Номер 26.17, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.17.1) Пусть $tga = \frac{5}{6}$ и $\pi < \alpha < 1.5\pi$. Найдите: $sin2\alpha$; $cos2\alpha$; $tg2\alpha$.

2) Пусть $cos \alpha = -0.8$ и $\pi < \alpha < 1.5\pi$. Найдите: $sin0.5\alpha$; $cos0.5\alpha$; $tg0.5\alpha$.

1)

Дано, что $\tg\alpha = \frac{5}{6}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < 1,5\pi$, что соответствует третьей координатной четверти.

Для нахождения $\sin2\alpha$, $\cos2\alpha$ и $\tg2\alpha$ можно воспользоваться формулами двойного угла, которые выражают эти функции через тангенс исходного угла. Это позволяет избежать нахождения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ и определения их знаков, хотя мы знаем, что в третьей четверти они оба отрицательны.

Найдем $\sin2\alpha$ по формуле $\sin2\alpha = \frac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha}$:

$\sin2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{5}{6}}{1 + (\frac{5}{6})^2} = \frac{\frac{10}{6}}{1 + \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{36+25}{36}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{61}{36}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{36}{61} = \frac{5 \cdot 12}{61} = \frac{60}{61}$.

Найдем $\cos2\alpha$ по формуле $\cos2\alpha = \frac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}$:

$\cos2\alpha = \frac{1 - (\frac{5}{6})^2}{1 + (\frac{5}{6})^2} = \frac{1 - \frac{25}{36}}{1 + \frac{25}{36}} = \frac{\frac{36-25}{36}}{\frac{36+25}{36}} = \frac{\frac{11}{36}}{\frac{61}{36}} = \frac{11}{61}$.

Найдем $\tg2\alpha$, разделив $\sin2\alpha$ на $\cos2\alpha$:

$\tg2\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \frac{\frac{60}{61}}{\frac{11}{61}} = \frac{60}{11}$.

Также можно использовать формулу $\tg2\alpha = \frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}$:

$\tg2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{5}{6}}{1 - (\frac{5}{6})^2} = \frac{\frac{5}{3}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{11}{36}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{36}{11} = \frac{60}{11}$.

Ответ: $\sin2\alpha = \frac{60}{61}$; $\cos2\alpha = \frac{11}{61}$; $\tg2\alpha = \frac{60}{11}$.

2)

Дано, что $\cos\alpha = -0,8$ и угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < 1,5\pi$.

Нам необходимо найти тригонометрические функции от угла $0,5\alpha$ (или $\frac{\alpha}{2}$). Для начала определим, в какой четверти лежит угол $0,5\alpha$. Разделим данное неравенство для $\alpha$ на 2:

$\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{1,5\pi}{2}$, что равносильно $\frac{\pi}{2} < 0,5\alpha < \frac{3\pi}{4}$.

Этот интервал находится во второй координатной четверти. Во второй четверти синус положителен ($\sin(0,5\alpha) > 0$), а косинус отрицателен ($\cos(0,5\alpha) < 0$).

Воспользуемся формулами половинного угла.

Найдем $\sin(0,5\alpha)$:

$\sin^2(0,5\alpha) = \frac{1 - \cos\alpha}{2} = \frac{1 - (-0,8)}{2} = \frac{1 + 0,8}{2} = \frac{1,8}{2} = 0,9 = \frac{9}{10}$.

Поскольку $\sin(0,5\alpha)$ положителен, берем положительное значение корня:

$\sin(0,5\alpha) = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Найдем $\cos(0,5\alpha)$:

$\cos^2(0,5\alpha) = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \frac{1 + (-0,8)}{2} = \frac{1 - 0,8}{2} = \frac{0,2}{2} = 0,1 = \frac{1}{10}$.

Поскольку $\cos(0,5\alpha)$ отрицателен, берем отрицательное значение корня:

$\cos(0,5\alpha) = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Найдем $\tg(0,5\alpha)$ по определению тангенса:

$\tg(0,5\alpha) = \frac{\sin(0,5\alpha)}{\cos(0,5\alpha)} = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{-\frac{1}{\sqrt{10}}} = -3$.

Ответ: $\sin(0,5\alpha) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$; $\cos(0,5\alpha) = -\frac{\sqrt{10}}{10}$; $\tg(0,5\alpha) = -3$.