Номер 26.24, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.24. Докажите тождество:

1) $ \sin2x < 2\sin x $, если $ 0 < x < \pi $;

2) $ \sin2x < 2\cos x $, если $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $.

1) sin2x < 2sinx, если 0 < x < π;

Для доказательства данного неравенства преобразуем его. Перенесем все члены в левую часть:
$sin(2x) - 2sin(x) < 0$
Применим формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$:
$2sin(x)cos(x) - 2sin(x) < 0$
Вынесем общий множитель $2sin(x)$ за скобки:
$2sin(x)(cos(x) - 1) < 0$
Теперь проанализируем знаки множителей в заданном интервале $0 < x < \pi$.
В интервале $(0, \pi)$ (I и II координатные четверти) синус принимает положительные значения, то есть $sin(x) > 0$. Соответственно, $2sin(x) > 0$.
Значение косинуса любого угла не превышает 1, то есть $cos(x) \le 1$. Равенство $cos(x) = 1$ достигается при $x = 2\pi k$, где $k$ — целое число. Ни одно из этих значений не попадает в интервал $(0, \pi)$. Следовательно, для $x \in (0, \pi)$ выполняется строгое неравенство $cos(x) < 1$.
Из этого следует, что разность $cos(x) - 1$ всегда будет отрицательной: $cos(x) - 1 < 0$.
Таким образом, мы имеем произведение положительного множителя ($2sin(x)$) и отрицательного множителя ($(cos(x) - 1)$). Произведение положительного и отрицательного чисел всегда отрицательно.
Значит, неравенство $2sin(x)(cos(x) - 1) < 0$ истинно для всех $x$ из интервала $(0, \pi)$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) sin2x < 2cosx, если -π/2 < x < π/2.

Проведем доказательство аналогично предыдущему пункту. Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$sin(2x) - 2cos(x) < 0$
Используем формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$:
$2sin(x)cos(x) - 2cos(x) < 0$
Вынесем общий множитель $2cos(x)$ за скобки:
$2cos(x)(sin(x) - 1) < 0$
Рассмотрим знаки множителей в заданном интервале $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$.
В интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ (I и IV координатные четверти) косинус принимает положительные значения, то есть $cos(x) > 0$. Соответственно, $2cos(x) > 0$.
Значение синуса любого угла не превышает 1, то есть $sin(x) \le 1$. Равенство $sin(x) = 1$ достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число. Правая граница нашего интервала $x < \frac{\pi}{2}$ не включает это значение. Следовательно, для $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ выполняется строгое неравенство $sin(x) < 1$.
Из этого следует, что разность $sin(x) - 1$ всегда будет отрицательной: $sin(x) - 1 < 0$.
В итоге мы получили произведение положительного множителя ($2cos(x)$) и отрицательного множителя ($(sin(x) - 1)$). Такое произведение всегда отрицательно.
Значит, неравенство $2cos(x)(sin(x) - 1) < 0$ истинно для всех $x$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Ответ: Что и требовалось доказать.