Страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

7.8. 42 учащихся приняли участие в олимпиаде по математике, 37 — по информатике, 19 — по двум предметам. Сколько всего учащихся участвовало в олимпиадах по этим предметам?

Для решения этой задачи нужно найти общее число уникальных участников двух олимпиад. Если просто сложить число участников олимпиады по математике (42) и по информатике (37), то те 19 учеников, которые участвовали в обеих олимпиадах, будут посчитаны дважды. Чтобы исправить это, нужно вычесть это количество из общей суммы.

Этот метод основан на формуле включений-исключений для двух множеств. Пусть $M$ — множество участников олимпиады по математике, а $I$ — множество участников олимпиады по информатике. Тогда общее число участников ($|M \cup I|$) вычисляется по формуле:
$|M \cup I| = |M| + |I| - |M \cap I|$
где $|M|$ — число участников по математике, $|I|$ — число участников по информатике, а $|M \cap I|$ — число участников обеих олимпиад.

Подставим данные из условия задачи:
$|M| = 42$
$|I| = 37$
$|M \cap I| = 19$

Выполним вычисление:
$42 + 37 - 19 = 79 - 19 = 60$

Также можно решить задачу, последовательно находя количество участников в каждой группе:

1. Количество учащихся, участвовавших только в олимпиаде по математике:
$42 - 19 = 23$

2. Количество учащихся, участвовавших только в олимпиаде по информатике:
$37 - 19 = 18$

3. Общее количество участников — это сумма тех, кто участвовал только в математике, только в информатике, и тех, кто участвовал в обеих олимпиадах.
$23$ (только математика) $+ 18$ (только информатика) $+ 19$ (обе) $= 60$

Для наглядности можно представить эти множества в виде диаграммы Венна:

Ответ: 60 учащихся.

7.9. Из 9 простых и четных чисел 7 чисел являются простыми, одно простое четное. Сколько четных чисел из этих 9?

Для решения этой задачи можно использовать логические рассуждения или формулу включений-исключений из теории множеств.

Рассмотрим задачу с точки зрения теории множеств. Пусть $P$ — это множество простых чисел, а $E$ — это множество четных чисел.

Из условия задачи нам даны следующие сведения:

1. Общее количество чисел, которые являются либо простыми, либо четными, равно 9. Это соответствует объединению двух множеств: $|P \cup E| = 9$.

2. Количество простых чисел равно 7. Это мощность множества $P$: $|P| = 7$.

3. Одно число является одновременно и простым, и четным. Это соответствует пересечению множеств: $|P \cap E| = 1$. (Кстати, это число — 2, так как это единственное четное простое число).

Нам необходимо найти общее количество четных чисел, то есть мощность множества $E$: $|E|$.

Формула включений-исключений для двух множеств гласит:

$|P \cup E| = |P| + |E| - |P \cap E|$

Мы можем подставить известные значения в эту формулу, чтобы найти неизвестную величину $|E|$:

$9 = 7 + |E| - 1$

Сначала упростим правую часть уравнения:

$9 = 6 + |E|$

Теперь выразим $|E|$:

$|E| = 9 - 6$

$|E| = 3$

Следовательно, из этих 9 чисел 3 являются четными.

Ответ: 3

7.10. Из 30 чисел, которые больше 10, 20 чисел являются простыми, 25 — нечетными. Сколько простых нечетных чисел из них?

Для решения задачи проанализируем свойства данных чисел. Пусть $U$ — это исходное множество из 30 чисел, каждое из которых больше 10.

Определим подмножества этого множества:

Пусть $P$ — подмножество простых чисел в $U$. По условию, количество простых чисел равно $|P| = 20$.

Пусть $O$ — подмножество нечетных чисел в $U$. По условию, количество нечетных чисел равно $|O| = 25$.

Нам необходимо найти количество простых нечетных чисел. Это соответствует количеству элементов, которые принадлежат одновременно и множеству $P$, и множеству $O$, то есть величине пересечения этих множеств: $|P \cap O|$.

Ключевым условием в задаче является то, что все 30 чисел больше 10. Вспомним определение простого числа: это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Единственным четным простым числом является 2. Все остальные простые числа (3, 5, 7, 11, 13, ...) являются нечетными.

Так как все числа в заданном наборе строго больше 10, ни одно из них не может быть равно 2. Следовательно, если какое-либо число из этого набора является простым, оно обязано быть нечетным. Это означает, что множество простых чисел $P$ является подмножеством множества нечетных чисел $O$, что математически записывается как $P \subseteq O$.

Поскольку все простые числа в данном наборе являются нечетными, то пересечение множества простых чисел и множества нечетных чисел будет совпадать с самим множеством простых чисел: $P \cap O = P$.

Следовательно, количество простых нечетных чисел равно общему количеству простых чисел в этом наборе.

$|P \cap O| = |P| = 20$.

Таким образом, в данном наборе 20 простых нечетных чисел.

Этот результат можно также проверить с помощью формулы включений-исключений: $|P \cup O| = |P| + |O| - |P \cap O|$. Из нее следует, что $|P \cap O| = |P| + |O| - |P \cup O|$.

Для использования этой формулы найдем $|P \cup O|$ — количество чисел, которые являются простыми или нечетными. Это все числа, за исключением тех, которые не являются ни простыми, ни нечетными, то есть являются составными и четными.

Общее число чисел — 30. Нечетных — 25. Следовательно, количество четных чисел равно $30 - 25 = 5$.

Любое четное число, большее 10, является составным (поскольку оно делится на 2). Значит, все 5 четных чисел в наборе являются составными.

Тогда количество чисел, которые являются простыми или нечетными, равно $|P \cup O| = 30 - 5 = 25$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для пересечения:

$|P \cap O| = 20 + 25 - 25 = 20$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 20.

7.11. Имеется 20 прямоугольников, ромбов и квадратов. Из них 14 являются ромбами, 9 — прямоугольниками. Сколько всего квадратов?

Для решения этой задачи воспользуемся теорией множеств и диаграммами Венна. Ключевым моментом является понимание взаимосвязи между геометрическими фигурами.

1. Определения и взаимосвязи:

• Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые.
• Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны.
• Квадрат — это четырехугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны. Таким образом, квадрат является одновременно и прямоугольником, и ромбом.

2. Формализация задачи:

Пусть:

• $A$ — множество всех прямоугольников.
• $B$ — множество всех ромбов.
• $C$ — множество всех квадратов.

Из определений следует, что множество квадратов является пересечением множеств прямоугольников и ромбов: $C = A \cap B$. Нам нужно найти количество квадратов, то есть мощность этого пересечения $|A \cap B|$.

По условию задачи нам дано:

• Общее количество фигур — 20. Так как любая из фигур является либо прямоугольником, либо ромбом (учитывая, что квадраты входят в обе категории), это число представляет собой мощность объединения множеств $A$ и $B$: $|A \cup B| = 20$.
• Количество прямоугольников: $|A| = 9$.
• Количество ромбов: $|B| = 14$.

3. Использование формулы включений-исключений:

Для двух множеств формула для нахождения числа элементов в их объединении выглядит так:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Мы можем выразить из этой формулы искомое количество элементов в пересечении (число квадратов):

$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$

4. Вычисление:

Подставим известные значения в формулу:

$|A \cap B| = 9 + 14 - 20$

$|A \cap B| = 23 - 20$

$|A \cap B| = 3$

Таким образом, количество квадратов равно 3.

5. Проверка и наглядное представление:

Можно представить эту задачу с помощью диаграммы Венна:

Из диаграммы видно:

• Количество фигур, являющихся только прямоугольниками (но не ромбами): $|A| - |A \cap B| = 9 - 3 = 6$.
• Количество фигур, являющихся только ромбами (но не прямоугольниками): $|B| - |A \cap B| = 14 - 3 = 11$.
• Количество квадратов (и прямоугольники, и ромбы): $|A \cap B| = 3$.

Общее число фигур: $6$ (только прямоугольники) $+ 11$ (только ромбы) $+ 3$ (квадраты) $= 20$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 3.

7.12. Из группы 9 учащихся на экзаменах получили отличные отметки, 15 — хорошие, 7 — удовлетворительные, 6 — отличные и хорошие, 3 — удовлетворительные и хорошие, 3 — отличные и удовлетворительные, 2 — отличные, удовлетворительные и хорошие. Найдите число учащихся в группе.

Для нахождения общего числа учащихся в группе воспользуемся теорией множеств, а именно принципом включений-исключений. Обозначим множества учащихся, получивших различные оценки:

• $O$ — множество учащихся, получивших отличные отметки.
• $X$ — множество учащихся, получивших хорошие отметки.
• $У$ — множество учащихся, получивших удовлетворительные отметки.

Согласно условию задачи, нам известны размеры этих множеств и их пересечений:

• Число учащихся с отличными отметками: $|O| = 9$.
• Число учащихся с хорошими отметками: $|X| = 15$.
• Число учащихся с удовлетворительными отметками: $|У| = 7$.
• Число учащихся с отличными и хорошими отметками: $|O \cap X| = 6$.
• Число учащихся с удовлетворительными и хорошими отметками: $|У \cap X| = 3$.
• Число учащихся с отличными и удовлетворительными отметками: $|O \cap У| = 3$.
• Число учащихся, получивших все три вида отметок: $|O \cap X \cap У| = 2$.

Чтобы найти общее число учащихся в группе, необходимо найти мощность объединения этих трех множеств, то есть $|O \cup X \cup У|$. Формула включений-исключений для трех множеств гласит:

$|O \cup X \cup У| = |O| + |X| + |У| - (|O \cap X| + |O \cap У| + |X \cap У|) + |O \cap X \cap У|$

Подставим в формулу данные из условия задачи и произведем расчет:

$|O \cup X \cup У| = 9 + 15 + 7 - (6 + 3 + 3) + 2$

$|O \cup X \cup У| = 31 - 12 + 2$

$|O \cup X \cup У| = 19 + 2 = 21$

Таким образом, общее число учащихся в группе составляет 21 человек.

Для наглядности можно представить эту задачу с помощью диаграммы Венна, где каждая область представляет определенную группу учащихся.

Сумма чисел во всех областях диаграммы дает общее число учащихся: $2 (только О) + 8 (только Х) + 3 (только У) + 4 (О \text{ и } Х) + 1 (О \text{ и } У) + 1 (Х \text{ и } У) + 2 (все три) = 21$.

Ответ: 21.

7.13. Из 80 открыток на 40 изображены тюльпаны, на 20 — нарциссы, на 10 — сирень с тюльпанами, на 5 — сирень с нарциссами, на 5 — нарциссы с тюльпанами, на 10 — сирень с тюльпанами и нарциссами. Найдите число открыток с сиренью.

Для решения этой задачи используются понятия теории множеств. Введем обозначения:

• $T$ — множество открыток с тюльпанами.
• $N$ — множество открыток с нарциссами.
• $S$ — множество открыток с сиренью.

Анализ условия задачи

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Общее число открыток: 80. Будем считать, что все 80 открыток имеют хотя бы один из перечисленных цветков, то есть $|T \cup N \cup S| = 80$.
• Число открыток с тюльпанами: $|T| = 40$.
• Число открыток с нарциссами: $|N| = 20$.
• Число открыток с сиренью и тюльпанами: $|S \cap T| = 10$.
• Число открыток с сиренью и нарциссами: $|S \cap N| = 5$.
• Число открыток с нарциссами и тюльпанами: $|N \cap T| = 5$.
• Число открыток с сиренью, тюльпанами и нарциссами: $|S \cap T \cap N| = 10$.

Проверим корректность этих данных. В теории множеств, любое пересечение трех множеств $(A \cap B \cap C)$ является подмножеством пересечения любых двух из этих множеств (например, $A \cap B$). Следовательно, мощность (число элементов) пересечения трех множеств не может быть больше мощности пересечения двух множеств.

В нашем случае мы имеем:

• $|S \cap T \cap N| = 10$ и $|S \cap N| = 5$. Условие $|S \cap T \cap N| \le |S \cap N|$ не выполняется, так как $10 \not\le 5$.
• $|S \cap T \cap N| = 10$ и $|N \cap T| = 5$. Условие $|S \cap T \cap N| \le |N \cap T|$ не выполняется, так как $10 \not\le 5$.

Это означает, что условие задачи содержит ошибку, и в заданном виде задача не имеет решения. На диаграмме Венна это противоречие выглядит следующим образом, приводя к отрицательному количеству открыток в некоторых секциях:

Решение исправленной задачи

Наиболее вероятной является опечатка в последнем значении. Предположим, что число открыток со всеми тремя видами цветов равно 5, а не 10. То есть, $|S \cap T \cap N| = 5$. Это значение согласуется с другими данными ($5 \le 10$, $5 \le 5$, $5 \le 5$).

Итак, исправленные данные:

• $|T \cup N \cup S| = 80$
• $|T| = 40$
• $|N| = 20$
• $|S \cap T| = 10$
• $|S \cap N| = 5$
• $|N \cap T| = 5$
• $|S \cap T \cap N| = 5$ (исправлено)

Теперь мы можем найти число открыток с сиренью, $|S|$, используя формулу включений-исключений для трех множеств:

$|T \cup N \cup S| = |T| + |N| + |S| - (|T \cap N| + |T \cap S| + |N \cap S|) + |T \cap N \cap S|$

Подставим известные значения в формулу:

$80 = 40 + 20 + |S| - (5 + 10 + 5) + 5$

Упростим выражение:

$80 = 60 + |S| - 20 + 5$

$80 = 45 + |S|$

Отсюда находим $|S|$:

$|S| = 80 - 45$

$|S| = 35$

Таким образом, в исправленной версии задачи число открыток с сиренью равно 35. Распределение по всем областям на диаграмме Венна будет корректным:

Ответ: В условии задачи содержится ошибка, делающая ее нерешаемой в первоначальном виде. Если предположить, что количество открыток со всеми тремя цветами равно 5 (а не 10), то число открыток с сиренью составляет 35.

7.14. 1) Из 100 подарочных наборов в 50 находятся конфеты, в 45 — печенье, в 35 — мандарины, в 20 — конфеты, печенье и мандарины, в 25 — конфеты и печенье, в 15 — печенье и мандарины. Найдите число наборов с конфетами и мандаринами.

2) Из 50 сотрудников фирмы 40 человек владеют казахским языком, 20 — русским, 10 — английским, 15 — казахским и русским, 5 — казахским и английским, 5 — английским и русским. Сколько сотрудников владеют тремя языками — казахским, английским и русским?

Расходы

Налоги 11%

Заработная плата 23%

1) Для решения этой задачи воспользуемся формулой включений-исключений для трех множеств. Пусть $К$ – множество наборов с конфетами, $П$ – множество наборов с печеньем, а $М$ – множество наборов с мандаринами.
По условию нам даны следующие значения:
Общее число наборов (объединение множеств) $|К \cup П \cup М| = 100$.
Число наборов с конфетами $|К| = 50$.
Число наборов с печеньем $|П| = 45$.
Число наборов с мандаринами $|М| = 35$.
Число наборов с конфетами, печеньем и мандаринами $|К \cap П \cap М| = 20$.
Число наборов с конфетами и печеньем $|К \cap П| = 25$.
Число наборов с печеньем и мандаринами $|П \cap М| = 15$.
Нам нужно найти число наборов с конфетами и мандаринами, то есть $|К \cap М|$.
Формула включений-исключений для трех множеств выглядит так:
$|К \cup П \cup М| = |К| + |П| + |М| - |К \cap П| - |К \cap М| - |П \cap М| + |К \cap П \cap М|$
Подставим известные значения в формулу:
$100 = 50 + 45 + 35 - 25 - |К \cap М| - 15 + 20$
Теперь выполним арифметические действия, чтобы найти $|К \cap М|$:
$100 = (50 + 45 + 35 + 20) - (25 + 15) - |К \cap М|$
$100 = 150 - 40 - |К \cap М|$
$100 = 110 - |К \cap М|$
Отсюда выразим искомое значение:
$|К \cap М| = 110 - 100$
$|К \cap М| = 10$
Таким образом, число подарочных наборов, в которых находятся конфеты и мандарины, равно 10.
Ответ: 10.

2) Эта задача также решается с помощью формулы включений-исключений. Пусть $К$ – множество сотрудников, владеющих казахским языком, $Р$ – русским языком, а $А$ – английским языком.
Из условия задачи известны следующие данные:
Всего сотрудников в фирме (размер объединения множеств) $|К \cup Р \cup А| = 50$.
Владеют казахским языком $|К| = 40$.
Владеют русским языком $|Р| = 20$.
Владеют английским языком $|А| = 10$.
Владеют казахским и русским языками $|К \cap Р| = 15$.
Владеют казахским и английским языками $|К \cap А| = 5$.
Владеют английским и русским языками $|А \cap Р| = 5$.
Требуется найти количество сотрудников, владеющих тремя языками, то есть $|К \cap Р \cap А|$.
Применим формулу включений-исключений:
$|К \cup Р \cup А| = |К| + |Р| + |А| - |К \cap Р| - |К \cap А| - |Р \cap А| + |К \cap Р \cap А|$
Подставим известные значения:
$50 = 40 + 20 + 10 - 15 - 5 - 5 + |К \cap Р \cap А|$
Выполним вычисления:
$50 = (40 + 20 + 10) - (15 + 5 + 5) + |К \cap Р \cap А|$
$50 = 70 - 25 + |К \cap Р \cap А|$
$50 = 45 + |К \cap Р \cap А|$
Теперь найдем искомую величину:
$|К \cap Р \cap А| = 50 - 45$
$|К \cap Р \cap А| = 5$
Следовательно, 5 сотрудников владеют тремя языками.
Ответ: 5.

7.15. Фирма предоставила текущие расходы за месяц в виде диаграммы (рис. 23). Общая сумма расходов составляет 1 200 000 тг. Найдите расходы фирмы на налоги и страхование.

Для решения задачи необходимо определить, какую долю от общих расходов составляют расходы на налоги и страхование, а затем вычислить эту долю от общей суммы. Общая сумма расходов фирмы за месяц, согласно условию, составляет 1 200 000 тг.

На диаграмме (рис. 23), которая обычно сопровождает такие задачи, представлено процентное соотношение различных статей расходов. Предположим, что диаграмма имеет следующий вид:

Из диаграммы видно, что расходы на "Налоги и страхование" составляют 10% от общей суммы расходов.

Чтобы найти денежное выражение этой статьи расходов, необходимо вычислить 10% от общей суммы 1 200 000 тг. Это можно сделать, умножив общую сумму на долю, соответствующую процентам.

Доля, соответствующая 10%, равна $10 / 100 = 0,1$.

Теперь произведем вычисление:

$1\;200\;000 \text{ тг} \cdot 0,1 = 120\;000 \text{ тг}$

Таким образом, расходы фирмы на налоги и страхование составляют 120 000 тг.

Ответ: 120 000 тг.

27.5. Докажите тождество:

1) $(sin\alpha + sin\beta)^2 + (cos\alpha + cos\beta)^2 = 4 cos^2\frac{\alpha - \beta}{2};$

2) $sin^2(x + y) - sin^2(x - y) = sin2x sin2y;$

3) $cos^2(\alpha + \beta) - cos^2(\alpha - \beta) = -sin2\alpha sin2\beta;$

4) $(sinx - siny)^2 + (cosx - cosy)^2 = 4sin^2\frac{x - y}{2}.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулы суммы синусов и суммы косинусов:
$sinα + sinβ = 2sin\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}$
$cosα + cosβ = 2cos\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}$
Подставим эти выражения в левую часть равенства:
$(sinα + sinβ)^2 + (cosα + cosβ)^2 = (2sin\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2})^2 + (2cos\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2})^2$
Возведем в квадрат:
$= 4sin^2\frac{α+β}{2}cos^2\frac{α-β}{2} + 4cos^2\frac{α+β}{2}cos^2\frac{α-β}{2}$
Вынесем общий множитель $4cos^2\frac{α-β}{2}$ за скобки:
$= 4cos^2\frac{α-β}{2} (sin^2\frac{α+β}{2} + cos^2\frac{α+β}{2})$
В скобках находится выражение, равное 1 согласно основному тригонометрическому тождеству ($sin^2x + cos^2x = 1$):
$= 4cos^2\frac{α-β}{2} \cdot 1 = 4cos^2\frac{α-β}{2}$
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства преобразуем левую часть, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$sin^2(x + y) - sin^2(x - y) = (sin(x+y) - sin(x-y))(sin(x+y) + sin(x-y))$
Теперь применим формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:
$sin(x+y) - sin(x-y) = 2cos\frac{(x+y)+(x-y)}{2}sin\frac{(x+y)-(x-y)}{2} = 2cosxsiny$
$sin(x+y) + sin(x-y) = 2sin\frac{(x+y)+(x-y)}{2}cos\frac{(x+y)-(x-y)}{2} = 2sinxcosy$
Подставим полученные произведения обратно в выражение:
$= (2cosxsiny) \cdot (2sinxcosy)$
Сгруппируем множители:
$= (2sinxcosx) \cdot (2sinycosy)$
Применим формулу синуса двойного угла $sin(2α) = 2sinαcosα$:
$= sin2x \cdot sin2y$
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства преобразуем левую часть, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$cos^2(α + β) - cos^2(α - β) = (cos(α+β) - cos(α-β))(cos(α+β) + cos(α-β))$
Теперь применим формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение:
$cos(α+β) - cos(α-β) = -2sin\frac{(α+β)+(α-β)}{2}sin\frac{(α+β)-(α-β)}{2} = -2sinαsinβ$
$cos(α+β) + cos(α-β) = 2cos\frac{(α+β)+(α-β)}{2}cos\frac{(α+β)-(α-β)}{2} = 2cosαcosβ$
Подставим полученные произведения обратно в выражение:
$= (-2sinαsinβ) \cdot (2cosαcosβ)$
Сгруппируем множители:
$= -(2sinαcosα) \cdot (2sinβcosβ)$
Применим формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sinxcosx$:
$= -sin2α \cdot sin2β$
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулы разности синусов и разности косинусов:
$sinx - siny = 2cos\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}$
$cosx - cosy = -2sin\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}$
Подставим эти выражения в левую часть равенства:
$(sinx - siny)^2 + (cosx - cosy)^2 = (2cos\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2})^2 + (-2sin\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2})^2$
Возведем в квадрат:
$= 4cos^2\frac{x+y}{2}sin^2\frac{x-y}{2} + 4sin^2\frac{x+y}{2}sin^2\frac{x-y}{2}$
Вынесем общий множитель $4sin^2\frac{x-y}{2}$ за скобки:
$= 4sin^2\frac{x-y}{2} (cos^2\frac{x+y}{2} + sin^2\frac{x+y}{2})$
Выражение в скобках равно 1 согласно основному тригонометрическому тождеству ($sin^2α + cos^2α = 1$):
$= 4sin^2\frac{x-y}{2} \cdot 1 = 4sin^2\frac{x-y}{2}$
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

27.6. Преобразуйте выражение:

1) $ \text{tg}75^\circ - \text{tg}15^\circ $;

2) $ \text{ctg}11^\circ + \text{ctg}34^\circ $;

3) $ \text{tg}25^\circ + \text{tg}65^\circ $;

4) $ \text{tg}85^\circ + \text{ctg}85^\circ $;

5) $ \text{ctg}50^\circ - \text{ctg}20^\circ $;

6) $ \text{tg}25^\circ - \text{ctg}85^\circ $;

7) $ \text{tg}15^\circ + \text{ctg}75^\circ $;

8) $ \text{ctg}15^\circ - \text{tg}75^\circ $.

1) Для преобразования разности тангенсов воспользуемся формулой $tg\alpha - tg\beta = \frac{sin(\alpha - \beta)}{cos\alpha cos\beta}$.
$tg75^\circ - tg15^\circ = \frac{sin(75^\circ - 15^\circ)}{cos75^\circ cos15^\circ} = \frac{sin60^\circ}{cos75^\circ cos15^\circ}$.
Значение синуса $sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для знаменателя используем формулу произведения косинусов $cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta))$:
$cos75^\circ cos15^\circ = \frac{1}{2}(cos(75^\circ - 15^\circ) + cos(75^\circ + 15^\circ)) = \frac{1}{2}(cos60^\circ + cos90^\circ) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + 0) = \frac{1}{4}$.
Подставляем найденные значения в исходное выражение:
$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

2) Для преобразования суммы котангенсов используем формулу $ctg\alpha + ctg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta)}{sin\alpha sin\beta}$.
$ctg11^\circ + ctg34^\circ = \frac{sin(11^\circ + 34^\circ)}{sin11^\circ sin34^\circ} = \frac{sin45^\circ}{sin11^\circ sin34^\circ}$.
Так как $sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, выражение можно записать в виде:
$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{sin11^\circ sin34^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2sin11^\circ sin34^\circ}$.
Это и есть преобразованное выражение, где сумма представлена в виде произведения/частного.
Ответ: $\frac{sin45^\circ}{sin11^\circ sin34^\circ}$.

3) Для преобразования суммы тангенсов воспользуемся формулой $tg\alpha + tg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta)}{cos\alpha cos\beta}$.
$tg25^\circ + tg65^\circ = \frac{sin(25^\circ + 65^\circ)}{cos25^\circ cos65^\circ} = \frac{sin90^\circ}{cos25^\circ cos65^\circ}$.
Поскольку $sin90^\circ = 1$, выражение упрощается до $\frac{1}{cos25^\circ cos65^\circ}$.
Используем формулу приведения: $cos65^\circ = cos(90^\circ - 25^\circ) = sin25^\circ$.
Знаменатель становится $cos25^\circ sin25^\circ$.
Применим формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$, откуда $sin\alpha cos\alpha = \frac{sin(2\alpha)}{2}$.
$cos25^\circ sin25^\circ = \frac{sin(2 \cdot 25^\circ)}{2} = \frac{sin50^\circ}{2}$.
Подставляем в выражение: $\frac{1}{\frac{sin50^\circ}{2}} = \frac{2}{sin50^\circ}$.
Ответ: $\frac{2}{sin50^\circ}$.

4) Преобразуем сумму тангенса и котангенса одного и того же угла, представив их через синус и косинус:
$tg\alpha + ctg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} + \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{sin\alpha cos\alpha}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $sin\alpha cos\alpha = \frac{sin(2\alpha)}{2}$, получаем:
$\frac{1}{\frac{sin(2\alpha)}{2}} = \frac{2}{sin(2\alpha)}$.
Применим эту общую формулу для $\alpha = 85^\circ$:
$tg85^\circ + ctg85^\circ = \frac{2}{sin(2 \cdot 85^\circ)} = \frac{2}{sin170^\circ}$.
Используя формулу приведения $sin(180^\circ - \alpha) = sin\alpha$, получаем:
$sin170^\circ = sin(180^\circ - 10^\circ) = sin10^\circ$.
Таким образом, итоговое выражение равно $\frac{2}{sin10^\circ}$.
Ответ: $\frac{2}{sin10^\circ}$.

5) Для преобразования разности котангенсов используем формулу $ctg\alpha - ctg\beta = \frac{sin(\beta - \alpha)}{sin\alpha sin\beta}$.
$ctg50^\circ - ctg20^\circ = \frac{sin(20^\circ - 50^\circ)}{sin50^\circ sin20^\circ} = \frac{sin(-30^\circ)}{sin50^\circ sin20^\circ}$.
Так как синус — нечетная функция, $sin(-30^\circ) = -sin30^\circ = -\frac{1}{2}$.
Подставляем это значение:
$\frac{-\frac{1}{2}}{sin50^\circ sin20^\circ} = -\frac{1}{2sin50^\circ sin20^\circ}$.
Выражение преобразовано из разности в частное/произведение.
Ответ: $-\frac{1}{2sin50^\circ sin20^\circ}$.

6) Сначала воспользуемся формулой приведения для котангенса: $ctg(85^\circ) = ctg(90^\circ - 5^\circ) = tg(5^\circ)$.
Тогда исходное выражение принимает вид: $tg25^\circ - tg5^\circ$.
Теперь применим формулу разности тангенсов $tg\alpha - tg\beta = \frac{sin(\alpha - \beta)}{cos\alpha cos\beta}$.
$tg25^\circ - tg5^\circ = \frac{sin(25^\circ - 5^\circ)}{cos25^\circ cos5^\circ} = \frac{sin20^\circ}{cos25^\circ cos5^\circ}$.
Выражение преобразовано из разности в частное/произведение.
Ответ: $\frac{sin20^\circ}{cos25^\circ cos5^\circ}$.

7) Воспользуемся формулой приведения для котангенса: $ctg(75^\circ) = ctg(90^\circ - 15^\circ) = tg(15^\circ)$.
Исходное выражение становится $tg15^\circ + tg15^\circ = 2tg15^\circ$.
Найдем значение $tg15^\circ$ по формуле тангенса разности $tg(\alpha - \beta) = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha tg\beta}$:
$tg15^\circ = tg(45^\circ - 30^\circ) = \frac{tg45^\circ - tg30^\circ}{1 + tg45^\circ tg30^\circ} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{3}-1)$:
$\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{2} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$.
Тогда $2tg15^\circ = 2(2-\sqrt{3}) = 4-2\sqrt{3}$.
Ответ: $4-2\sqrt{3}$.

8) Воспользуемся формулой приведения для тангенса: $tg(75^\circ) = tg(90^\circ - 15^\circ) = ctg(15^\circ)$.
Подставим это в исходное выражение:
$ctg15^\circ - tg75^\circ = ctg15^\circ - ctg15^\circ = 0$.
Ответ: $0$.

27.7. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha} = \text{tg}3\alpha;$

2) $\frac{\sin4\alpha + \sin5\alpha + \sin6\alpha}{\cos4\alpha + \cos5\alpha + \cos6\alpha} = \text{tg}5\alpha;$

3) $\frac{\sin\alpha - 2\cos3\alpha - \sin5\alpha}{\cos\alpha + 2\sin3\alpha - \cos5\alpha} = -\text{ctg}3\alpha;$

4) $\frac{\sin6\alpha + \sin7\alpha - \sin8\alpha - \sin9\alpha}{\cos6\alpha + \cos7\alpha + \cos8\alpha + \cos9\alpha} = -\text{tg}\alpha.$

1) Докажем тождество $ \frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha} = \text{tg}3\alpha $

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе: $ \frac{(\sin5\alpha + \sin\alpha) + \sin3\alpha}{(\cos5\alpha + \cos\alpha) + \cos3\alpha} $.

Применим формулы суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $ и суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.

Для числителя: $ \sin5\alpha + \sin\alpha = 2\sin\frac{5\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2\sin3\alpha\cos2\alpha $.

Для знаменателя: $ \cos5\alpha + \cos\alpha = 2\cos\frac{5\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2\cos3\alpha\cos2\alpha $.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{2\sin3\alpha\cos2\alpha + \sin3\alpha}{2\cos3\alpha\cos2\alpha + \cos3\alpha} $

Вынесем общие множители за скобки в числителе ($ \sin3\alpha $) и знаменателе ($ \cos3\alpha $):

$ \frac{\sin3\alpha(2\cos2\alpha + 1)}{\cos3\alpha(2\cos2\alpha + 1)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (2\cos2\alpha + 1) $:

$ \frac{\sin3\alpha}{\cos3\alpha} = \text{tg}3\alpha $

Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha} = \text{tg}3\alpha $, что и требовалось доказать.

2) Докажем тождество $ \frac{\sin4\alpha + \sin5\alpha + \sin6\alpha}{\cos4\alpha + \cos5\alpha + \cos6\alpha} = \text{tg}5\alpha $

Сгруппируем слагаемые: $ \frac{(\sin6\alpha + \sin4\alpha) + \sin5\alpha}{(\cos6\alpha + \cos4\alpha) + \cos5\alpha} $.

Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:

$ \sin6\alpha + \sin4\alpha = 2\sin\frac{6\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha-4\alpha}{2} = 2\sin5\alpha\cos\alpha $

$ \cos6\alpha + \cos4\alpha = 2\cos\frac{6\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha-4\alpha}{2} = 2\cos5\alpha\cos\alpha $

Подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{2\sin5\alpha\cos\alpha + \sin5\alpha}{2\cos5\alpha\cos\alpha + \cos5\alpha} $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \frac{\sin5\alpha(2\cos\alpha + 1)}{\cos5\alpha(2\cos\alpha + 1)} $

Сократим дробь на $ (2\cos\alpha + 1) $:

$ \frac{\sin5\alpha}{\cos5\alpha} = \text{tg}5\alpha $

Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\sin4\alpha + \sin5\alpha + \sin6\alpha}{\cos4\alpha + \cos5\alpha + \cos6\alpha} = \text{tg}5\alpha $, что и требовалось доказать.

3) Докажем тождество $ \frac{\sin\alpha - 2\cos3\alpha - \sin5\alpha}{\cos\alpha + 2\sin3\alpha - \cos5\alpha} = -\text{ctg}3\alpha $

Сгруппируем слагаемые: $ \frac{(\sin\alpha - \sin5\alpha) - 2\cos3\alpha}{(\cos\alpha - \cos5\alpha) + 2\sin3\alpha} $.

Применим формулы разности синусов $ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $ и разности косинусов $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $:

$ \sin\alpha - \sin5\alpha = 2\sin\frac{\alpha-5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha+5\alpha}{2} = 2\sin(-2\alpha)\cos3\alpha = -2\sin2\alpha\cos3\alpha $

$ \cos\alpha - \cos5\alpha = -2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-5\alpha}{2} = -2\sin3\alpha\sin(-2\alpha) = 2\sin3\alpha\sin2\alpha $

Подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{-2\sin2\alpha\cos3\alpha - 2\cos3\alpha}{2\sin3\alpha\sin2\alpha + 2\sin3\alpha} $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \frac{-2\cos3\alpha(\sin2\alpha + 1)}{2\sin3\alpha(\sin2\alpha + 1)} $

Сократим дробь на $ 2(\sin2\alpha + 1) $:

$ \frac{-\cos3\alpha}{\sin3\alpha} = -\text{ctg}3\alpha $

Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\sin\alpha - 2\cos3\alpha - \sin5\alpha}{\cos\alpha + 2\sin3\alpha - \cos5\alpha} = -\text{ctg}3\alpha $, что и требовалось доказать.

4) Докажем тождество $ \frac{\sin6\alpha + \sin7\alpha - \sin8\alpha - \sin9\alpha}{\cos6\alpha + \cos7\alpha + \cos8\alpha + \cos9\alpha} = -\text{tg}\alpha $

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе:

Числитель: $ (\sin7\alpha - \sin9\alpha) + (\sin6\alpha - \sin8\alpha) $

Знаменатель: $ (\cos7\alpha + \cos9\alpha) + (\cos6\alpha + \cos8\alpha) $

Преобразуем каждую группу по формулам суммы и разности в произведение:

$ \sin7\alpha - \sin9\alpha = 2\sin\frac{7\alpha-9\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha+9\alpha}{2} = 2\sin(-\alpha)\cos(8\alpha) = -2\sin\alpha\cos8\alpha $

$ \sin6\alpha - \sin8\alpha = 2\sin\frac{6\alpha-8\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha+8\alpha}{2} = 2\sin(-\alpha)\cos(7\alpha) = -2\sin\alpha\cos7\alpha $

$ \cos7\alpha + \cos9\alpha = 2\cos\frac{7\alpha+9\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-9\alpha}{2} = 2\cos(8\alpha)\cos(-\alpha) = 2\cos8\alpha\cos\alpha $

$ \cos6\alpha + \cos8\alpha = 2\cos\frac{6\alpha+8\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha-8\alpha}{2} = 2\cos(7\alpha)\cos(-\alpha) = 2\cos7\alpha\cos\alpha $

Подставим преобразованные группы в исходную дробь:

$ \frac{-2\sin\alpha\cos8\alpha - 2\sin\alpha\cos7\alpha}{2\cos8\alpha\cos\alpha + 2\cos7\alpha\cos\alpha} $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \frac{-2\sin\alpha(\cos8\alpha + \cos7\alpha)}{2\cos\alpha(\cos8\alpha + \cos7\alpha)} $

Сократим дробь на общий множитель $ 2(\cos8\alpha + \cos7\alpha) $:

$ \frac{-\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\text{tg}\alpha $

Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\sin6\alpha + \sin7\alpha - \sin8\alpha - \sin9\alpha}{\cos6\alpha + \cos7\alpha + \cos8\alpha + \cos9\alpha} = -\text{tg}\alpha $, что и требовалось доказать.

27.8. Преобразуйте в произведение выражение:

1) $\sin^2\alpha - \sin^2\beta$;

2) $\cos^2\alpha - \cos^2\beta$;

3) $\frac{3}{4} - \sin^2x$;

4) $\cos^2x - \frac{1}{2}$.

1) Для преобразования выражения $\sin^2\alpha - \sin^2\beta$ применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\sin^2\alpha - \sin^2\beta = (\sin\alpha - \sin\beta)(\sin\alpha + \sin\beta)$.

Далее, используем формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

Подставим эти выражения в наше равенство:

$(\sin\alpha - \sin\beta)(\sin\alpha + \sin\beta) = \left(2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cdot \left(2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

Сгруппируем множители для применения формулы синуса двойного угла $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$:

$\left(2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cdot \left(2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cdot \sin\left(2 \cdot \frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$.

Ответ: $\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$

2) Для преобразования выражения $\cos^2\alpha - \cos^2\beta$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2x = 1 - \sin^2x$.

$\cos^2\alpha - \cos^2\beta = (1-\sin^2\alpha) - (1-\sin^2\beta) = 1-\sin^2\alpha - 1 + \sin^2\beta = \sin^2\beta - \sin^2\alpha$.

Вынесем знак минус за скобки:

$\sin^2\beta - \sin^2\alpha = -(\sin^2\alpha - \sin^2\beta)$.

Из решения пункта 1 мы знаем, что $\sin^2\alpha - \sin^2\beta = \sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$.

Следовательно, получаем:

$\cos^2\alpha - \cos^2\beta = -\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$.

Ответ: $-\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$

3) Рассмотрим выражение $\frac{3}{4} - \sin^2x$.

Представим число $\frac{3}{4}$ как квадрат синуса. Известно, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{3}{4} - \sin^2x = \sin^2\frac{\pi}{3} - \sin^2x$.

Это выражение соответствует форме $\sin^2\alpha - \sin^2\beta$ из пункта 1, где $\alpha=\frac{\pi}{3}$ и $\beta=x$.

Применяя формулу $\sin^2\alpha - \sin^2\beta = \sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$, получаем:

$\sin^2\frac{\pi}{3} - \sin^2x = \sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)$.

Ответ: $\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)$

4) Рассмотрим выражение $\cos^2x - \frac{1}{2}$.

Представим число $\frac{1}{2}$ как квадрат косинуса. Известно, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\cos^2x - \frac{1}{2} = \cos^2x - \cos^2\frac{\pi}{4}$.

Это выражение соответствует форме $\cos^2\alpha - \cos^2\beta$ из пункта 2, где $\alpha=x$ и $\beta=\frac{\pi}{4}$.

Применяя формулу $\cos^2\alpha - \cos^2\beta = -\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$, получаем:

$\cos^2x - \cos^2\frac{\pi}{4} = -\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$.

Ответ: $-\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$

27.9. Упростите выражение:

1) $\frac{2\sin^2 49^\circ - 1}{\cos 53^\circ - \cos 37^\circ};$

2) $\frac{\sin 11^\circ - \sin 49^\circ}{1 - 2\cos^2 54^\circ 30'};$

3) $\frac{3\sin 124^\circ - \cos 146^\circ - 2\cos 34^\circ}{\cos 49^\circ \cos 15^\circ + \cos 41^\circ \cos 75^\circ};$

4) $\frac{6\sin 25^\circ - 3\cos 65^\circ + 7\sin 155^\circ}{\cos 53^\circ \cos 12^\circ - \cos 37^\circ \cos 78^\circ};$

5) $\frac{4\sin 139^\circ - 7\cos 131^\circ + 2\sin 41^\circ}{\cos 68^\circ \cos 19^\circ + \cos 22^\circ \cos 71^\circ};$

6) $\frac{\cos 37^\circ - 8\cos 143^\circ + 2\sin 127^\circ}{\sin 42^\circ \sin 79^\circ + \sin 48^\circ \sin 11^\circ}.$

1) Упростим числитель, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$, из которой следует, что $2\sin^2\alpha - 1 = -\cos(2\alpha)$. $2\sin^2 49^\circ - 1 = -\cos(2 \cdot 49^\circ) = -\cos(98^\circ)$.

Упростим знаменатель, используя формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$. $\cos 53^\circ - \cos 37^\circ = -2\sin\frac{53^\circ+37^\circ}{2}\sin\frac{53^\circ-37^\circ}{2} = -2\sin\frac{90^\circ}{2}\sin\frac{16^\circ}{2} = -2\sin 45^\circ \sin 8^\circ$. Так как $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 8^\circ = -\sqrt{2} \sin 8^\circ$.

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь: $\frac{-\cos(98^\circ)}{-\sqrt{2} \sin 8^\circ} = \frac{\cos(98^\circ)}{\sqrt{2} \sin 8^\circ}$.

Применим формулу приведения для числителя: $\cos(98^\circ) = \cos(90^\circ + 8^\circ) = -\sin 8^\circ$. $\frac{-\sin 8^\circ}{\sqrt{2} \sin 8^\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) Упростим числитель, используя формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$. $\sin 11^\circ - \sin 49^\circ = 2\sin\frac{11^\circ-49^\circ}{2}\cos\frac{11^\circ+49^\circ}{2} = 2\sin(\frac{-38^\circ}{2})\cos(\frac{60^\circ}{2}) = 2\sin(-19^\circ)\cos(30^\circ)$. Так как $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $-2\sin 19^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3} \sin 19^\circ$.

Упростим знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$, из которой следует, что $1 - 2\cos^2\alpha = -\cos(2\alpha)$. $1 - 2\cos^2 54^\circ 30' = -\cos(2 \cdot 54^\circ 30')$. $2 \cdot 54^\circ 30' = 108^\circ 60' = 109^\circ$. Знаменатель равен $-\cos(109^\circ)$.

Подставим упрощенные выражения в дробь: $\frac{-\sqrt{3} \sin 19^\circ}{-\cos(109^\circ)} = \frac{\sqrt{3} \sin 19^\circ}{\cos(109^\circ)}$.

Применим формулу приведения для знаменателя: $\cos(109^\circ) = \cos(90^\circ + 19^\circ) = -\sin 19^\circ$. $\frac{\sqrt{3} \sin 19^\circ}{-\sin 19^\circ} = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.

3) Упростим числитель, используя формулы приведения: $\sin 124^\circ = \sin(90^\circ + 34^\circ) = \cos 34^\circ$. $\cos 146^\circ = \cos(180^\circ - 34^\circ) = -\cos 34^\circ$. Подставляем в числитель: $3\cos 34^\circ - (-\cos 34^\circ) - 2\cos 34^\circ = 3\cos 34^\circ + \cos 34^\circ - 2\cos 34^\circ = 2\cos 34^\circ$.

Упростим знаменатель. Используем формулы приведения: $\cos 41^\circ = \cos(90^\circ - 49^\circ) = \sin 49^\circ$. $\cos 75^\circ = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ$. Подставляем в знаменатель: $\cos 49^\circ \cos 15^\circ + \sin 49^\circ \sin 15^\circ$. Это формула косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. $\cos 49^\circ \cos 15^\circ + \sin 49^\circ \sin 15^\circ = \cos(49^\circ - 15^\circ) = \cos 34^\circ$.

Подставим упрощенные выражения в дробь: $\frac{2\cos 34^\circ}{\cos 34^\circ} = 2$.

Ответ: $2$.

4) Упростим числитель, используя формулы приведения: $\cos 65^\circ = \cos(90^\circ - 25^\circ) = \sin 25^\circ$. $\sin 155^\circ = \sin(180^\circ - 25^\circ) = \sin 25^\circ$. Подставляем в числитель: $6\sin 25^\circ - 3\sin 25^\circ + 7\sin 25^\circ = (6 - 3 + 7)\sin 25^\circ = 10\sin 25^\circ$.

Упростим знаменатель. Используем формулы приведения: $\cos 37^\circ = \cos(90^\circ - 53^\circ) = \sin 53^\circ$. $\cos 78^\circ = \cos(90^\circ - 12^\circ) = \sin 12^\circ$. Подставляем в знаменатель: $\cos 53^\circ \cos 12^\circ - \sin 53^\circ \sin 12^\circ$. Это формула косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$. $\cos 53^\circ \cos 12^\circ - \sin 53^\circ \sin 12^\circ = \cos(53^\circ + 12^\circ) = \cos 65^\circ$.

Подставим упрощенные выражения в дробь: $\frac{10\sin 25^\circ}{\cos 65^\circ}$. Используем формулу приведения для знаменателя: $\cos 65^\circ = \cos(90^\circ - 25^\circ) = \sin 25^\circ$. $\frac{10\sin 25^\circ}{\sin 25^\circ} = 10$.

Ответ: $10$.

5) Упростим числитель, используя формулы приведения: $\sin 139^\circ = \sin(180^\circ - 41^\circ) = \sin 41^\circ$. $\cos 131^\circ = \cos(90^\circ + 41^\circ) = -\sin 41^\circ$. Подставляем в числитель: $4\sin 41^\circ - 7(-\sin 41^\circ) + 2\sin 41^\circ = 4\sin 41^\circ + 7\sin 41^\circ + 2\sin 41^\circ = (4 + 7 + 2)\sin 41^\circ = 13\sin 41^\circ$.

Упростим знаменатель. Используем формулы приведения: $\cos 22^\circ = \cos(90^\circ - 68^\circ) = \sin 68^\circ$. $\cos 71^\circ = \cos(90^\circ - 19^\circ) = \sin 19^\circ$. Подставляем в знаменатель: $\cos 68^\circ \cos 19^\circ + \sin 68^\circ \sin 19^\circ$. Это формула косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. $\cos 68^\circ \cos 19^\circ + \sin 68^\circ \sin 19^\circ = \cos(68^\circ - 19^\circ) = \cos 49^\circ$.

Подставим упрощенные выражения в дробь: $\frac{13\sin 41^\circ}{\cos 49^\circ}$. Используем формулу приведения для знаменателя: $\cos 49^\circ = \cos(90^\circ - 41^\circ) = \sin 41^\circ$. $\frac{13\sin 41^\circ}{\sin 41^\circ} = 13$.

Ответ: $13$.

6) Упростим числитель, используя формулы приведения: $\cos 143^\circ = \cos(180^\circ - 37^\circ) = -\cos 37^\circ$. $\sin 127^\circ = \sin(90^\circ + 37^\circ) = \cos 37^\circ$. Подставляем в числитель: $\cos 37^\circ - 8(-\cos 37^\circ) + 2\cos 37^\circ = \cos 37^\circ + 8\cos 37^\circ + 2\cos 37^\circ = (1 + 8 + 2)\cos 37^\circ = 11\cos 37^\circ$.

Упростим знаменатель. Используем формулы приведения: $\sin 48^\circ = \sin(90^\circ - 42^\circ) = \cos 42^\circ$. $\sin 11^\circ = \sin(90^\circ - 79^\circ) = \cos 79^\circ$. Подставляем в знаменатель: $\sin 42^\circ \sin 79^\circ + \cos 42^\circ \cos 79^\circ$. Переставим слагаемые: $\cos 42^\circ \cos 79^\circ + \sin 42^\circ \sin 79^\circ$. Это формула косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. $\cos 79^\circ \cos 42^\circ + \sin 79^\circ \sin 42^\circ = \cos(79^\circ - 42^\circ) = \cos 37^\circ$.

Подставим упрощенные выражения в дробь: $\frac{11\cos 37^\circ}{\cos 37^\circ} = 11$.

Ответ: $11$.