Страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

6.25. В таблице 4 представлены результаты бега на дистанции 200 м среди юношей в возрасте 17 лет.

Таблица 4

1) Сколько юношей в возрасте 17 лет участвовало в соревновании?

2) У скольких юношей показатели от 28 с до 31 с?

3) Сколько юношей имеют результаты не более 29 с?

Для решения задачи воспользуемся данными из таблицы, представленной в условии.

1) Сколько юношей в возрасте 17 лет участвовало в соревновании?

Чтобы определить общее число участников соревнования, необходимо сложить количество юношей из всех представленных в таблице интервалов результатов.
Суммируем значения из второй строки таблицы:
$2 + 7 + 8 + 10 + 3 = 30$
Таким образом, в соревновании участвовало 30 юношей.
Ответ: 30.

2) У скольких юношей показатели от 28 с до 31 с?

Чтобы найти количество юношей с результатами в диапазоне от 28 до 31 секунды, нужно сложить число участников из соответствующих интервалов: "28–29" и "30–31".
Из таблицы видно, что:
- в интервале "28–29" — 8 юношей;
- в интервале "30–31" — 10 юношей.
Складываем эти значения:
$8 + 10 = 18$
Следовательно, у 18 юношей результаты находятся в указанном диапазоне.
Ответ: 18.

3) Сколько юношей имеют результаты не более 29 с?

Формулировка "результаты не более 29 с" означает, что время забега меньше или равно 29 секундам. Для нахождения этого количества нужно сложить число юношей из интервалов, которые полностью входят в этот диапазон: "24–25", "26–27" и "28–29".
- Интервал "24–25": 2 юноши.
- Интервал "26–27": 7 юношей.
- Интервал "28–29": 8 юношей.
Суммируем количество юношей из этих трех групп:
$2 + 7 + 8 = 17$
Значит, 17 юношей показали результат не более 29 секунд.
Ответ: 17.

6.26. Если составлять двузначные числа, используя только цифры 0, 5 и 6, то сколько двузначных чисел можно составить?

6.26. Чтобы определить, сколько двузначных чисел можно составить из предложенных цифр (0, 5, 6), нужно рассмотреть количество возможных вариантов для каждой из двух позиций в числе: позиции десятков и позиции единиц.

Двузначное число состоит из двух цифр.

Выбор первой цифры (разряд десятков):
Первая цифра в двузначном числе не может быть нулём, так как в этом случае число будет считаться однозначным (например, 05 — это то же самое, что и 5). Поэтому на позицию десятков можно поставить только цифры 5 или 6. Это даёт нам 2 возможных варианта.

Выбор второй цифры (разряд единиц):
На позицию единиц можно поставить любую из трёх данных цифр: 0, 5 или 6. Здесь ограничений нет. Это даёт нам 3 возможных варианта.

Чтобы найти общее количество возможных двузначных чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции (согласно комбинаторному правилу умножения).

Число возможных комбинаций = (количество вариантов для первой цифры) × (количество вариантов для второй цифры).

Таким образом, мы можем составить $2 \times 3 = 6$ двузначных чисел.

Для проверки можно перечислить все эти числа:

- С цифрой 5 на месте десятков: 50, 55, 56.
- С цифрой 6 на месте десятков: 60, 65, 66.

Всего получилось 6 чисел.

Ответ: можно составить 6 двузначных чисел.

25.20. Упростите выражение:

1) $\sin\beta + \cos\beta + \sqrt{2} \sin(45^\circ - \beta)$;

2) $\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta + 2\cos(\beta - 30^\circ).$

1) Упростим выражение $ \sin\beta + \cos\beta + \sqrt{2}\sin(45^\circ - \beta) $.
Для этого воспользуемся формулой синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $.
Применим эту формулу к члену $ \sqrt{2}\sin(45^\circ - \beta) $.
$ \sin(45^\circ - \beta) = \sin(45^\circ)\cos\beta - \cos(45^\circ)\sin\beta $
Так как $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, мы можем подставить эти значения в формулу:
$ \sin(45^\circ - \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\beta - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\beta $
Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$ \sin\beta + \cos\beta + \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\beta - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\beta\right) $
Раскроем скобки, умножив $ \sqrt{2} $ на каждый член в скобках:
$ \sin\beta + \cos\beta + \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}\cos\beta - \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}\sin\beta $
$ \sin\beta + \cos\beta + \frac{2}{2}\cos\beta - \frac{2}{2}\sin\beta $
$ \sin\beta + \cos\beta + \cos\beta - \sin\beta $
Приведем подобные слагаемые:
$ (\sin\beta - \sin\beta) + (\cos\beta + \cos\beta) = 0 + 2\cos\beta = 2\cos\beta $
Ответ: $ 2\cos\beta $.

2) Упростим выражение $ \sqrt{3}\cos\beta + \sin\beta + 2\cos(\beta - 30^\circ) $.
Рассмотрим первую часть выражения: $ \sqrt{3}\cos\beta + \sin\beta $. Преобразуем ее, применив метод вспомогательного угла. Вынесем $ 2 $ за скобки:
$ \sqrt{3}\cos\beta + \sin\beta = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\beta + \frac{1}{2}\sin\beta\right) $
Мы знаем табличные значения тригонометрических функций: $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $. Заменим дроби в скобках:
$ 2(\cos(30^\circ)\cos\beta + \sin(30^\circ)\sin\beta) $
Выражение в скобках соответствует формуле косинуса разности: $ \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha - \beta) $. В нашем случае $ \alpha = \beta $ и $ \beta = 30^\circ $, поэтому выражение можно записать как $ \cos(\beta - 30^\circ) $.
Таким образом, $ \sqrt{3}\cos\beta + \sin\beta = 2\cos(\beta - 30^\circ) $.
Теперь подставим это преобразование в исходное выражение:
$ 2\cos(\beta - 30^\circ) + 2\cos(\beta - 30^\circ) $
Сложив два одинаковых члена, получаем:
$ 4\cos(\beta - 30^\circ) $
Ответ: $ 4\cos(\beta - 30^\circ) $.

25.21. Докажите тождество:

1) $\frac{\operatorname{tg} 5 \beta - \operatorname{tg} 3 \beta}{1 + \operatorname{tg} 5 \beta \cdot \operatorname{tg} 3 \beta} = \operatorname{tg} 2 \beta;$

2) $\frac{\operatorname{tg}^2 3 \beta - \operatorname{tg}^2 \beta}{1 - \operatorname{tg}^2 3 \beta \cdot \operatorname{tg}^2 \beta} = \operatorname{tg} 2 \beta \cdot \operatorname{tg} 4 \beta.$

1) Для доказательства данного тождества необходимо использовать формулу тангенса разности двух углов, которая имеет вид:

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

Рассмотрим левую часть доказываемого тождества:

$ \frac{\tg{5\beta} - \tg{3\beta}}{1 + \tg{5\beta} \cdot \tg{3\beta}} $

Данное выражение полностью соответствует правой части формулы тангенса разности, если принять $ \alpha = 5\beta $ и в качестве второго угла взять $ 3\beta $.

Применив формулу, "свернем" выражение:

$ \frac{\tg{5\beta} - \tg{3\beta}}{1 + \tg{5\beta} \cdot \tg{3\beta}} = \tg(5\beta - 3\beta) = \tg(2\beta) $

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства второго тождества преобразуем его левую часть. Заметим, что и в числителе, и в знаменателе дроби используется формула разности квадратов: $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $.

Левая часть тождества:

$ \frac{\tg^2{3\beta} - \tg^2{\beta}}{1 - \tg^2{3\beta} \cdot \tg^2{\beta}} $

Применим формулу разности квадратов к числителю и знаменателю. В знаменателе $ a = 1 $, $ b = \tg{3\beta} \cdot \tg{\beta} $.

$ \frac{(\tg{3\beta} - \tg{\beta})(\tg{3\beta} + \tg{\beta})}{(1 - \tg{3\beta}\tg{\beta})(1 + \tg{3\beta}\tg{\beta})} $

Перегруппируем множители, чтобы получить выражения, похожие на формулы тангенса суммы и разности:

$ \left( \frac{\tg{3\beta} - \tg{\beta}}{1 + \tg{3\beta}\tg{\beta}} \right) \cdot \left( \frac{\tg{3\beta} + \tg{\beta}}{1 - \tg{3\beta}\tg{\beta}} \right) $

Теперь воспользуемся формулами тангенса разности и суммы углов:

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

Применяя эти формулы к нашим множителям, получаем:

Первый множитель: $ \frac{\tg{3\beta} - \tg{\beta}}{1 + \tg{3\beta}\tg{\beta}} = \tg(3\beta - \beta) = \tg(2\beta) $

Второй множитель: $ \frac{\tg{3\beta} + \tg{\beta}}{1 - \tg{3\beta}\tg{\beta}} = \tg(3\beta + \beta) = \tg(4\beta) $

Перемножив результаты, получаем выражение, стоящее в правой части исходного тождества:

$ \tg(2\beta) \cdot \tg(4\beta) $

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.