Страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

18. Какая пара чисел является решением системы $\begin{cases} x^2 - y^2 = -40, \\ x + y = 4: \end{cases}$

A) $(-7; 3);$

B) $(-3; 7);$

C) $(7; -3);$

D) $(-7; -3);$

E) $(7; 3)?$

Чтобы определить, какая пара чисел является решением системы, подставим координаты из каждого варианта в уравнения системы и проверим, выполняются ли равенства.

Система уравнений:

$$\begin{cases}x^2 - y^2 = -40 \\x + y = 4\end{cases}$$

A) Проверка пары $(-7; 3)$.

Подставляем $x = -7$ и $y = 3$ в первое уравнение: $x^2 - y^2 = (-7)^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40$. Результат $40$ не равен $-40$.

Ответ: Не является решением.

B) Проверка пары $(-3; 7)$.

Подставляем $x = -3$ и $y = 7$ в первое уравнение: $x^2 - y^2 = (-3)^2 - 7^2 = 9 - 49 = -40$. Равенство верно.

Подставляем $x = -3$ и $y = 7$ во второе уравнение: $x + y = -3 + 7 = 4$. Равенство верно.

Поскольку оба равенства верны, эта пара является решением системы.

Ответ: Является решением.

C) Проверка пары $(7; -3)$.

Подставляем $x = 7$ и $y = -3$ в первое уравнение: $x^2 - y^2 = 7^2 - (-3)^2 = 49 - 9 = 40$. Результат $40$ не равен $-40$.

Ответ: Не является решением.

D) Проверка пары $(-7; -3)$.

Подставляем $x = -7$ и $y = -3$ в первое уравнение: $x^2 - y^2 = (-7)^2 - (-3)^2 = 49 - 9 = 40$. Результат $40$ не равен $-40$.

Ответ: Не является решением.

E) Проверка пары $(7; 3)$.

Подставляем $x = 7$ и $y = 3$ в первое уравнение: $x^2 - y^2 = 7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40$. Результат $40$ не равен $-40$.

Ответ: Не является решением.

Единственная пара, которая удовлетворяет системе, это $(-3; 7)$, что соответствует варианту B).

19. Пусть $(x_0; y_0)$ — решение системы $\begin{cases} x - 2y = -3, \\ y^2 - 2x = 3. \end{cases}$ Найдите $x_0 + 2y_0$:

A) -1 или 9;

B) 1 или 6;

C) 1 или 9;

D) -1 или 6;

E) 0 или 9.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - 2y = -3, \\ y^2 - 2x = 3. \end{cases} $$

Обозначим решения системы как $(x_0; y_0)$. Нам нужно найти все возможные значения выражения $x_0 + 2y_0$.

Для решения системы используем метод подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения через $y$:

$x = 2y - 3$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$y^2 - 2(2y - 3) = 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 4y + 6 = 3$

$y^2 - 4y + 3 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $y$ с противоположным знаком, то есть 4, а их произведение равно свободному члену, то есть 3. Легко подобрать корни:

$y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Это означает, что система имеет два решения. Найдем значение выражения $x_0 + 2y_0$ для каждого из них.

Случай 1: $y_0 = 1$.

Найдем соответствующее значение $x_0$, подставив $y_0=1$ в выражение $x_0 = 2y_0 - 3$:

$x_0 = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$.

Таким образом, первое решение системы — это пара $(-1; 1)$.

Для этого решения вычислим значение искомого выражения:

$x_0 + 2y_0 = -1 + 2(1) = -1 + 2 = 1$.

Случай 2: $y_0 = 3$.

Найдем соответствующее значение $x_0$, подставив $y_0=3$ в выражение $x_0 = 2y_0 - 3$:

$x_0 = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3$.

Таким образом, второе решение системы — это пара $(3; 3)$.

Для этого решения вычислим значение искомого выражения:

$x_0 + 2y_0 = 3 + 2(3) = 3 + 6 = 9$.

В результате мы получили два возможных значения для выражения $x_0 + 2y_0$: 1 и 9.

Ответ: 1 или 9.

20. Какая из систем не имеет решений:

A) $\begin{cases} x + y = 3 \\ xy = 2 \end{cases}$

B) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 17 \\ xy = 4 \end{cases}$

C) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x + y = 5 \end{cases}$

D) $\begin{cases} x - y = 1 \\ xy = -1 \end{cases}$

E) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 23 \\ xy = 1 \end{cases}$

Для того чтобы определить, какая из предложенных систем уравнений не имеет решений, необходимо проанализировать каждую из них.

A) Рассмотрим систему $\begin{cases} x + y = 3, \\ xy = 2; \end{cases}$. Согласно теореме, обратной теореме Виета, переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив значения из системы, получим уравнение $t^2 - 3t + 2 = 0$. Дискриминант этого уравнения равен $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$. Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, а значит, и система имеет решения.

B) Рассмотрим систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ xy = 4; \end{cases}$. Воспользуемся тождеством сокращенного умножения $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$. Подставим в него известные значения из системы: $(x+y)^2 = 17 + 2 \cdot 4 = 17 + 8 = 25$. Отсюда следует, что $x+y = 5$ или $x+y = -5$. Таким образом, решение исходной системы сводится к решению двух систем:
1) $\begin{cases} x+y = 5, \\ xy = 4; \end{cases}$. Соответствующее этой системе квадратное уравнение $t^2 - 5t + 4 = 0$ имеет дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25-16=9 > 0$, следовательно, есть решения.
2) $\begin{cases} x+y = -5, \\ xy = 4; \end{cases}$. Соответствующее этой системе квадратное уравнение $t^2 + 5t + 4 = 0$ имеет дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25-16=9 > 0$, следовательно, также есть решения.
Значит, исходная система имеет решения.

C) Рассмотрим систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ x + y = 5; \end{cases}$. Возведем второе уравнение системы в квадрат: $(x+y)^2 = 5^2$, что равносильно $x^2 + 2xy + y^2 = 25$. Из первого уравнения нам известно, что $x^2 + y^2 = 13$. Подставим это значение: $13 + 2xy = 25$. Отсюда $2xy = 12$, и $xy = 6$. Теперь исходная система эквивалентна системе $\begin{cases} x+y = 5, \\ xy = 6; \end{cases}$. Переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. Его дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$. Следовательно, система имеет решения.

D) Рассмотрим систему $\begin{cases} x - y = 1, \\ xy = -1; \end{cases}$. Из первого уравнения выразим переменную $x$: $x = y + 1$. Подставим полученное выражение во второе уравнение: $(y+1) \cdot y = -1$. Раскроем скобки и преобразуем уравнение: $y^2 + y = -1$, что равносильно $y^2 + y + 1 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения относительно переменной $y$: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходная система не имеет действительных решений.

E) Рассмотрим систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 23, \\ xy = 1; \end{cases}$. По аналогии с пунктом B), используем тождество $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$. Подставим значения из системы: $(x+y)^2 = 23 + 2 \cdot 1 = 25$. Отсюда $x+y = 5$ или $x+y = -5$. Решение снова сводится к двум системам:
1) $\begin{cases} x+y = 5, \\ xy = 1; \end{cases}$. Квадратное уравнение $t^2 - 5t + 1 = 0$ имеет дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21 > 0$, значит, решения есть.
2) $\begin{cases} x+y = -5, \\ xy = 1; \end{cases}$. Квадратное уравнение $t^2 + 5t + 1 = 0$ имеет дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21 > 0$, значит, решения есть.
Таким образом, исходная система имеет решения.

В результате анализа было установлено, что только система уравнений под буквой D не имеет решений в действительных числах.

Ответ: D

21. Какая пара чисел является решением системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ x + y = -4: \end{cases} $

A) (-1; 3), (3; -1);

B) (-1; -3), (5; 1);

C) (1; 3), (-5; -1);

D) (-1; -3), (-3; -1);

E) (1; -3), (-5; 1)?

Для решения системы уравнений, состоящей из $x^2 + y^2 = 10$ и $x + y = -4$, воспользуемся методом подстановки.

Шаг 1: Выражение одной переменной через другую.
Из второго, более простого, линейного уравнения $x + y = -4$ выразим переменную $y$ через $x$.
$y = -4 - x$.

Шаг 2: Подстановка в первое уравнение.
Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы $x^2 + y^2 = 10$.
$x^2 + (-4 - x)^2 = 10$.

Шаг 3: Решение полученного уравнения.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: $(-a-b)^2 = (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$x^2 + (16 + 8x + x^2) = 10$.
Приводим подобные слагаемые:
$2x^2 + 8x + 16 = 10$.
Переносим 10 в левую часть уравнения:
$2x^2 + 8x + 6 = 0$.
Для удобства разделим все члены уравнения на 2:
$x^2 + 4x + 3 = 0$.

Шаг 4: Нахождение корней квадратного уравнения.
Полученное квадратное уравнение $x^2 + 4x + 3 = 0$ решим по теореме Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким образом, ищем два числа, сумма которых равна $-4$, а произведение равно $3$. Этими числами являются $-1$ и $-3$.
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.

Шаг 5: Нахождение соответствующих значений второй переменной.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя формулу $y = -4 - x$.
Для $x_1 = -1$:
$y_1 = -4 - (-1) = -4 + 1 = -3$.
Первая пара решения: $(-1; -3)$.
Для $x_2 = -3$:
$y_2 = -4 - (-3) = -4 + 3 = -1$.
Вторая пара решения: $(-3; -1)$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(-1; -3)$ и $(-3; -1)$. Этот набор пар соответствует варианту D.

Проверка:
Для пары $(-1; -3)$: $x^2 + y^2 = (-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$; $x + y = -1 + (-3) = -4$. Оба уравнения верны.
Для пары $(-3; -1)$: $x^2 + y^2 = (-3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$; $x + y = -3 + (-1) = -4$. Оба уравнения верны.

Ответ: D) $(-1; -3)$, $(-3; -1);

22. Пусть $ (x_0; y_0) $ — решение системы

$\begin{cases} x + 2y = 4, \\ y^2 + 2x = 5. \end{cases}$

Найдите $ 2x_0 - y_0 $:

A) 0 или 4;

B) 1 или -3;

C) 3 или -7;

D) -3 или 3;

E) 1 или -7.

Для того чтобы найти значения выражения $2x_0 - y_0$, необходимо сначала решить систему уравнений, решением которой является пара $(x_0; y_0)$:

$$ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ y^2 + 2x = 5 \end{cases} $$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 4 - 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$y^2 + 2(4 - 2y) = 5$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2+by+c=0$:

$y^2 + 8 - 4y = 5$

$y^2 - 4y + 8 - 5 = 0$

$y^2 - 4y + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета: произведение корней равно 3, а их сумма равна 4. Этим условиям удовлетворяют числа 1 и 3.

Таким образом, мы получили два возможных значения для $y_0$:

$y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Теперь для каждого значения $y_0$ найдем соответствующее значение $x_0$, используя формулу $x = 4 - 2y$.

1. Если $y_0 = 1$, то $x_0 = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2$. Первое решение системы: $(2; 1)$.

2. Если $y_0 = 3$, то $x_0 = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2$. Второе решение системы: $(-2; 3)$.

Найдите $2x_0 - y_0$

Теперь вычислим значение выражения $2x_0 - y_0$ для каждой из найденных пар $(x_0; y_0)$.

1. Для решения $(2; 1)$:

$2x_0 - y_0 = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$

2. Для решения $(-2; 3)$:

$2x_0 - y_0 = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7$

Таким образом, возможные значения выражения $2x_0 - y_0$ — это 3 и -7. Это соответствует варианту ответа C.

Ответ: C) 3 или -7.

1. Для каких углов $\alpha$ и $\beta$ можно использовать формулы косинуса, синуса и тангенса двойного и половинного углов?

2. Для каких углов $\alpha$ и $\beta$ можно использовать формулы понижения степени?

1. Применимость формул зависит от конкретной тригонометрической функции и вида формулы. Условия для углов $\alpha$ и $\beta$ будут одинаковыми, поэтому рассмотрим их для произвольного угла $\alpha$.

Формулы двойного угла

Формулы для синуса двойного угла, $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, и косинуса двойного угла, $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, можно использовать для любых действительных углов $\alpha$, так как функции $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ определены на всей числовой оси.

Формула для тангенса двойного угла, $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$, имеет ограничения. Она применима, когда одновременно существуют $\tan\alpha$ и $\tan(2\alpha)$. Это накладывает следующие условия: $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $2\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, что равносильно $\alpha \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ (где $k, n$ — любые целые числа).

Формулы половинного угла

Формулы для синуса половинного угла, $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$, и косинуса половинного угла, $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$, можно использовать для любых действительных углов $\alpha$, так как выражение под корнем всегда неотрицательно.

Формулы для тангенса половинного угла имеют ограничения, которые зависят от их конкретного вида:

- Для формул $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}$ и $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$ требуется, чтобы знаменатель $1 + \cos\alpha \neq 0$, то есть $\cos\alpha \neq -1$. Это означает, что $\alpha \neq \pi + 2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).

- Для формулы $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$ требуется, чтобы знаменатель $\sin\alpha \neq 0$. Это означает, что $\alpha \neq \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: Формулы для синуса и косинуса двойного и половинного углов применимы для любых углов. Формулы для тангенса двойного и половинного углов применимы только для тех углов, для которых все входящие в формулу функции определены, а знаменатели не равны нулю.

2. Формулы понижения степени являются следствиями формул косинуса двойного угла. Условия их применимости для углов $\alpha$ и $\beta$ одинаковы, поэтому рассмотрим их для произвольного угла $\alpha$.

Формулы для квадрата синуса, $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$, и квадрата косинуса, $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$, можно использовать для любых действительных углов $\alpha$. Это связано с тем, что функция $\cos(2\alpha)$ в правой части определена для любого угла.

Формула для квадрата тангенса, $\tan^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{1 + \cos(2\alpha)}$, применима только для тех углов $\alpha$, для которых определен $\tan\alpha$. Условием существования $\tan\alpha$ является $\cos\alpha \neq 0$, что равносильно $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это же условие гарантирует, что знаменатель в правой части формулы, $1 + \cos(2\alpha)$, не равен нулю.

Ответ: Формулы понижения степени для синуса и косинуса применимы для любых углов. Формула понижения степени для тангенса применима для всех углов, для которых определен сам тангенс (т.е. $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$).

26.1. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 2x}{2 \cos x};$

2) $\frac{2 \sin^2 x}{\sin 2x};$

3) $\sin^2 x - \cos^2 x;$

4) $\frac{\cos 2x}{\sin x - \cos x};$

5) $\frac{\sin 2\alpha - 2 \sin \alpha}{\cos \alpha - 1};$

6) $\frac{\cos \alpha - \sin 2\alpha}{1 - 2 \sin \alpha};$

7) $\frac{(\sin x - \cos x)^2}{1 - \sin 2x};$

8) $\frac{\cos 2\alpha \cdot \text{tg } 2\alpha}{2 \sin \alpha};$

9) $\frac{2 \cos x \cos 2x}{\text{ctg } 2x}.$

1) Для упрощения выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$.

$\frac{\sin{2x}}{2\cos{x}} = \frac{2\sin{x}\cos{x}}{2\cos{x}}$

Сократим дробь на $2\cos{x}$ (при условии, что $\cos{x} \ne 0$):

$\frac{2\sin{x}\cos{x}}{2\cos{x}} = \sin{x}$

Ответ: $\sin{x}$

2) Снова используем формулу синуса двойного угла: $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$.

$\frac{2\sin^2{x}}{\sin{2x}} = \frac{2\sin^2{x}}{2\sin{x}\cos{x}}$

Сократим дробь на $2\sin{x}$ (при условии, что $\sin{x} \ne 0$):

$\frac{2\sin{x} \cdot \sin{x}}{2\sin{x}\cos{x}} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

По определению тангенса $\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$, поэтому выражение равно $\tan{x}$.

Ответ: $\tan{x}$

3) Вынесем минус за скобки и воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}$.

$\sin^2{x} - \cos^2{x} = -(\cos^2{x} - \sin^2{x}) = -\cos{2x}$

Ответ: $-\cos{2x}$

4) В числителе применим формулу косинуса двойного угла $\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}$, а затем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{\cos{2x}}{\sin{x} - \cos{x}} = \frac{\cos^2{x} - \sin^2{x}}{\sin{x} - \cos{x}} = \frac{(\cos{x} - \sin{x})(\cos{x} + \sin{x})}{-(\cos{x} - \sin{x})}$

Сократим дробь на $(\cos{x} - \sin{x})$ (при условии, что $\cos{x} - \sin{x} \ne 0$):

$\frac{(\cos{x} - \sin{x})(\cos{x} + \sin{x})}{-(\cos{x} - \sin{x})} = -(\cos{x} + \sin{x})$

Ответ: $-(\sin{x} + \cos{x})$

5) В числителе применим формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ и вынесем общий множитель за скобки.

$\frac{\sin{2\alpha} - 2\sin{\alpha}}{\cos{\alpha} - 1} = \frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha} - 2\sin{\alpha}}{\cos{\alpha} - 1} = \frac{2\sin{\alpha}(\cos{\alpha} - 1)}{\cos{\alpha} - 1}$

Сократим дробь на $(\cos{\alpha} - 1)$ (при условии, что $\cos{\alpha} \ne 1$):

$\frac{2\sin{\alpha}(\cos{\alpha} - 1)}{\cos{\alpha} - 1} = 2\sin{\alpha}$

Ответ: $2\sin{\alpha}$

6) В числителе применим формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ и вынесем общий множитель за скобки.

$\frac{\cos{\alpha} - \sin{2\alpha}}{1 - 2\sin{\alpha}} = \frac{\cos{\alpha} - 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{1 - 2\sin{\alpha}} = \frac{\cos{\alpha}(1 - 2\sin{\alpha})}{1 - 2\sin{\alpha}}$

Сократим дробь на $(1 - 2\sin{\alpha})$ (при условии, что $1 - 2\sin{\alpha} \ne 0$):

$\frac{\cos{\alpha}(1 - 2\sin{\alpha})}{1 - 2\sin{\alpha}} = \cos{\alpha}$

Ответ: $\cos{\alpha}$

7) Раскроем квадрат разности в числителе. В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2{x} + \cos^2{x}$ и формулу синуса двойного угла $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$.

$(\sin{x} - \cos{x})^2 = \sin^2{x} - 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x} = (\sin^2{x} + \cos^2{x}) - 2\sin{x}\cos{x} = 1 - \sin{2x}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{(\sin{x} - \cos{x})^2}{1 - \sin{2x}} = \frac{1 - \sin{2x}}{1 - \sin{2x}} = 1$ (при условии, что $1 - \sin{2x} \ne 0$).

Ответ: $1$

8) Используем определение тангенса $\tan{2\alpha} = \frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}$ и формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$.

$\frac{\cos{2\alpha} \cdot \tan{2\alpha}}{2\sin{\alpha}} = \frac{\cos{2\alpha} \cdot \frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}}{2\sin{\alpha}} = \frac{\sin{2\alpha}}{2\sin{\alpha}}$

Подставим формулу двойного угла:

$\frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{2\sin{\alpha}} = \cos{\alpha}$ (при условии, что $\cos{2\alpha} \ne 0$ и $\sin{\alpha} \ne 0$).

Ответ: $\cos{\alpha}$

9) Используем определение котангенса $\text{ctg}{2x} = \frac{\cos{2x}}{\sin{2x}}$.

$\frac{2\cos{x}\cos{2x}}{\text{ctg}{2x}} = \frac{2\cos{x}\cos{2x}}{\frac{\cos{2x}}{\sin{2x}}} = 2\cos{x}\cos{2x} \cdot \frac{\sin{2x}}{\cos{2x}}$

Сократим на $\cos{2x}$ (при условии, что $\cos{2x} \ne 0$):

$2\cos{x}\sin{2x}$

Для дальнейшего упрощения применим формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $2\cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)$.

$2\cos{x}\sin{2x} = \sin(x+2x) - \sin(x-2x) = \sin(3x) - \sin(-x)$

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-x) = -\sin{x}$.

$\sin(3x) - (-\sin{x}) = \sin(3x) + \sin{x}$

Ответ: $\sin(3x) + \sin{x}$