Номер 26.7, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.7. Вычислите $\sin 2a$, $\cos 2a$, $\cot 2a$ и $\tan 2a$, если $\tan a = 2.4$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

По условию задачи имеем $\operatorname{tg}(\alpha) = 2,4$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.

Неравенство $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ указывает на то, что угол $\alpha$ находится в III координатной четверти. В этой четверти $\operatorname{tg}(\alpha)$ положителен, что соответствует условию. Для вычисления искомых величин будем использовать формулы двойного угла, которые выражают тригонометрические функции через тангенс одинарного угла. Это позволяет избежать нахождения $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ по отдельности.

sin2α

Воспользуемся формулой синуса двойного угла через тангенс:

$\sin(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}(\alpha)}{1 + \operatorname{tg}^2(\alpha)}$

Подставим значение $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{12}{5}$ в формулу:

$\sin(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{12}{5}}{1 + (\frac{12}{5})^2} = \frac{\frac{24}{5}}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{\frac{24}{5}}{\frac{25 + 144}{25}} = \frac{\frac{24}{5}}{\frac{169}{25}} = \frac{24}{5} \cdot \frac{25}{169} = \frac{24 \cdot 5}{169} = \frac{120}{169}$.

Ответ: $\sin(2\alpha) = \frac{120}{169}$.

cos2α

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла через тангенс:

$\cos(2\alpha) = \frac{1 - \operatorname{tg}^2(\alpha)}{1 + \operatorname{tg}^2(\alpha)}$

Подставим значение $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{12}{5}$ в формулу:

$\cos(2\alpha) = \frac{1 - (\frac{12}{5})^2}{1 + (\frac{12}{5})^2} = \frac{1 - \frac{144}{25}}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{\frac{25 - 144}{25}}{\frac{25 + 144}{25}} = \frac{-\frac{119}{25}}{\frac{169}{25}} = -\frac{119}{169}$.

Ответ: $\cos(2\alpha) = -\frac{119}{169}$.

ctg2α

Котангенс двойного угла можно вычислить как отношение косинуса двойного угла к синусу двойного угла:

$\operatorname{ctg}(2\alpha) = \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$

Используя ранее найденные значения $\sin(2\alpha) = \frac{120}{169}$ и $\cos(2\alpha) = -\frac{119}{169}$:

$\operatorname{ctg}(2\alpha) = \frac{-\frac{119}{169}}{\frac{120}{169}} = -\frac{119}{120}$.

Ответ: $\operatorname{ctg}(2\alpha) = -\frac{119}{120}$.

tg2α

Тангенс двойного угла можно найти несколькими способами. Например, как величину, обратную котангенсу двойного угла:

$\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{1}{\operatorname{ctg}(2\alpha)} = \frac{1}{-\frac{119}{120}} = -\frac{120}{119}$.

Другой способ — использовать формулу тангенса двойного угла:

$\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}(\alpha)}{1 - \operatorname{tg}^2(\alpha)}$

Подставим $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{12}{5}$:

$\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{12}{5}}{1 - (\frac{12}{5})^2} = \frac{\frac{24}{5}}{1 - \frac{144}{25}} = \frac{\frac{24}{5}}{\frac{25 - 144}{25}} = \frac{\frac{24}{5}}{-\frac{119}{25}} = \frac{24}{5} \cdot \left(-\frac{25}{119}\right) = -\frac{24 \cdot 5}{119} = -\frac{120}{119}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\operatorname{tg}(2\alpha) = -\frac{120}{119}$.