Страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

6.1. Изобразите штриховкой на координатной плоскости множество точек, заданных системой неравенств:

1)

$\begin{cases} y - x < 0, \\ 2x + y \le 0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} y - 2x < 0, \\ 3x + y \le 3; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 2y - x > 0, \\ 2x - y \le 0; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} y - 3x + 1 \ge 0, \\ x + 2y \le 6. \end{cases}$

$(2x + y + 4 > 0.$

1)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} y - x < 0 \\ 2x + y \le 0 \end{cases} $

Преобразуем каждое неравенство, выразив $y$ через $x$:
1. $y - x < 0 \implies y < x$.
Это неравенство задает полуплоскость, расположенную ниже прямой $y=x$. Граница $y=x$ является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Так как неравенство строгое, граница изображается пунктирной линией.

2. $2x + y \le 0 \implies y \le -2x$.
Это неравенство задает полуплоскость, расположенную ниже прямой $y=-2x$. Прямая $y=-2x$ проходит через начало координат и точку $(1, -2)$. Так как неравенство нестрогое, граница изображается сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Это область, которая находится одновременно ниже прямой $y=x$ и ниже прямой $y=-2x$.

Изобразим это на координатной плоскости:

Ответ: Решением системы является угловая область с вершиной в точке $(0,0)$, ограниченная сверху пунктирной линией $y=x$ (не включая точки на ней) и сплошной линией $y=-2x$ (включая точки на ней), как показано штриховкой на рисунке.

2)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} y - 2x < 0 \\ 3x + y \le 3 \end{cases} $

Преобразуем каждое неравенство, выразив $y$ через $x$:
1. $y - 2x < 0 \implies y < 2x$.
Это полуплоскость ниже прямой $y=2x$. Прямая проходит через начало координат и точку $(1, 2)$. Неравенство строгое, поэтому граница изображается пунктирной линией.

2. $3x + y \le 3 \implies y \le -3x + 3$.
Это полуплоскость ниже прямой $y=-3x+3$. Прямая пересекает оси в точках $(1, 0)$ и $(0, 3)$. Неравенство нестрогое, поэтому граница изображается сплошной линией.

Найдем точку пересечения граничных прямых:
$2x = -3x + 3 \implies 5x = 3 \implies x = 3/5 = 0.6$.
$y = 2x = 2(0.6) = 1.2$.
Точка пересечения: $(0.6, 1.2)$.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей, то есть область, расположенная одновременно ниже обеих прямых.

Изобразим это на координатной плоскости:

Ответ: Решением является угловая область с вершиной в точке $(0.6, 1.2)$, расположенная ниже пунктирной линии $y=2x$ и сплошной линии $y=-3x+3$, как показано штриховкой.

3)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} 2y - x > 0 \\ 2x - y \le 0 \end{cases} $

Преобразуем каждое неравенство, выразив $y$ через $x$:
1. $2y - x > 0 \implies 2y > x \implies y > \frac{1}{2}x$.
Это полуплоскость выше прямой $y = \frac{1}{2}x$. Прямая проходит через начало координат и точку $(2, 1)$. Неравенство строгое, граница пунктирная.

2. $2x - y \le 0 \implies 2x \le y \implies y \ge 2x$.
Это полуплоскость выше прямой $y=2x$. Прямая проходит через начало координат и точку $(1, 2)$. Неравенство нестрогое, граница сплошная.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей — область, расположенная одновременно выше прямой $y = \frac{1}{2}x$ и выше прямой $y=2x$. Обе прямые проходят через начало координат.

Изобразим это на координатной плоскости:

Ответ: Решением является угловая область с вершиной в точке $(0,0)$, ограниченная снизу пунктирной линией $y=\frac{1}{2}x$ и сплошной линией $y=2x$. Заштрихованная область находится между этими двумя прямыми в первом и втором квадрантах.

4)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} y - 3x + 1 > 0 \\ x + 2y \le 6 \end{cases} $

Преобразуем каждое неравенство, выразив $y$ через $x$:
1. $y - 3x + 1 > 0 \implies y > 3x - 1$.
Это полуплоскость выше прямой $y=3x-1$. Прямая проходит через точки $(0, -1)$ и $(1, 2)$. Неравенство строгое, граница пунктирная.

2. $x + 2y \le 6 \implies 2y \le -x + 6 \implies y \le -\frac{1}{2}x + 3$.
Это полуплоскость ниже прямой $y = -\frac{1}{2}x + 3$. Прямая проходит через точки $(0, 3)$ и $(6, 0)$. Неравенство нестрогое, граница сплошная.

Найдем точку пересечения граничных прямых:
$3x - 1 = -\frac{1}{2}x + 3 \implies 6x - 2 = -x + 6 \implies 7x = 8 \implies x = 8/7$.
$y = 3(8/7) - 1 = 24/7 - 7/7 = 17/7$.
Точка пересечения: $(8/7, 17/7) \approx (1.14, 2.43)$.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей, то есть область, расположенная выше прямой $y=3x-1$ и ниже прямой $y = -\frac{1}{2}x + 3$.

Изобразим это на координатной плоскости:

Ответ: Решением является угловая область с вершиной в точке $(8/7, 17/7)$, ограниченная сверху сплошной линией $y = -\frac{1}{2}x + 3$ и снизу пунктирной линией $y=3x-1$. Заштрихованная область на рисунке показывает это множество точек.

6.2. Является ли решением системы неравенств

$\begin{cases} 2x + y + 4 > 0, \\ y - 2 \ge x^2 \end{cases}$

пара значений переменных $x$ и $y$:

1) $(2; -1);$ 2) $(1; 6);$ 3) $(-4; 7);$ 4) $(0; 4)?$

Для того чтобы пара значений $(x; y)$ была решением системы неравенств, она должна удовлетворять каждому неравенству этой системы. Проверим каждую из предложенных пар.

Исходная система неравенств:

$ \begin{cases} 2x + y + 4 > 0, \\ y - 2 \ge x^2 \end{cases} $

1) (2; –1)

Подставляем $x = 2$ и $y = -1$ в оба неравенства системы:

$ \begin{cases} 2(2) + (-1) + 4 > 0 \\ -1 - 2 \ge 2^2 \end{cases} $

Выполняем вычисления:

$ \begin{cases} 4 - 1 + 4 > 0 \\ -3 \ge 4 \end{cases} $

$ \begin{cases} 7 > 0 & \text{(верно)} \\ -3 \ge 4 & \text{(неверно)} \end{cases} $

Поскольку второе неравенство не выполняется, данная пара значений не является решением системы.

Ответ: не является.

2) (1; 6)

Подставляем $x = 1$ и $y = 6$ в оба неравенства системы:

$ \begin{cases} 2(1) + 6 + 4 > 0 \\ 6 - 2 \ge 1^2 \end{cases} $

Выполняем вычисления:

$ \begin{cases} 2 + 6 + 4 > 0 \\ 4 \ge 1 \end{cases} $

$ \begin{cases} 12 > 0 & \text{(верно)} \\ 4 \ge 1 & \text{(верно)} \end{cases} $

Поскольку оба неравенства выполняются, данная пара значений является решением системы.

Ответ: является.

3) (–4; 7)

Подставляем $x = -4$ и $y = 7$ в оба неравенства системы:

$ \begin{cases} 2(-4) + 7 + 4 > 0 \\ 7 - 2 \ge (-4)^2 \end{cases} $

Выполняем вычисления:

$ \begin{cases} -8 + 7 + 4 > 0 \\ 5 \ge 16 \end{cases} $

$ \begin{cases} 3 > 0 & \text{(верно)} \\ 5 \ge 16 & \text{(неверно)} \end{cases} $

Поскольку второе неравенство не выполняется, данная пара значений не является решением системы.

Ответ: не является.

4) (0; 4)

Подставляем $x = 0$ и $y = 4$ в оба неравенства системы:

$ \begin{cases} 2(0) + 4 + 4 > 0 \\ 4 - 2 \ge 0^2 \end{cases} $

Выполняем вычисления:

$ \begin{cases} 0 + 4 + 4 > 0 \\ 2 \ge 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} 8 > 0 & \text{(верно)} \\ 2 \ge 0 & \text{(верно)} \end{cases} $

Поскольку оба неравенства выполняются, данная пара значений является решением системы.

Ответ: является.

6.3. На координатной плоскости покажите штриховкой множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

1) $ \begin{cases} 3x - y - 1 < 0, \\ y < 3 - x^2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x - y - 2 < 0, \\ y < 4,5 - x^2; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x - y + 4 > 0, \\ y \ge x^2 - 1; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 2x - y + 3 > 0, \\ y \le x^2 + 2. \end{cases} $

1)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x - y - 1 < 0 \\ y < 3 - x^2 \end{cases} $.
Первое неравенство $3x - y - 1 < 0$ можно переписать в виде $y > 3x - 1$. Это множество точек, расположенных выше прямой $y = 3x - 1$. Так как неравенство строгое, сама прямая не включается в решение и изображается пунктирной линией.
Второе неравенство $y < 3 - x^2$ задает множество точек, расположенных ниже параболы $y = 3 - x^2$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 3)$. Так как неравенство строгое, парабола также изображается пунктирной линией.
Решением системы является пересечение этих двух областей, то есть множество точек, которые находятся одновременно выше прямой и ниже параболы. Найдем точки пересечения границы областей, решив систему уравнений:
$y = 3x - 1$
$y = 3 - x^2$
$3x - 1 = 3 - x^2 \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0$.
Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$. Соответствующие значения $y$: $y_1 = 2$ и $y_2 = -13$. Точки пересечения: $(1, 2)$ и $(-4, -13)$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, ограниченная снизу прямой $y = 3x - 1$ и сверху параболой $y = 3 - x^2$. Границы не включаются в область. На рисунке эта область заштрихована.

2)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x - y - 2 < 0 \\ y < 4.5 - x^2 \end{cases} $.
Первое неравенство $x - y - 2 < 0$ эквивалентно $y > x - 2$. Это множество точек выше прямой $y = x - 2$. Прямая изображается пунктиром, так как неравенство строгое.
Второе неравенство $y < 4.5 - x^2$ задает множество точек ниже параболы $y = 4.5 - x^2$. Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(0, 4.5)$. Парабола также изображается пунктиром.
Решение системы — это пересечение указанных областей, то есть область между прямой и параболой. Найдем точки их пересечения:
$x - 2 = 4.5 - x^2 \Rightarrow x^2 + x - 6.5 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 13 = 0$.
Корни: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-13)}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{108}}{4} = \frac{-1 \pm 3\sqrt{3}}{2}$.
Приближенные значения точек пересечения: $(-3.1, -5.1)$ и $(2.1, 0.1)$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, ограниченная снизу прямой $y = x - 2$ и сверху параболой $y = 4.5 - x^2$. Границы не включаются в область. На рисунке эта область заштрихована.

3)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} x - y + 4 > 0 \\ y \ge x^2 - 1 \end{cases} $.
Первое неравенство $x - y + 4 > 0$ можно переписать как $y < x + 4$. Это множество точек ниже прямой $y = x + 4$. Прямая изображается пунктиром (строгое неравенство).
Второе неравенство $y \ge x^2 - 1$ задает множество точек на параболе $y = x^2 - 1$ и выше нее. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, -1)$. Парабола изображается сплошной линией (нестрогое неравенство).
Решением является пересечение этих областей. Найдем точки пересечения границ:
$x + 4 = x^2 - 1 \Rightarrow x^2 - x - 5 = 0$.
Корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Приближенные значения точек пересечения: $(-1.79, 2.21)$ и $(2.79, 6.79)$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, ограниченная снизу параболой $y = x^2 - 1$ и сверху прямой $y = x + 4$. Граница, проходящая по параболе, включается в область, а граница, проходящая по прямой, — нет. На рисунке эта область заштрихована.

4)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x - y + 3 > 0 \\ y \le x^2 + 2 \end{cases} $.
Первое неравенство $2x - y + 3 > 0$ переписывается как $y < 2x + 3$. Это множество точек ниже прямой $y = 2x + 3$. Прямая изображается пунктиром (строгое неравенство).
Второе неравенство $y \le x^2 + 2$ задает множество точек на параболе $y = x^2 + 2$ и ниже нее. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, 2)$. Парабола изображается сплошной линией (нестрогое неравенство).
Решением системы является пересечение этих двух областей, то есть множество точек, которые находятся одновременно и ниже прямой, и ниже параболы. Такая область ограничена сверху "нижней" из двух границ. Найдем точки пересечения границ:
$2x + 3 = x^2 + 2 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0$.
Корни: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Приближенные значения точек пересечения: $(-0.41, 2.18)$ и $(2.41, 7.82)$.

Ответ: Искомое множество точек — это область, расположенная одновременно ниже прямой $y = 2x+3$ и ниже (включая границу) параболы $y = x^2+2$. Верхняя граница этой области состоит из частей прямой (пунктирные участки) и параболы (сплошной участок). На рисунке эта область заштрихована.

6.4. Задайте системой неравенств множество точек:

1) I четверть;

2) II четверть;

3) III четверть;

4) IV четверть

координатной плоскости.

Координатная плоскость делится осями координат $Ox$ и $Oy$ на четыре области, называемые координатными четвертями (или квадрантами). Нумерация четвертей производится против часовой стрелки, начиная с верхней правой. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) по определению не принадлежат ни одной из четвертей. Положение любой точки на плоскости определяется парой ее координат $(x; y)$. Знак каждой из координат зависит от того, в какой четверти расположена точка.

1) I четверть

Первая координатная четверть (I) — это область, расположенная вверху и справа от начала координат. Все точки, лежащие в этой четверти, имеют положительную абсциссу (координату $x$) и положительную ординату (координату $y$). Это можно записать в виде системы из двух строгих неравенств, которые должны выполняться одновременно. Строгие неравенства ($>$ и $<$) используются потому, что точки, лежащие на осях координат, не принадлежат ни одной из четвертей.

Ответ: $\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases}$

2) II четверть

Вторая координатная четверть (II) находится вверху и слева от начала координат. Для всех точек в этой области абсцисса (координата $x$) является отрицательной, а ордината (координата $y$) — положительной. Таким образом, множество точек второй четверти описывается следующей системой неравенств.

Ответ: $\begin{cases} x < 0 \\ y > 0 \end{cases}$

3) III четверть

Третья координатная четверть (III) расположена внизу и слева от начала координат. Любая точка в этой четверти имеет и отрицательную абсциссу (координату $x$), и отрицательную ординату (координату $y$). Это соответствует системе из двух неравенств.

Ответ: $\begin{cases} x < 0 \\ y < 0 \end{cases}$

4) IV четверть

Четвертая координатная четверть (IV) находится внизу и справа от начала координат. Точки в этой области характеризуются положительной абсциссой (координатой $x$) и отрицательной ординатой (координатой $y$). Множество этих точек задается системой неравенств.

Ответ: $\begin{cases} x > 0 \\ y < 0 \end{cases}$

6.5. Начертите на координатной плоскости прямоугольник, заданный системой неравенств, и найдите его площадь:

1) $\begin{cases} -2 \le y \le 3, \\ -1 \le x \le 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} -3 \le y \le 4, \\ -2 \le x \le 5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} -2 \le y \le 0, \\ 1 \le x \le 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2.1 \le y \le 3, \\ 1.2 \le x \le 3.5. \end{cases}$

Задача состоит в том, чтобы для каждой системы неравенств начертить на координатной плоскости соответствующий ей прямоугольник и найти его площадь.

1) Дана система неравенств: $\begin{cases} -2 \le y \le 3, \\ -1 \le x \le 3; \end{cases}$

Эта система задает на координатной плоскости прямоугольник. Неравенство $-1 \le x \le 3$ означает, что все точки фигуры лежат в полосе между вертикальными прямыми $x = -1$ и $x = 3$. Неравенство $-2 \le y \le 3$ означает, что все точки фигуры лежат в полосе между горизонтальными прямыми $y = -2$ и $y = 3$.

Пересечение этих двух полос и образует искомый прямоугольник. Его вершины находятся в точках пересечения этих прямых и имеют координаты: $(-1, -2)$, $(3, -2)$, $(3, 3)$ и $(-1, 3)$.

Найдем длины сторон прямоугольника. Стороны прямоугольника параллельны осям координат.

Длина стороны, параллельной оси X, равна разности максимальной и минимальной абсцисс: $a = 3 - (-1) = 4$.

Длина стороны, параллельной оси Y, равна разности максимальной и минимальной ординат: $b = 3 - (-2) = 5$.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

$S = 4 \cdot 5 = 20$ квадратных единиц.

Изображение прямоугольника на координатной плоскости:

Ответ: Площадь прямоугольника равна 20.

2) Дана система неравенств: $\begin{cases} -3 \le y \le 4, \\ -2 \le x \le 5; \end{cases}$

Неравенство $-2 \le x \le 5$ задает полосу, ограниченную вертикальными прямыми $x = -2$ и $x = 5$. Неравенство $-3 \le y \le 4$ задает полосу, ограниченную горизонтальными прямыми $y = -3$ и $y = 4$.

Прямоугольник, определяемый системой, имеет вершины в точках: $(-2, -3)$, $(5, -3)$, $(5, 4)$ и $(-2, 4)$.

Длина стороны, параллельной оси X: $a = 5 - (-2) = 7$.

Длина стороны, параллельной оси Y: $b = 4 - (-3) = 7$.

Площадь прямоугольника (в данном случае квадрата): $S = a \cdot b = 7 \cdot 7 = 49$ квадратных единиц.

Изображение прямоугольника на координатной плоскости:

Ответ: Площадь прямоугольника равна 49.

3) Дана система неравенств: $\begin{cases} -2 \le y \le 0, \\ 1 \le x \le 3; \end{cases}$

Прямоугольник ограничен вертикальными прямыми $x = 1$ и $x = 3$, и горизонтальными прямыми $y = -2$ и $y = 0$ (ось абсцисс).

Вершины прямоугольника имеют координаты: $(1, -2)$, $(3, -2)$, $(3, 0)$ и $(1, 0)$.

Длина стороны, параллельной оси X: $a = 3 - 1 = 2$.

Длина стороны, параллельной оси Y: $b = 0 - (-2) = 2$.

Площадь прямоугольника (квадрата): $S = a \cdot b = 2 \cdot 2 = 4$ квадратные единицы.

Изображение прямоугольника на координатной плоскости:

Ответ: Площадь прямоугольника равна 4.

4) Дана система неравенств: $\begin{cases} 2.1 \le y \le 3, \\ 1.2 \le x \le 3.5; \end{cases}$

Прямоугольник ограничен вертикальными прямыми $x = 1.2$ и $x = 3.5$, и горизонтальными прямыми $y = 2.1$ и $y = 3$.

Вершины прямоугольника имеют координаты: $(1.2, 2.1)$, $(3.5, 2.1)$, $(3.5, 3)$ и $(1.2, 3)$.

Длина стороны, параллельной оси X: $a = 3.5 - 1.2 = 2.3$.

Длина стороны, параллельной оси Y: $b = 3 - 2.1 = 0.9$.

Площадь прямоугольника: $S = a \cdot b = 2.3 \cdot 0.9 = 2.07$ квадратных единиц.

Изображение прямоугольника на координатной плоскости:

Ответ: Площадь прямоугольника равна 2,07.

6.6. Покажите, что является прямоугольником четырехугольник, заданный системой неравенств:

1) $\begin{cases} 0 \le x - y \le 3, \\ -1 \le x + y \le 3; \end{cases}$2) $\begin{cases} 0 \le x - y \le 5, \\ -2 \le x + y \le 5; \end{cases}$3) $\begin{cases} 0 \le 2x - y \le 4, \\ -1 \le 0,5x + y \le 2. \end{cases}$

Для того чтобы доказать, что четырехугольник является прямоугольником, достаточно показать, что он является параллелограммом с прямым углом. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Прямой угол означает, что смежные стороны перпендикулярны.

Две прямые $A_1x + B_1y = C_1$ и $A_2x + B_2y = C_2$ параллельны, если их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$ коллинеарны (т.е. их координаты пропорциональны). Они перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

1)

Рассмотрим систему неравенств $ \begin{cases} 0 \le x - y \le 3, \\ -1 \le x + y \le 3 \end{cases} $. Эта система задает область, ограниченную четырьмя прямыми, которые являются сторонами четырехугольника:

$L_1: x - y = 0$

$L_2: x - y = 3$

$L_3: x + y = -1$

$L_4: x + y = 3$

Найдем нормальные векторы для этих прямых:

Для $L_1: \vec{n_1} = (1, -1)$

Для $L_2: \vec{n_2} = (1, -1)$

Для $L_3: \vec{n_3} = (1, 1)$

Для $L_4: \vec{n_4} = (1, 1)$

Поскольку $\vec{n_1} = \vec{n_2}$, прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны. Поскольку $\vec{n_3} = \vec{n_4}$, прямые $L_3$ и $L_4$ параллельны. Таким образом, четырехугольник является параллелограммом.

Проверим перпендикулярность смежных сторон. Возьмем, к примеру, стороны, лежащие на прямых $L_1$ и $L_3$. Найдем скалярное произведение их нормальных векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_3}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_3} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 1 - 1 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, прямые $L_1$ и $L_3$ перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм имеет прямой угол, а значит, является прямоугольником.

Ответ: Четырехугольник, заданный системой неравенств, является прямоугольником, так как он ограничен двумя парами параллельных прямых, причем прямые из разных пар перпендикулярны друг другу.

2)

Рассмотрим систему неравенств $ \begin{cases} 0 \le x - y \le 5, \\ -2 \le x + y \le 5 \end{cases} $. Эта система задает четырехугольник, стороны которого лежат на прямых:

$L_1: x - y = 0$

$L_2: x - y = 5$

$L_3: x + y = -2$

$L_4: x + y = 5$

Нормальные векторы для этих прямых:

Для $L_1: \vec{n_1} = (1, -1)$

Для $L_2: \vec{n_2} = (1, -1)$

Для $L_3: \vec{n_3} = (1, 1)$

Для $L_4: \vec{n_4} = (1, 1)$

Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны, так как их нормальные векторы равны. Прямые $L_3$ и $L_4$ также параллельны по той же причине. Значит, фигура является параллелограммом.

Проверим перпендикулярность смежных сторон, например, лежащих на прямых $L_1$ и $L_3$. Скалярное произведение их нормальных векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_3} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 1 - 1 = 0$.

Скалярное произведение равно нулю, значит, прямые перпендикулярны. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Ответ: Заданный четырехугольник является прямоугольником, так как его стороны попарно параллельны и смежные стороны перпендикулярны.

3)

Рассмотрим систему неравенств $ \begin{cases} 0 \le 2x - y \le 4, \\ -1 \le 0.5x + y \le 2 \end{cases} $. Эта система определяет четырехугольник, ограниченный прямыми:

$L_1: 2x - y = 0$

$L_2: 2x - y = 4$

$L_3: 0.5x + y = -1$

$L_4: 0.5x + y = 2$

Найдем нормальные векторы для каждой прямой:

Для $L_1: \vec{n_1} = (2, -1)$

Для $L_2: \vec{n_2} = (2, -1)$

Для $L_3: \vec{n_3} = (0.5, 1)$

Для $L_4: \vec{n_4} = (0.5, 1)$

Так как $\vec{n_1} = \vec{n_2}$, прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны. Так как $\vec{n_3} = \vec{n_4}$, прямые $L_3$ и $L_4$ параллельны. Следовательно, четырехугольник является параллелограммом.

Проверим перпендикулярность смежных сторон, взяв прямые $L_1$ и $L_3$. Найдем скалярное произведение их нормальных векторов $\vec{n_1} = (2, -1)$ и $\vec{n_3} = (0.5, 1)$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_3} = 2 \cdot 0.5 + (-1) \cdot 1 = 1 - 1 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, прямые $L_1$ и $L_3$ перпендикулярны. Это означает, что у параллелограмма есть прямой угол, следовательно, это прямоугольник.

Ответ: Данный четырехугольник является прямоугольником, так как он образован двумя парами параллельных прямых, а прямые из разных пар взаимно перпендикулярны.

6.7. На координатной плоскости покажите штриховкой множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

1) $ \begin{cases} y - x^2 < 0, \\ 2x + y \le 4; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y - 2x^2 < 0, \\ 3x + y \le 3; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 2y - x^2 > 0, \\ 2x^2 + y \le 3; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} y - 3x^2 + 1 \ge 0, \\ x^2 + 2y \le 6. \end{cases} $

1)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y - x^2 < 0 \\ 2x + y \le 4 \end{cases} $ Преобразуем неравенства, выразив y: $ \begin{cases} y < x^2 \\ y \le -2x + 4 \end{cases} $

Первое неравенство, $y < x^2$, задает множество точек, расположенных ниже параболы $y = x^2$. Так как неравенство строгое, граница (парабола) не включается в решение и изображается пунктирной линией. Вершина параболы находится в точке (0, 0), ветви направлены вверх.

Второе неравенство, $y \le -2x + 4$, задает множество точек, расположенных ниже или на прямой $y = -2x + 4$. Так как неравенство нестрогое, граница (прямая) включается в решение и изображается сплошной линией. Прямая пересекает ось OY в точке (0, 4) и ось OX в точке (2, 0).

Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть область, которая находится одновременно ниже параболы и ниже прямой.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^2 = -2x + 4$: $x^2 + 2x - 4 = 0$ $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$. Точки пересечения: $x_1 = -1 - \sqrt{5} \approx -3.24$ и $x_2 = -1 + \sqrt{5} \approx 1.24$.

Множество точек, удовлетворяющих системе, показано штриховкой на графике.

Ответ: Графическое представление множества точек показано на рисунке выше.

2)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y - 2x^2 < 0 \\ 3x + y \le 3 \end{cases} $ Преобразуем неравенства: $ \begin{cases} y < 2x^2 \\ y \le -3x + 3 \end{cases} $

Первое неравенство, $y < 2x^2$, задает область ниже параболы $y = 2x^2$. Граница (парабола) изображается пунктирной линией.

Второе неравенство, $y \le -3x + 3$, задает область ниже или на прямой $y = -3x + 3$. Граница (прямая) изображается сплошной линией. Прямая пересекает ось OY в точке (0, 3) и ось OX в точке (1, 0).

Решением является пересечение этих областей. Найдем точки пересечения графиков: $2x^2 = -3x + 3$ $2x^2 + 3x - 3 = 0$ $x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(2)(-3)}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{4}$. Точки пересечения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{33}}{4} \approx -2.19$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{33}}{4} \approx 0.69$.

Множество точек, удовлетворяющих системе, показано штриховкой на графике.

Ответ: Графическое представление множества точек показано на рисунке выше.

3)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} 2y - x^2 > 0 \\ 2x^2 + y \le 3 \end{cases} $ Преобразуем неравенства: $ \begin{cases} y > \frac{1}{2}x^2 \\ y \le -2x^2 + 3 \end{cases} $

Первое неравенство, $y > \frac{1}{2}x^2$, задает область выше параболы $y = \frac{1}{2}x^2$. Граница (парабола с ветвями вверх) изображается пунктирной линией.

Второе неравенство, $y \le -2x^2 + 3$, задает область ниже или на параболе $y = -2x^2 + 3$. Граница (парабола с ветвями вниз) изображается сплошной линией.

Решением является пересечение этих областей — ограниченная область между двумя параболами. Найдем точки их пересечения: $\frac{1}{2}x^2 = -2x^2 + 3$ $\frac{5}{2}x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{6}{5}$ $x = \pm \sqrt{\frac{6}{5}} \approx \pm 1.1$. Соответствующее значение $y = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{3}{5} = 0.6$.

Искомое множество точек — область, заключенная между параболами, показана штриховкой на графике.

Ответ: Графическое представление множества точек показано на рисунке выше.

4)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y - 3x^2 + 1 \ge 0 \\ x^2 + 2y \le 6 \end{cases} $ Преобразуем неравенства: $ \begin{cases} y \ge 3x^2 - 1 \\ y \le -\frac{1}{2}x^2 + 3 \end{cases} $

Первое неравенство, $y \ge 3x^2 - 1$, задает область выше или на параболе $y = 3x^2 - 1$. Граница (парабола с ветвями вверх, вершина в (0, -1)) изображается сплошной линией.

Второе неравенство, $y \le -\frac{1}{2}x^2 + 3$, задает область ниже или на параболе $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$. Граница (парабола с ветвями вниз, вершина в (0, 3)) изображается сплошной линией.

Решением является ограниченная область между двумя параболами. Найдем точки их пересечения: $3x^2 - 1 = -\frac{1}{2}x^2 + 3$ $\frac{7}{2}x^2 = 4 \implies x^2 = \frac{8}{7}$ $x = \pm \sqrt{\frac{8}{7}} \approx \pm 1.07$. Соответствующее значение $y = 3(\frac{8}{7}) - 1 = \frac{24}{7} - \frac{7}{7} = \frac{17}{7} \approx 2.43$.

Искомое множество точек — область, заключенная между параболами, показана штриховкой на графике. Обе границы включаются в решение.

Ответ: Графическое представление множества точек показано на рисунке выше.

24.27. Упростите выражение:

1) $1 - \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta;$

2) $\operatorname{ctg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta - 1.$

1) Для упрощения выражения $1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta$ воспользуемся определениями тангенса через синус и косинус: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
$1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta = 1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$
Приведем выражение к общему знаменателю $\cos\alpha \cos\beta$:
$1 - \frac{\sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta} = \frac{\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}$
В числителе мы получили формулу косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.
Подставим эту формулу в наше выражение:
$\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \cos\beta}$
Ответ: $\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \cos\beta}$

2) Для упрощения выражения $\cot\alpha \cdot \tan\beta - 1$ воспользуемся определениями котангенса и тангенса: $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ и $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
$\cot\alpha \cdot \tan\beta - 1 = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} - 1$
Приведем выражение к общему знаменателю $\sin\alpha \cos\beta$:
$\frac{\cos\alpha \sin\beta}{\sin\alpha \cos\beta} - 1 = \frac{\cos\alpha \sin\beta - \sin\alpha \cos\beta}{\sin\alpha \cos\beta}$
В числителе мы получили формулу синуса разности углов: $\sin\beta \cos\alpha - \cos\beta \sin\alpha = \sin(\beta - \alpha)$.
Подставим эту формулу в наше выражение:
$\frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin\alpha \cos\beta}$
Ответ: $\frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin\alpha \cos\beta}$

24.28. Найдите значение $tg\alpha$ и $ctg\alpha$, если $sin\alpha = \frac{2}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

По условию задачи дано, что $ \sin a = \frac{2}{5} $ и угол $a$ находится в интервале $ \frac{\pi}{2} < a < \pi $. Это означает, что угол $a$ расположен во второй координатной четверти.

Во второй четверти значение синуса положительно (что соответствует условию), а значения косинуса, тангенса и котангенса — отрицательны.

1. Найдем значение $ \cos a $

Для нахождения косинуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 $.

Выразим из этой формулы $ \cos^2 a $:

$ \cos^2 a = 1 - \sin^2 a $

Подставим известное значение $ \sin a = \frac{2}{5} $:

$ \cos^2 a = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25-4}{25} = \frac{21}{25} $

Из этого следует, что $ \cos a = \pm\sqrt{\frac{21}{25}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{5} $.

Поскольку угол $a$ находится во второй четверти, его косинус должен быть отрицательным. Следовательно, мы выбираем значение со знаком минус:

$ \cos a = -\frac{\sqrt{21}}{5} $

2. Найдем значения $ \text{tg}\,a $ и $ \text{ctg}\,a $

Теперь, когда известны синус и косинус, мы можем вычислить тангенс и котангенс.

Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу:

$ \text{tg}\,a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{21}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{21} $:

$ \text{tg}\,a = -\frac{2 \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}} = -\frac{2\sqrt{21}}{21} $

Котангенс — это величина, обратная тангенсу ($ \text{ctg}\,a = \frac{1}{\text{tg}\,a} $). Рассчитаем его:

$ \text{ctg}\,a = \frac{1}{-\frac{2}{\sqrt{21}}} = -\frac{\sqrt{21}}{2} $

Проверить результат можно также по формуле $ \text{ctg}\,a = \frac{\cos a}{\sin a} $:

$ \text{ctg}\,a = \frac{-\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}} = -\frac{\sqrt{21}}{2} $

Ответ: $ \text{tg}\,a = -\frac{2\sqrt{21}}{21} $, $ \text{ctg}\,a = -\frac{\sqrt{21}}{2} $.