Номер 26.13, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.13. Используя формулы половинного угла найдите значения: $sin22^\circ30^\prime$; $cos22^\circ30^\prime$ и $tg22^\circ30^\prime$.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы половинного угла. Угол $22^\circ30'$ представляет собой половину угла $45^\circ$, так как $22^\circ30' = 22.5^\circ = \frac{45^\circ}{2}$.

Основные тригонометрические формулы половинного угла, которые нам понадобятся:

1. $\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$

2. $\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$

3. $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$

В нашем случае $\alpha = 45^\circ$. Мы знаем, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $22^\circ30'$ находится в первой координатной четверти, поэтому значения его синуса, косинуса и тангенса будут положительными. Следовательно, в формулах для синуса и косинуса мы выбираем знак «+».

sin22°30'

Используем формулу синуса половинного угла:

$\sin(22^\circ30') = \sin\left(\frac{45^\circ}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\cos(45^\circ)}{2}}$

Подставляем значение $\cos(45^\circ)$:

$\sin(22^\circ30') = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

Ответ: $\sin(22^\circ30') = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.

cos22°30'

Используем формулу косинуса половинного угла:

$\cos(22^\circ30') = \cos\left(\frac{45^\circ}{2}\right) = \sqrt{\frac{1+\cos(45^\circ)}{2}}$

Подставляем значение $\cos(45^\circ)$:

$\cos(22^\circ30') = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

Ответ: $\cos(22^\circ30') = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.

tg22°30'

Используем формулу тангенса половинного угла. Эта формула не содержит квадратных корней и знаков $\pm$, что упрощает вычисления:

$\text{tg}(22^\circ30') = \text{tg}\left(\frac{45^\circ}{2}\right) = \frac{1-\cos(45^\circ)}{\sin(45^\circ)}$

Подставляем значения $\cos(45^\circ)$ и $\sin(45^\circ)$:

$\text{tg}(22^\circ30') = \frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{(2-\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2} = \sqrt{2}-1$

Ответ: $\text{tg}(22^\circ30') = \sqrt{2}-1$.