^\circ) \cdot \cos80^\circ$

Применим формулу синуса двойного угла к выражению в скобках, где $\alpha = 20^\circ$:

$2\sin20^\circ \cos20^\circ = \sin(2 \cdot 20^\circ) = \sin40^\circ$

Подставим результат в выражение:

$2 \cdot \sin40^\circ \cdot \cos80^\circ = 2\sin40^\circ\cos80^\circ$

Теперь воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму:

$2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$

В нашем случае $\alpha = 40^\circ$ и $\beta = 80^\circ$:

$2\sin40^\circ\cos80^\circ = \sin(40^\circ + 80^\circ) + \sin(40^\circ - 80^\circ) = \sin(120^\circ) + \sin(-40^\circ)$

Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin(x)$), получаем:

$\sin(120^\circ) - \sin(40^\circ)$

Так как $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то окончательное выражение имеет вид:

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin(40^\circ)$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin40^\circ$.

28.18. Докажите тождество:

1)

$4\cos3a \cdot \cos5a \cdot \cos6a = \cos8a + \cos4a + 2\cos5a \cdot \cos3a;$

2)

$8\sin^3a \cdot \cos^2a = \sin a - 0.5\sin^3a.$

1) $4\cos(3\alpha) \cdot \cos(5\alpha) \cdot \cos(6\alpha) = \cos(8\alpha) + \cos(4\alpha) + 2\cos(5\alpha) \cdot \cos(3\alpha)$

Для доказательства тождества преобразуем обе его части, используя формулу произведения косинусов: $2\cos(x)\cos(y) = \cos(x+y) + \cos(x-y)$.

Преобразуем левую часть (ЛЧ):

ЛЧ $= 4\cos(3\alpha)\cos(5\alpha)\cos(6\alpha) = 2\cos(6\alpha) \cdot [2\cos(5\alpha)\cos(3\alpha)]$.

Сначала преобразуем выражение в скобках:

$2\cos(5\alpha)\cos(3\alpha) = \cos(5\alpha+3\alpha) + \cos(5\alpha-3\alpha) = \cos(8\alpha) + \cos(2\alpha)$.

Теперь подставим это обратно в выражение для левой части:

ЛЧ $= 2\cos(6\alpha)[\cos(8\alpha) + \cos(2\alpha)] = 2\cos(6\alpha)\cos(8\alpha) + 2\cos(6\alpha)\cos(2\alpha)$.

Снова применяем формулу произведения косинусов:

$2\cos(6\alpha)\cos(8\alpha) = \cos(8\alpha+6\alpha) + \cos(8\alpha-6\alpha) = \cos(14\alpha) + \cos(2\alpha)$.

$2\cos(6\alpha)\cos(2\alpha) = \cos(6\alpha+2\alpha) + \cos(6\alpha-2\alpha) = \cos(8\alpha) + \cos(4\alpha)$.

Складывая эти два результата, получаем окончательное выражение для левой части:

ЛЧ $= (\cos(14\alpha) + \cos(2\alpha)) + (\cos(8\alpha) + \cos(4\alpha)) = \cos(14\alpha) + \cos(8\alpha) + \cos(4\alpha) + \cos(2\alpha)$.

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ):

ПЧ $= \cos(8\alpha) + \cos(4\alpha) + 2\cos(5\alpha)\cos(3\alpha)$.

Мы уже знаем, что $2\cos(5\alpha)\cos(3\alpha) = \cos(8\alpha) + \cos(2\alpha)$.

Подставляем это в правую часть:

ПЧ $= \cos(8\alpha) + \cos(4\alpha) + (\cos(8\alpha) + \cos(2\alpha)) = 2\cos(8\alpha) + \cos(4\alpha) + \cos(2\alpha)$.

Сравнивая преобразованные левую и правую части, видим, что они не равны:

$\cos(14\alpha) + \cos(8\alpha) + \cos(4\alpha) + \cos(2\alpha) \neq 2\cos(8\alpha) + \cos(4\alpha) + \cos(2\alpha)$,

так как это было бы равносильно $\cos(14\alpha) = \cos(8\alpha)$, что не является тождеством.

Чтобы убедиться в неверности тождества, приведем контрпример. Пусть $\alpha = \frac{\pi}{2}$:

ЛЧ $= 4\cos(\frac{3\pi}{2})\cos(\frac{5\pi}{2})\cos(3\pi) = 4 \cdot 0 \cdot 0 \cdot (-1) = 0$.

ПЧ $= \cos(4\pi) + \cos(2\pi) + 2\cos(\frac{5\pi}{2})\cos(\frac{3\pi}{2}) = 1 + 1 + 2 \cdot 0 \cdot 0 = 2$.

Поскольку $0 \neq 2$, тождество неверно.

Примечание: Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если бы тождество выглядело так:

$4\cos(3\alpha)\cos(5\alpha)\cos(6\alpha) = \cos(14\alpha) + \cos(4\alpha) + 2\cos(5\alpha)\cos(3\alpha)$,

то оно было бы верным. Покажем это:

ЛЧ $= \cos(14\alpha) + \cos(8\alpha) + \cos(4\alpha) + \cos(2\alpha)$.

ПЧ (исправленная) $= \cos(14\alpha) + \cos(4\alpha) + 2\cos(5\alpha)\cos(3\alpha) = \cos(14\alpha) + \cos(4\alpha) + (\cos(8\alpha) + \cos(2\alpha))$.

В этом случае ЛЧ = ПЧ.

Ответ: Исходное тождество неверно.

2) $8\sin^3(\alpha) \cdot \cos^2(\alpha) = \sin(\alpha) - 0,5\sin^3(\alpha)$

Для проверки этого тождества преобразуем левую часть, выразив $\cos^2(\alpha)$ через $\sin^2(\alpha)$ с помощью основного тригонометрического тождества $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$.

ЛЧ $= 8\sin^3(\alpha) \cos^2(\alpha) = 8\sin^3(\alpha) (1 - \sin^2(\alpha)) = 8\sin^3(\alpha) - 8\sin^5(\alpha)$.

Теперь приравняем полученное выражение для левой части к правой части исходного равенства:

$8\sin^3(\alpha) - 8\sin^5(\alpha) = \sin(\alpha) - 0,5\sin^3(\alpha)$.

Перенесем все члены в левую часть:

$(8\sin^3(\alpha) + 0,5\sin^3(\alpha)) - 8\sin^5(\alpha) - \sin(\alpha) = 0$.

$8,5\sin^3(\alpha) - 8\sin^5(\alpha) - \sin(\alpha) = 0$.

Вынесем $\sin(\alpha)$ за скобки:

$\sin(\alpha)(8,5\sin^2(\alpha) - 8\sin^4(\alpha) - 1) = 0$.

Это равенство должно выполняться для любого значения $\alpha$, чтобы быть тождеством. Однако оно выполняется только в двух случаях:

1. $\sin(\alpha) = 0$, то есть $\alpha = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $8,5\sin^2(\alpha) - 8\sin^4(\alpha) - 1 = 0$. Сделаем замену $x = \sin^2(\alpha)$. Получаем квадратное уравнение относительно $x$: $8x^2 - 8,5x + 1 = 0$. Это уравнение имеет конкретные корни, а значит, выполняется не для всех $\alpha$.

Поскольку равенство выполняется не для всех значений $\alpha$, оно не является тождеством.

Приведем контрпример. Пусть $\alpha = \frac{\pi}{2}$:

ЛЧ $= 8\sin^3(\frac{\pi}{2})\cos^2(\frac{\pi}{2}) = 8 \cdot 1^3 \cdot 0^2 = 0$.

ПЧ $= \sin(\frac{\pi}{2}) - 0,5\sin^3(\frac{\pi}{2}) = 1 - 0,5 \cdot 1^3 = 1 - 0,5 = 0,5$.

Поскольку $0 \neq 0,5$, тождество неверно.

Ответ: Данное тождество неверно.

28.19. Вычислите:

1) $\cos5^\circ \cdot \cos55^\circ \cdot \cos65^\circ$;

2) $\cos12^\circ \cdot \cos24^\circ \cdot \cos36^\circ \cdot \cos48^\circ \cdot \cos72^\circ \cdot \cos84^\circ$.

1) Вычислим произведение $\cos(5^\circ) \cdot \cos(55^\circ) \cdot \cos(65^\circ)$. Заметим, что углы $55^\circ$ и $65^\circ$ можно представить как $55^\circ = 60^\circ - 5^\circ$ и $65^\circ = 60^\circ + 5^\circ$. Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством: $\cos(\alpha) \cos(60^\circ - \alpha) \cos(60^\circ + \alpha) = \frac{1}{4}\cos(3\alpha)$. Применив это тождество для $\alpha = 5^\circ$, получаем:$\cos(5^\circ) \cos(55^\circ) \cos(65^\circ) = \cos(5^\circ) \cos(60^\circ - 5^\circ) \cos(60^\circ + 5^\circ) = \frac{1}{4}\cos(3 \cdot 5^\circ) = \frac{1}{4}\cos(15^\circ)$.Теперь найдем точное значение $\cos(15^\circ)$, используя формулу косинуса разности:$\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)$.Подставим известные значения:$\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.Таким образом, искомое произведение равно:$\frac{1}{4}\cos(15^\circ) = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{16}$.Ответ: $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{16}$.

2) Вычислим произведение $P = \cos(12^\circ) \cdot \cos(24^\circ) \cdot \cos(36^\circ) \cdot \cos(48^\circ) \cdot \cos(72^\circ) \cdot \cos(84^\circ)$.Сгруппируем множители так, чтобы можно было применить тождество из предыдущего пункта: $\cos(\alpha)\cos(60^\circ - \alpha)\cos(60^\circ + \alpha) = \frac{1}{4}\cos(3\alpha)$.$P = [\cos(12^\circ) \cos(48^\circ) \cos(72^\circ)] \cdot [\cos(24^\circ) \cos(36^\circ) \cos(84^\circ)]$.Рассмотрим первую группу множителей. Пусть $\alpha = 12^\circ$. Тогда $48^\circ = 60^\circ - 12^\circ$ и $72^\circ = 60^\circ + 12^\circ$. Следовательно:$\cos(12^\circ) \cos(48^\circ) \cos(72^\circ) = \frac{1}{4}\cos(3 \cdot 12^\circ) = \frac{1}{4}\cos(36^\circ)$.Рассмотрим вторую группу множителей. Пусть $\alpha = 24^\circ$. Тогда $36^\circ = 60^\circ - 24^\circ$ и $84^\circ = 60^\circ + 24^\circ$. Следовательно:$\cos(24^\circ) \cos(36^\circ) \cos(84^\circ) = \frac{1}{4}\cos(3 \cdot 24^\circ) = \frac{1}{4}\cos(72^\circ)$.Теперь перемножим результаты для двух групп:$P = \left(\frac{1}{4}\cos(36^\circ)\right) \cdot \left(\frac{1}{4}\cos(72^\circ)\right) = \frac{1}{16}\cos(36^\circ)\cos(72^\circ)$.Используем известные точные значения для $\cos(36^\circ)$ и $\cos(72^\circ)$:$\cos(36^\circ) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$$\cos(72^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$Подставляем эти значения в наше выражение:$P = \frac{1}{16} \cdot \left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right) = \frac{1}{16} \cdot \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{16} = \frac{1}{16} \cdot \frac{5-1}{16} = \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{16} = \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{64}$.Ответ: $\frac{1}{64}$.