Вопросы, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Для каких углов $\alpha$ и $\beta$ можно использовать формулы косинуса, синуса и тангенса двойного и половинного углов?

2. Для каких углов $\alpha$ и $\beta$ можно использовать формулы понижения степени?

1. Применимость формул зависит от конкретной тригонометрической функции и вида формулы. Условия для углов $\alpha$ и $\beta$ будут одинаковыми, поэтому рассмотрим их для произвольного угла $\alpha$.

Формулы двойного угла

Формулы для синуса двойного угла, $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, и косинуса двойного угла, $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, можно использовать для любых действительных углов $\alpha$, так как функции $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ определены на всей числовой оси.

Формула для тангенса двойного угла, $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$, имеет ограничения. Она применима, когда одновременно существуют $\tan\alpha$ и $\tan(2\alpha)$. Это накладывает следующие условия: $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $2\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, что равносильно $\alpha \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ (где $k, n$ — любые целые числа).

Формулы половинного угла

Формулы для синуса половинного угла, $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$, и косинуса половинного угла, $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$, можно использовать для любых действительных углов $\alpha$, так как выражение под корнем всегда неотрицательно.

Формулы для тангенса половинного угла имеют ограничения, которые зависят от их конкретного вида:

- Для формул $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}$ и $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$ требуется, чтобы знаменатель $1 + \cos\alpha \neq 0$, то есть $\cos\alpha \neq -1$. Это означает, что $\alpha \neq \pi + 2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).

- Для формулы $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$ требуется, чтобы знаменатель $\sin\alpha \neq 0$. Это означает, что $\alpha \neq \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: Формулы для синуса и косинуса двойного и половинного углов применимы для любых углов. Формулы для тангенса двойного и половинного углов применимы только для тех углов, для которых все входящие в формулу функции определены, а знаменатели не равны нулю.

2. Формулы понижения степени являются следствиями формул косинуса двойного угла. Условия их применимости для углов $\alpha$ и $\beta$ одинаковы, поэтому рассмотрим их для произвольного угла $\alpha$.

Формулы для квадрата синуса, $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$, и квадрата косинуса, $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$, можно использовать для любых действительных углов $\alpha$. Это связано с тем, что функция $\cos(2\alpha)$ в правой части определена для любого угла.

Формула для квадрата тангенса, $\tan^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{1 + \cos(2\alpha)}$, применима только для тех углов $\alpha$, для которых определен $\tan\alpha$. Условием существования $\tan\alpha$ является $\cos\alpha \neq 0$, что равносильно $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это же условие гарантирует, что знаменатель в правой части формулы, $1 + \cos(2\alpha)$, не равен нулю.

Ответ: Формулы понижения степени для синуса и косинуса применимы для любых углов. Формула понижения степени для тангенса применима для всех углов, для которых определен сам тангенс (т.е. $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$).