Номер 27.7, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.7. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha} = \text{tg}3\alpha;$

2) $\frac{\sin4\alpha + \sin5\alpha + \sin6\alpha}{\cos4\alpha + \cos5\alpha + \cos6\alpha} = \text{tg}5\alpha;$

3) $\frac{\sin\alpha - 2\cos3\alpha - \sin5\alpha}{\cos\alpha + 2\sin3\alpha - \cos5\alpha} = -\text{ctg}3\alpha;$

4) $\frac{\sin6\alpha + \sin7\alpha - \sin8\alpha - \sin9\alpha}{\cos6\alpha + \cos7\alpha + \cos8\alpha + \cos9\alpha} = -\text{tg}\alpha.$

1) Докажем тождество $ \frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha} = \text{tg}3\alpha $

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе: $ \frac{(\sin5\alpha + \sin\alpha) + \sin3\alpha}{(\cos5\alpha + \cos\alpha) + \cos3\alpha} $.

Применим формулы суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $ и суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.

Для числителя: $ \sin5\alpha + \sin\alpha = 2\sin\frac{5\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2\sin3\alpha\cos2\alpha $.

Для знаменателя: $ \cos5\alpha + \cos\alpha = 2\cos\frac{5\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2\cos3\alpha\cos2\alpha $.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{2\sin3\alpha\cos2\alpha + \sin3\alpha}{2\cos3\alpha\cos2\alpha + \cos3\alpha} $

Вынесем общие множители за скобки в числителе ($ \sin3\alpha $) и знаменателе ($ \cos3\alpha $):

$ \frac{\sin3\alpha(2\cos2\alpha + 1)}{\cos3\alpha(2\cos2\alpha + 1)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (2\cos2\alpha + 1) $:

$ \frac{\sin3\alpha}{\cos3\alpha} = \text{tg}3\alpha $

Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha} = \text{tg}3\alpha $, что и требовалось доказать.

2) Докажем тождество $ \frac{\sin4\alpha + \sin5\alpha + \sin6\alpha}{\cos4\alpha + \cos5\alpha + \cos6\alpha} = \text{tg}5\alpha $

Сгруппируем слагаемые: $ \frac{(\sin6\alpha + \sin4\alpha) + \sin5\alpha}{(\cos6\alpha + \cos4\alpha) + \cos5\alpha} $.

Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:

$ \sin6\alpha + \sin4\alpha = 2\sin\frac{6\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha-4\alpha}{2} = 2\sin5\alpha\cos\alpha $

$ \cos6\alpha + \cos4\alpha = 2\cos\frac{6\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha-4\alpha}{2} = 2\cos5\alpha\cos\alpha $

Подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{2\sin5\alpha\cos\alpha + \sin5\alpha}{2\cos5\alpha\cos\alpha + \cos5\alpha} $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \frac{\sin5\alpha(2\cos\alpha + 1)}{\cos5\alpha(2\cos\alpha + 1)} $

Сократим дробь на $ (2\cos\alpha + 1) $:

$ \frac{\sin5\alpha}{\cos5\alpha} = \text{tg}5\alpha $

Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\sin4\alpha + \sin5\alpha + \sin6\alpha}{\cos4\alpha + \cos5\alpha + \cos6\alpha} = \text{tg}5\alpha $, что и требовалось доказать.

3) Докажем тождество $ \frac{\sin\alpha - 2\cos3\alpha - \sin5\alpha}{\cos\alpha + 2\sin3\alpha - \cos5\alpha} = -\text{ctg}3\alpha $

Сгруппируем слагаемые: $ \frac{(\sin\alpha - \sin5\alpha) - 2\cos3\alpha}{(\cos\alpha - \cos5\alpha) + 2\sin3\alpha} $.

Применим формулы разности синусов $ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $ и разности косинусов $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $:

$ \sin\alpha - \sin5\alpha = 2\sin\frac{\alpha-5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha+5\alpha}{2} = 2\sin(-2\alpha)\cos3\alpha = -2\sin2\alpha\cos3\alpha $

$ \cos\alpha - \cos5\alpha = -2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-5\alpha}{2} = -2\sin3\alpha\sin(-2\alpha) = 2\sin3\alpha\sin2\alpha $

Подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{-2\sin2\alpha\cos3\alpha - 2\cos3\alpha}{2\sin3\alpha\sin2\alpha + 2\sin3\alpha} $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \frac{-2\cos3\alpha(\sin2\alpha + 1)}{2\sin3\alpha(\sin2\alpha + 1)} $

Сократим дробь на $ 2(\sin2\alpha + 1) $:

$ \frac{-\cos3\alpha}{\sin3\alpha} = -\text{ctg}3\alpha $

Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\sin\alpha - 2\cos3\alpha - \sin5\alpha}{\cos\alpha + 2\sin3\alpha - \cos5\alpha} = -\text{ctg}3\alpha $, что и требовалось доказать.

4) Докажем тождество $ \frac{\sin6\alpha + \sin7\alpha - \sin8\alpha - \sin9\alpha}{\cos6\alpha + \cos7\alpha + \cos8\alpha + \cos9\alpha} = -\text{tg}\alpha $

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе:

Числитель: $ (\sin7\alpha - \sin9\alpha) + (\sin6\alpha - \sin8\alpha) $

Знаменатель: $ (\cos7\alpha + \cos9\alpha) + (\cos6\alpha + \cos8\alpha) $

Преобразуем каждую группу по формулам суммы и разности в произведение:

$ \sin7\alpha - \sin9\alpha = 2\sin\frac{7\alpha-9\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha+9\alpha}{2} = 2\sin(-\alpha)\cos(8\alpha) = -2\sin\alpha\cos8\alpha $

$ \sin6\alpha - \sin8\alpha = 2\sin\frac{6\alpha-8\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha+8\alpha}{2} = 2\sin(-\alpha)\cos(7\alpha) = -2\sin\alpha\cos7\alpha $

$ \cos7\alpha + \cos9\alpha = 2\cos\frac{7\alpha+9\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-9\alpha}{2} = 2\cos(8\alpha)\cos(-\alpha) = 2\cos8\alpha\cos\alpha $

$ \cos6\alpha + \cos8\alpha = 2\cos\frac{6\alpha+8\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha-8\alpha}{2} = 2\cos(7\alpha)\cos(-\alpha) = 2\cos7\alpha\cos\alpha $

Подставим преобразованные группы в исходную дробь:

$ \frac{-2\sin\alpha\cos8\alpha - 2\sin\alpha\cos7\alpha}{2\cos8\alpha\cos\alpha + 2\cos7\alpha\cos\alpha} $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \frac{-2\sin\alpha(\cos8\alpha + \cos7\alpha)}{2\cos\alpha(\cos8\alpha + \cos7\alpha)} $

Сократим дробь на общий множитель $ 2(\cos8\alpha + \cos7\alpha) $:

$ \frac{-\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\text{tg}\alpha $

Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\sin6\alpha + \sin7\alpha - \sin8\alpha - \sin9\alpha}{\cos6\alpha + \cos7\alpha + \cos8\alpha + \cos9\alpha} = -\text{tg}\alpha $, что и требовалось доказать.