Номер 26.21, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.21. Известно, что $tg\frac{\alpha}{2} = -2$. Найдите:

1) sin3a;

2) cos3a.

Для решения данной задачи мы сначала найдем значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, используя формулы универсальной тригонометрической подстановки, которые связывают тригонометрические функции угла с тангенсом его половинного угла.

Формулы универсальной подстановки:

$\sin\alpha = \frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2\frac{\alpha}{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1 - \tg^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2\frac{\alpha}{2}}$

Нам дано, что $\tg\frac{\alpha}{2} = -2$. Подставим это значение в формулы, чтобы найти $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$.

Вычисление $\sin\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{2 \cdot (-2)}{1 + (-2)^2} = \frac{-4}{1 + 4} = -\frac{4}{5}$

Вычисление $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = \frac{1 - (-2)^2}{1 + (-2)^2} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}$

Теперь, когда мы знаем значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, мы можем найти $\sin(3\alpha)$ и $\cos(3\alpha)$ с помощью формул тройного угла.

1) sin3α

Используем формулу синуса тройного угла: $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$.

Подставляем значение $\sin\alpha = -\frac{4}{5}$:

$\sin(3\alpha) = 3 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) - 4 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)^3 = -\frac{12}{5} - 4 \cdot \left(-\frac{64}{125}\right)$

$\sin(3\alpha) = -\frac{12}{5} + \frac{256}{125}$

Приводим дроби к общему знаменателю 125:

$\sin(3\alpha) = -\frac{12 \cdot 25}{5 \cdot 25} + \frac{256}{125} = -\frac{300}{125} + \frac{256}{125} = \frac{-300 + 256}{125} = -\frac{44}{125}$

Ответ: $-\frac{44}{125}$

2) cos3α

Используем формулу косинуса тройного угла: $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.

Подставляем значение $\cos\alpha = -\frac{3}{5}$:

$\cos(3\alpha) = 4 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)^3 - 3 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{27}{125}\right) + \frac{9}{5}$

$\cos(3\alpha) = -\frac{108}{125} + \frac{9}{5}$

Приводим дроби к общему знаменателю 125:

$\cos(3\alpha) = -\frac{108}{125} + \frac{9 \cdot 25}{5 \cdot 25} = -\frac{108}{125} + \frac{225}{125} = \frac{-108 + 225}{125} = \frac{117}{125}$

Ответ: $\frac{117}{125}$