Номер 27.2, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.2. Преобразуйте выражение в произведение:

1) $sin(\frac{\pi}{5}) + sin(\frac{3\pi}{5});$

2) $cos(\frac{2\pi}{3}) + cos(\frac{\pi}{6});$

3) $sin(\frac{3\pi}{10}) - sin(\frac{\pi}{10});$

4) $cos(\frac{\pi}{4}) - cos(\frac{3\pi}{4});$

5) $cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) + cos(\frac{\pi}{3} + \alpha);$

6) $cos(\frac{\pi}{6} - x) - cos(\frac{\pi}{6} + x);$

7) $sinx + siny;$

8) $sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - sin(\frac{\pi}{4} - \alpha);$

9) $sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) + sin(\frac{\pi}{3} - \alpha);$

10) $sinx - cosy;$

11) $sin2x + cos4x;$

12) $cos\beta - sin6\beta.$

1) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула суммы синусов: $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Применим эту формулу к выражению $ \sin\frac{\pi}{5} + \sin\frac{3\pi}{5} $:
$ \alpha = \frac{\pi}{5} $, $ \beta = \frac{3\pi}{5} $.
$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{3\pi}{5}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{5}}{2} = \frac{2\pi}{5} $.
$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} - \frac{3\pi}{5}}{2} = \frac{-\frac{2\pi}{5}}{2} = -\frac{\pi}{5} $.
Подставляя значения, получаем:
$ \sin\frac{\pi}{5} + \sin\frac{3\pi}{5} = 2\sin\frac{2\pi}{5}\cos(-\frac{\pi}{5}) $.
Поскольку функция косинуса четная ($ \cos(-x) = \cos x $), выражение упрощается до:
$ 2\sin\frac{2\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5} $.
Ответ: $ 2\sin\frac{2\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5} $.

2) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула суммы косинусов: $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Применим эту формулу к выражению $ \cos\frac{2\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{6} $:
$ \alpha = \frac{2\pi}{3} $, $ \beta = \frac{\pi}{6} $.
$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{5\pi}{6}}{2} = \frac{5\pi}{12} $.
$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{3\pi}{6}}{2} = \frac{\pi}{4} $.
Подставляя значения, получаем:
$ \cos\frac{2\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{6} = 2\cos\frac{5\pi}{12}\cos\frac{\pi}{4} $.
Зная, что $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:
$ 2\cos\frac{5\pi}{12} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\cos\frac{5\pi}{12} $.
Ответ: $ \sqrt{2}\cos\frac{5\pi}{12} $.

3) Для преобразования разности синусов в произведение используется формула разности синусов: $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Применим эту формулу к выражению $ \sin\frac{3\pi}{10} - \sin\frac{\pi}{10} $:
$ \alpha = \frac{3\pi}{10} $, $ \beta = \frac{\pi}{10} $.
$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{10} + \frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{10}}{2} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} $.
$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{10} - \frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{10}}{2} = \frac{\pi}{10} $.
Подставляя значения, получаем:
$ \sin\frac{3\pi}{10} - \sin\frac{\pi}{10} = 2\cos\frac{\pi}{5}\sin\frac{\pi}{10} $.
Ответ: $ 2\cos\frac{\pi}{5}\sin\frac{\pi}{10} $.

4) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула разности косинусов: $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Применим эту формулу к выражению $ \cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{3\pi}{4} $:
$ \alpha = \frac{\pi}{4} $, $ \beta = \frac{3\pi}{4} $.
$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{2} $.
$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{-\frac{2\pi}{4}}{2} = -\frac{\pi}{4} $.
Подставляя значения, получаем:
$ \cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{3\pi}{4} = -2\sin\frac{\pi}{2}\sin(-\frac{\pi}{4}) $.
Зная, что $ \sin\frac{\pi}{2}=1 $ и $ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:
$ -2 \cdot 1 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} $.
Ответ: $ \sqrt{2} $.

5) Используем формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
В выражении $ \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) $ пусть $ A = \frac{\pi}{3} - \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{3} + \alpha $.
$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} - \alpha) + (\frac{\pi}{3} + \alpha)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $.
$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} - \alpha) - (\frac{\pi}{3} + \alpha)}{2} = \frac{-2\alpha}{2} = -\alpha $.
Получаем: $ 2\cos\frac{\pi}{3}\cos(-\alpha) $.
Так как $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $, то:
$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos\alpha = \cos\alpha $.
Ответ: $ \cos\alpha $.

6) Используем формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
В выражении $ \cos(\frac{\pi}{6} - x) - \cos(\frac{\pi}{6} + x) $ пусть $ A = \frac{\pi}{6} - x $ и $ B = \frac{\pi}{6} + x $.
$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} - x) + (\frac{\pi}{6} + x)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{6}}{2} = \frac{\pi}{6} $.
$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} - x) - (\frac{\pi}{6} + x)}{2} = \frac{-2x}{2} = -x $.
Получаем: $ -2\sin\frac{\pi}{6}\sin(-x) $.
Так как $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $ и $ \sin(-x) = -\sin x $, то:
$ -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin x) = \sin x $.
Ответ: $ \sin x $.

7) Это прямое применение формулы суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
Заменяя $ \alpha $ на $ x $ и $ \beta $ на $ y $, получаем:
$ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.
Ответ: $ 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.

8) Используем формулу разности синусов $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
В выражении $ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) $ пусть $ A = \frac{\pi}{4} + \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{4} - \alpha $.
$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + \alpha) + (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{4} $.
$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + \alpha) - (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $.
Получаем: $ 2\cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha $.
Так как $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, то:
$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha $.
Ответ: $ \sqrt{2}\sin\alpha $.

9) Используем формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
В выражении $ \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) + \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) $ пусть $ A = \frac{\pi}{3} + \alpha $ и $ B = \frac{\pi}{3} - \alpha $.
$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) + (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $.
$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) - (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $.
Получаем: $ 2\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha $.
Так как $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то:
$ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $.
Ответ: $ \sqrt{3}\cos\alpha $.

10) Чтобы преобразовать разность синуса и косинуса, используем формулу приведения $ \sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x) $.
Выражение $ \sin x - \cos y $ становится $ \cos(\frac{\pi}{2} - x) - \cos y $.
Теперь применим формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \alpha = \frac{\pi}{2} - x $, $ \beta = y $.
$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} - x + y}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{x-y}{2} $.
$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} - x - y}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{x+y}{2} $.
Подставляя, получаем: $ -2\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x-y}{2})\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x+y}{2}) $.
Ответ: $ -2\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{x-y}{2})\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{x+y}{2}) $.

11) Чтобы преобразовать сумму синуса и косинуса, используем формулу приведения $ \sin(2x) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) $.
Выражение $ \sin 2x + \cos 4x $ становится $ \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) + \cos 4x $.
Теперь применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \alpha = \frac{\pi}{2} - 2x $, $ \beta = 4x $.
$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} - 2x + 4x}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} + 2x}{2} = \frac{\pi}{4} + x $.
$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} - 2x - 4x}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} - 6x}{2} = \frac{\pi}{4} - 3x $.
Подставляя, получаем: $ 2\cos(\frac{\pi}{4}+x)\cos(\frac{\pi}{4}-3x) $.
Ответ: $ 2\cos(\frac{\pi}{4}+x)\cos(\frac{\pi}{4}-3x) $.

12) Чтобы преобразовать разность косинуса и синуса, используем формулу приведения $ \sin(6\beta) = \cos(\frac{\pi}{2} - 6\beta) $.
Выражение $ \cos\beta - \sin 6\beta $ становится $ \cos\beta - \cos(\frac{\pi}{2} - 6\beta) $.
Теперь применим формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \alpha = \beta $, $ \beta = \frac{\pi}{2} - 6\beta $.
$ \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\beta + \frac{\pi}{2} - 6\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} - 5\beta}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{5\beta}{2} $.
$ \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\beta - (\frac{\pi}{2} - 6\beta)}{2} = \frac{7\beta - \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{7\beta}{2} - \frac{\pi}{4} $.
Подставляя, получаем: $ -2\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{5\beta}{2})\sin(\frac{7\beta}{2}-\frac{\pi}{4}) $.
Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin x $, можем записать $ \sin(\frac{7\beta}{2}-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{7\beta}{2}) $.
Тогда выражение равно: $ -2\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{5\beta}{2})[-\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{7\beta}{2})] = 2\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{5\beta}{2})\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{7\beta}{2}) $.
Ответ: $ 2\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{5\beta}{2})\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{7\beta}{2}) $.