Номер 26.26, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.26. Упростите выражение:

1) $\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) - \sin\beta$;

2) $\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) - \cos\beta.$

1) Для упрощения выражения $ \sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4} - \beta) - \sin\beta $ воспользуемся формулой косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

Применим эту формулу для $ \cos(\frac{\pi}{4} - \beta) $:

$ \cos(\frac{\pi}{4} - \beta) = \cos\frac{\pi}{4} \cos\beta + \sin\frac{\pi}{4} \sin\beta $.

Зная, что $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, подставляем эти значения:

$ \cos(\frac{\pi}{4} - \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\beta + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta $.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$ \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\beta + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta \right) - \sin\beta $.

Раскроем скобки, умножив $ \sqrt{2} $ на каждый член в скобках:

$ \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\beta + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta - \sin\beta $.

Упростим коэффициенты:

$ \frac{2}{2} \cos\beta + \frac{2}{2} \sin\beta - \sin\beta $.

$ \cos\beta + \sin\beta - \sin\beta $.

Сократим подобные слагаемые $ \sin\beta $ и $ -\sin\beta $:

$ \cos\beta $.

Ответ: $ \cos\beta $

2) Для упрощения выражения $ \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} + \beta) - \cos\beta $ воспользуемся формулой синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

Применим эту формулу для $ \sin(\frac{\pi}{4} + \beta) $:

$ \sin(\frac{\pi}{4} + \beta) = \sin\frac{\pi}{4} \cos\beta + \cos\frac{\pi}{4} \sin\beta $.

Зная, что $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, подставляем эти значения:

$ \sin(\frac{\pi}{4} + \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\beta + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta $.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$ \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\beta + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta \right) - \cos\beta $.

Раскроем скобки:

$ \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\beta + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta - \cos\beta $.

Упростим коэффициенты:

$ \frac{2}{2} \cos\beta + \frac{2}{2} \sin\beta - \cos\beta $.

$ \cos\beta + \sin\beta - \cos\beta $.

Сократим подобные слагаемые $ \cos\beta $ и $ -\cos\beta $:

$ \sin\beta $.

Ответ: $ \sin\beta $