Страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Что является решением системы нелинейных неравенств с двумя переменными?

2. Сколько решений может иметь система нелинейных неравенств с двумя переменными?

1. Решением системы нелинейных неравенств с двумя переменными $x$ и $y$ называется упорядоченная пара чисел $(x_0, y_0)$, при подстановке которой в каждое неравенство системы получается верное числовое неравенство. Множество всех таких пар $(x_0, y_0)$ образует множество решений системы.

С геометрической точки зрения, решением одного нелинейного неравенства с двумя переменными является некоторая область на координатной плоскости. Границей этой области служит кривая, задаваемая соответствующим уравнением. Например, для неравенства $x^2 + y^2 < 9$ решением является внутренняя часть круга с центром в начале координат и радиусом 3, не включая саму окружность.

Поскольку система состоит из нескольких неравенств, ее решением будет пересечение множеств решений каждого из этих неравенств. Геометрически это область на координатной плоскости, которая является общей частью (пересечением) областей, соответствующих каждому неравенству системы.

Ответ: Решением системы нелинейных неравенств с двумя переменными является множество упорядоченных пар чисел, удовлетворяющих каждому неравенству системы. Геометрически это представляет собой область на координатной плоскости, являющуюся пересечением областей решений для каждого отдельного неравенства.

2. Система нелинейных неравенств с двумя переменными может иметь:

• Бесконечное множество решений. Это наиболее частый случай. Решением является некоторая область (или несколько областей) на координатной плоскости, содержащая бесконечное число точек. Например, система $ \begin{cases} x^2 + y^2 < 25 \\ y > x \end{cases} $ имеет в качестве решения часть круга, лежащую выше прямой $y=x$. Эта область содержит бесконечно много точек.

• Ни одного решения (пустое множество). Это происходит, когда области, являющиеся решениями отдельных неравенств, не имеют общих точек (не пересекаются). Например, система $ \begin{cases} x^2 + y^2 < 1 \\ x^2 + y^2 > 4 \end{cases} $ не имеет решений, так как не существует точки, которая одновременно находилась бы внутри круга радиусом 1 и вне круга радиусом 2.

• Конечное число решений. Это редкий, но возможный случай, который обычно возникает, когда области решений "касаются" друг друга в одной или нескольких точках, и сами эти точки удовлетворяют неравенствам (т.е. неравенства нестрогие). Например, система $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 0 \\ y \ge x^2 \end{cases} $ имеет только одно решение — точку $(0, 0)$. Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 0$ выполняется только при $x=0$ и $y=0$. Эти значения удовлетворяют и второму неравенству $0 \ge 0^2$. Другой пример, система $ \begin{cases} (x-1)^2 + y^2 \le 0 \\ (x+1)^2 + y^2 \le 0 \end{cases} $ решений не имеет, а система $ \begin{cases} (x^2 - 1)^2 + y^2 \le 0 \\ y \ge 0 \end{cases} $ имеет два решения: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: Система нелинейных неравенств с двумя переменными может не иметь решений (решение — пустое множество), иметь конечное число решений (например, одно, два и т.д.) или иметь бесконечное множество решений.

24.20. Значения косинусов двух углов треугольника равны $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{3}$.

Найдите значение косинуса третьего угла треугольника.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По условию задачи, нам даны косинусы двух углов: $\cos \alpha = \frac{2}{3}$ и $\cos \beta = \frac{1}{3}$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$ или $\pi$ радиан. Следовательно, мы можем записать: $\alpha + \beta + \gamma = \pi$

Выразим третий угол $\gamma$ через два других: $\gamma = \pi - (\alpha + \beta)$

Чтобы найти косинус третьего угла, воспользуемся формулой приведения $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$: $\cos \gamma = \cos(\pi - (\alpha + \beta)) = -\cos(\alpha + \beta)$

Теперь нам нужно найти $\cos(\alpha + \beta)$. Для этого применим формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

Значения $\cos \alpha$ и $\cos \beta$ нам известны. Найдем значения $\sin \alpha$ и $\sin \beta$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Отсюда $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x}$. Знак перед корнем выбираем положительный, так как углы треугольника находятся в интервале $(0, \pi)$, а синус в этом интервале всегда положителен.

Вычисляем $\sin \alpha$: $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Вычисляем $\sin \beta$: $\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Теперь подставляем все известные значения в формулу для $\cos(\alpha + \beta)$: $\cos(\alpha + \beta) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{2}{9} - \frac{2\sqrt{10}}{9} = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{9}$

Наконец, находим косинус третьего угла $\gamma$: $\cos \gamma = -\cos(\alpha + \beta) = -\left(\frac{2 - 2\sqrt{10}}{9}\right) = \frac{-(2 - 2\sqrt{10})}{9} = \frac{2\sqrt{10} - 2}{9}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{10} - 2}{9}$

24.21. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $ \sin\alpha + \cos\alpha $

2) $ \sin\alpha - \cos\alpha $

3) $ \sqrt{3} \cos\gamma - \sin\gamma $

4) $ \sin\beta + \sqrt{3} \cos\beta $

5) $ 2\sin\alpha - 3\cos\alpha $

6) $ 4\cos\gamma + 5\sin\gamma $

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражений вида $a \cdot \sin(x) + b \cdot \cos(x)$ используется метод введения вспомогательного угла. Этот метод основан на преобразовании исходного выражения к виду $R \cdot \sin(x + \phi)$ или $R \cdot \cos(x - \phi)$.

Рассмотрим выражение $E = a \sin x + b \cos x$. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{a^2+b^2}$:$E = \sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x \right)$.

Заметим, что числа $ \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} $ и $ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $ удовлетворяют основному тригонометрическому тождеству, так как сумма их квадратов равна 1:$ \left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 + \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2} = 1 $.

Следовательно, существует такой угол $\phi$, что $\cos\phi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $\sin\phi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.Тогда выражение преобразуется к виду, используя формулу синуса суммы:$E = \sqrt{a^2+b^2} (\cos\phi \sin x + \sin\phi \cos x) = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\phi)$.

Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(x+\phi) \le 1$, то для исходного выражения имеем:$ -\sqrt{a^2+b^2} \le \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\phi) \le \sqrt{a^2+b^2} $.

Таким образом, наибольшее значение выражения $ a \sin x + b \cos x $ равно $ \sqrt{a^2+b^2} $, а наименьшее значение равно $ -\sqrt{a^2+b^2} $.

Применим этот результат для решения задач.

1) $ \sin\alpha + \cos\alpha $

В этом выражении коэффициенты при синусе и косинусе равны $ a=1 $ и $ b=1 $ соответственно.Наибольшее значение: $ \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $.Наименьшее значение: $ -\sqrt{1^2+1^2} = -\sqrt{2} $.

Ответ: наибольшее значение $ \sqrt{2} $, наименьшее значение $ -\sqrt{2} $.

2) $ \sin\alpha - \cos\alpha $

В этом выражении коэффициенты $ a=1 $ и $ b=-1 $.Наибольшее значение: $ \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} $.Наименьшее значение: $ -\sqrt{1^2+(-1)^2} = -\sqrt{2} $.

Ответ: наибольшее значение $ \sqrt{2} $, наименьшее значение $ -\sqrt{2} $.

3) $ \sqrt{3}\cos\gamma - \sin\gamma $

Перепишем выражение в стандартном виде: $ -1 \cdot \sin\gamma + \sqrt{3} \cdot \cos\gamma $.Здесь коэффициенты $ a=-1 $ и $ b=\sqrt{3} $.Наибольшее значение: $ \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $.Наименьшее значение: $ -\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2} = -2 $.

Ответ: наибольшее значение $ 2 $, наименьшее значение $ -2 $.

4) $ \sin\beta + \sqrt{3}\cos\beta $

Здесь коэффициенты $ a=1 $ и $ b=\sqrt{3} $.Наибольшее значение: $ \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $.Наименьшее значение: $ -\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = -2 $.

Ответ: наибольшее значение $ 2 $, наименьшее значение $ -2 $.

5) $ 2\sin\alpha - 3\cos\alpha $

Здесь коэффициенты $ a=2 $ и $ b=-3 $.Наибольшее значение: $ \sqrt{2^2+(-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} $.Наименьшее значение: $ -\sqrt{2^2+(-3)^2} = -\sqrt{13} $.

Ответ: наибольшее значение $ \sqrt{13} $, наименьшее значение $ -\sqrt{13} $.

6) $ 4\cos\gamma + 5\sin\gamma $

Перепишем выражение в стандартном виде: $ 5\sin\gamma + 4\cos\gamma $.Здесь коэффициенты $ a=5 $ и $ b=4 $.Наибольшее значение: $ \sqrt{5^2+4^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41} $.Наименьшее значение: $ -\sqrt{5^2+4^2} = -\sqrt{41} $.

Ответ: наибольшее значение $ \sqrt{41} $, наименьшее значение $ -\sqrt{41} $.

24.22. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x + y - 5xy = 0, \\ x - y - xy = 0; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 - x + 1 = y, \\ y^2 - y + 1 = x. \end{cases} $

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x + y - 5xy = 0 \\ x - y - xy = 0 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x + y - 5xy) + (x - y - xy) = 0 + 0$

$2x - 6xy = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(1 - 3y) = 0$

Это уравнение выполняется в двух случаях:

Случай 1: $2x = 0$, откуда $x = 0$.

Случай 2: $1 - 3y = 0$, откуда $3y = 1$ и $y = \frac{1}{3}$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $x = 0$

Подставим значение $x = 0$ во второе уравнение исходной системы $x - y - xy = 0$:

$0 - y - 0 \cdot y = 0$

$-y = 0$

$y = 0$

Получили решение $(0, 0)$. Проверим его, подставив в первое уравнение системы $x + y - 5xy = 0$:

$0 + 0 - 5 \cdot 0 \cdot 0 = 0$

$0 = 0$. Равенство верное, значит, пара $(0, 0)$ является решением.

Случай 2: $y = \frac{1}{3}$

Подставим значение $y = \frac{1}{3}$ во второе уравнение исходной системы $x - y - xy = 0$:

$x - \frac{1}{3} - x \cdot \frac{1}{3} = 0$

$x - \frac{1}{3} - \frac{x}{3} = 0$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

$3x - 1 - x = 0$

$2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Получили решение $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$. Проверим его, подставив в первое уравнение системы $x + y - 5xy = 0$:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 0$

$\frac{3+2}{6} - \frac{5}{6} = 0$

$\frac{5}{6} - \frac{5}{6} = 0$

$0 = 0$. Равенство верное, значит, пара $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$ является решением.

Ответ: $(0, 0)$, $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - x + 1 = y \\ y^2 - y + 1 = x \end{cases} $

Вычтем из первого уравнения второе:

$(x^2 - x + 1) - (y^2 - y + 1) = y - x$

$x^2 - x + 1 - y^2 + y - 1 = y - x$

$x^2 - y^2 - x + y = y - x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 - y^2 - x + y - y + x = 0$

$x^2 - y^2 = 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(x - y)(x + y) = 0$

Это уравнение выполняется в двух случаях:

Случай 1: $x - y = 0$, откуда $x = y$.

Случай 2: $x + y = 0$, откуда $y = -x$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $x = y$

Подставим $y = x$ в первое уравнение исходной системы $x^2 - x + 1 = y$:

$x^2 - x + 1 = x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x - 1)^2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Так как $y = x$, то $y = 1$.

Получили решение $(1, 1)$. Проверим его, подставив во второе уравнение системы $y^2 - y + 1 = x$:

$1^2 - 1 + 1 = 1$

$1 = 1$. Равенство верное, значит, пара $(1, 1)$ является решением.

Случай 2: $y = -x$

Подставим $y = -x$ в первое уравнение исходной системы $x^2 - x + 1 = y$:

$x^2 - x + 1 = -x$

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Следовательно, единственным решением системы в действительных числах является пара $(1, 1)$.

Ответ: $(1, 1)$.

24.23. 1) Из 40 т железной руды выплавляют 20 т стали, содержащей 6% примесей. Найдите процент примесей в руде.

2) Свежие грибы содержат 90% влаги, сушеные — 12%. Сколько сушеных грибов получится из 20 кг свежих?

1)

Сначала найдем массу чистого железа в полученной стали. В условии сказано, что сталь содержит 6% примесей. Это означает, что доля чистого железа в стали составляет:

$100\% - 6\% = 94\%$

Теперь вычислим массу чистого железа в 20 тоннах стали:

$m_{железа} = 20 \text{ т} \times \frac{94}{100} = 20 \text{ т} \times 0.94 = 18.8 \text{ т}$

Примем, что всё железо из руды перешло в сталь. Следовательно, в исходных 40 тоннах железной руды содержалось 18.8 тонн чистого железа. Масса примесей в руде – это разница между общей массой руды и массой чистого железа в ней:

$m_{примесей} = 40 \text{ т} - 18.8 \text{ т} = 21.2 \text{ т}$

Чтобы найти процент примесей в руде, разделим массу примесей на общую массу руды и умножим результат на 100%:

$\text{Процент примесей} = \frac{m_{примесей}}{m_{руды}} \times 100\% = \frac{21.2 \text{ т}}{40 \text{ т}} \times 100\% = 0.53 \times 100\% = 53\%$

Ответ: 53%.

2)

При сушке грибов испаряется только влага, а масса "сухого вещества" остается неизменной. Это является ключом к решению задачи.

Сначала определим массу сухого вещества в свежих грибах. Если влага составляет 90%, то доля сухого вещества равна:

$100\% - 90\% = 10\%$

Найдем массу сухого вещества в 20 кг свежих грибов:

$m_{сух.в-ва} = 20 \text{ кг} \times \frac{10}{100} = 20 \text{ кг} \times 0.1 = 2 \text{ кг}$

Эта масса сухого вещества (2 кг) полностью сохраняется и в сушеных грибах. Теперь рассмотрим сушеные грибы. В них содержится 12% влаги. Следовательно, доля сухого вещества в них составляет:

$100\% - 12\% = 88\%$

Пусть $x$ — это искомая масса сушеных грибов. Мы знаем, что 88% от этой массы составляет 2 кг сухого вещества. Составим уравнение:

$x \times 0.88 = 2 \text{ кг}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$x = \frac{2}{0.88} = \frac{200}{88} = \frac{100}{44} = \frac{25}{11} \text{ кг}$

Этот результат можно представить в виде смешанной дроби:

$\frac{25}{11} \text{ кг} = 2 \frac{3}{11} \text{ кг}$

Ответ: $\frac{25}{11}$ кг (или $2 \frac{3}{11}$ кг).

24.24. В одной координатной плоскости постройте графики функций и запишите координаты точек их пересечения:

1) $y=\frac{3}{x}$ и $y=x^2-3x;

2) $y=\frac{1}{x}$ и $y=-0.5x^3.$

1) $y = \frac{3}{x}$ и $y = x^2 - 3x$

Для построения графиков заданных функций, проанализируем каждую из них.

1. Функция $y = \frac{3}{x}$ — это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Так как коэффициент $3 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами для графика. Составим таблицу значений для построения:

2. Функция $y = x^2 - 3x$ — это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$
$y_0 = (1.5)^2 - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$
Вершина находится в точке $(1.5, -2.25)$.
Найдем точки пересечения с осью абсцисс (Ox), где $y=0$:
$x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 3$.
Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

Построим графики функций в одной координатной плоскости. График $y = \frac{3}{x}$ изображен синим цветом, а график $y = x^2 - 3x$ — красным.

Для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений:
$\left\{ \begin{array}{l} y = \frac{3}{x} \\ y = x^2 - 3x \end{array} \right.$
Приравняем правые части: $\frac{3}{x} = x^2 - 3x$.
Умножим обе части на $x$ (при условии $x \neq 0$):
$3 = x^3 - 3x^2$
$x^3 - 3x^2 - 3 = 0$
Данное кубическое уравнение не имеет целых или простых рациональных корней. Из графика видно, что парабола и гипербола пересекаются в одной точке, расположенной в первой четверти. Координаты этой точки можно определить только приблизительно по графику.

Ответ: графики пересекаются в одной точке с примерными координатами $(3.3, 0.9)$.

2) $y = \frac{1}{x}$ и $y = -0.5x^3$

1. Функция $y = \frac{1}{x}$ — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

2. Функция $y = -0.5x^3$ — кубическая парабола. Поскольку коэффициент $-0.5 < 0$, ее график расположен во II и IV координатных четвертях и проходит через начало координат.

Построим графики функций в одной координатной плоскости. График $y = \frac{1}{x}$ изображен синим цветом, а график $y = -0.5x^3$ — красным.

Найдем точки пересечения аналитически. Для этого приравняем правые части уравнений:
$\frac{1}{x} = -0.5x^3$
Умножим обе части на $x$ (при условии $x \neq 0$):
$1 = -0.5x^4$
Умножим на -2:
$-2 = x^4$ или $x^4 = -2$.
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как четвертая степень любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^4 \ge 0$). Следовательно, графики функций не пересекаются. Это также видно из графика: ветви гиперболы $y = \frac{1}{x}$ лежат в I и III четвертях (где $x$ и $y$ одного знака), а ветви кубической параболы $y = -0.5x^3$ лежат во II и IV четвертях (где $x$ и $y$ разных знаков), поэтому у них не может быть общих точек.

Ответ: точек пересечения нет.

24.25. На рисунке 77 изображен график функции $f(x) = ax^3 + bx + c$.

Используя этот график:

1) запишите координаты точки, которая является центром симметрии графика функции;

2) запишите множество значений функции, если переменная $x \in [-2; 2]$;

3) найдите значение выражения $2f(-2) - 3f(0) + 2f(1) + 2f(2)$;

4) найдите знак выражения $ac$ для функции $f(x) = ax^3 + bx + c$.

Рис. 77

Примечание: В условии задачи содержится опечатка. Судя по симметрии графика относительно точки на оси OY, а также наличию двух локальных экстремумов, функция должна иметь вид $f(x) = ax^3 + bx + c$, а не $f(x) = ax^3 + bx^2 + c$. Дальнейшее решение основано на исправленной формуле $f(x) = ax^3 + bx + c$.

1) Центром симметрии графика кубической функции является ее точка перегиба. Для функции вида $f(x) = ax^3+bx+c$ точка перегиба находится там, где вторая производная равна нулю: $f'(x) = 3ax^2+b$, $f''(x) = 6ax$. Уравнение $6ax = 0$ дает $x=0$.
Таким образом, центр симметрии лежит на оси OY. Чтобы найти его координаты, определим по графику значение функции при $x=0$.
Из графика видно, что при $x=0$ значение функции $y=1$.
Следовательно, координаты центра симметрии — $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$

2) Нам нужно найти множество значений функции $E(f)$ на отрезке $x \in [-2; 2]$. Для этого найдем наименьшее и наибольшее значения функции на данном отрезке. Рассмотрим значения функции на концах отрезка и в точках локальных экстремумов, попадающих в этот отрезок.
По графику определяем:
- Значение на левом конце отрезка: $f(-2) = -1$.
- Значение на правом конце отрезка: $f(2) = 3$.
- На отрезке $[-2; 2]$ есть точка локального максимума $x=-1$, где $f(-1) = 3$.
- На отрезке $[-2; 2]$ есть точка локального минимума $x=1$, где $f(1) = -1$.
Сравнивая эти значения, находим, что наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 2]$ равно $-1$, а наибольшее равно $3$.
Таким образом, множество значений функции на данном отрезке — это отрезок $[-1; 3]$.
Ответ: $[-1; 3]$

3) Для нахождения значения выражения $2f(-2) - 3f(0) + 2f(1) + 2f(2)$ определим необходимые значения функции по графику:
- $f(-2) = -1$
- $f(0) = 1$
- $f(1) = -1$
- $f(2) = 3$
Теперь подставим эти значения в выражение:
$2f(-2) - 3f(0) + 2f(1) + 2f(2) = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 = -2 - 3 - 2 + 6 = -1$.
Ответ: $-1$

4) Необходимо найти знак выражения $ac$ для функции $f(x) = ax^3 + bx + c$.
1. Определим знак коэффициента $a$. Поведение графика функции при $x \to +\infty$ определяется знаком старшего коэффициента $a$. Так как при увеличении $x$ график уходит вверх (значения $y$ растут), то коэффициент $a$ положителен: $a > 0$.
2. Определим знак коэффициента $c$. Коэффициент $c$ равен значению функции в точке $x=0$, то есть $c = f(0)$. По графику находим, что $f(0) = 1$. Следовательно, $c = 1$, что является положительным числом: $c > 0$.
3. Найдем знак произведения $ac$. Так как $a > 0$ и $c > 0$, их произведение также будет положительным: $ac > 0$.
Ответ: знак выражения $ac$ — положительный.

24.26. Докажите тождество:

1) $ \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} $;

2) $ \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\sin \beta \cdot \cos \alpha} $.

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть, используя определения тангенса и котангенса, а также основное тригонометрическое тождество.

Запишем левую часть равенства:
$tgα + ctgα$

Используем определения $tgα = \frac{sinα}{cosα}$ и $ctgα = \frac{cosα}{sinα}$:
$tgα + ctgα = \frac{sinα}{cosα} + \frac{cosα}{sinα}$

Приведем дроби к общему знаменателю $sinα \cdot cosα$:
$\frac{sinα \cdot sinα}{cosα \cdot sinα} + \frac{cosα \cdot cosα}{sinα \cdot cosα} = \frac{sin^2α + cos^2α}{sinα \cdot cosα}$

Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2α + cos^2α = 1$:
$\frac{1}{sinα \cdot cosα}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства данного тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности.

Преобразуем левую часть:
$tgα + ctgβ = \frac{sinα}{cosα} + \frac{cosβ}{sinβ}$

Приведем к общему знаменателю $sinβ \cdot cosα$:
$\frac{sinα \cdot sinβ}{cosα \cdot sinβ} + \frac{cosα \cdot cosβ}{cosα \cdot sinβ} = \frac{sinα sinβ + cosα cosβ}{sinβ cosα}$

Используя формулу косинуса разности $cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ$, получаем:
$tgα + ctgβ = \frac{cos(α - β)}{sinβ \cdot cosα}$

Теперь преобразуем правую часть исходного равенства, используя формулу синуса суммы $sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ$:
$\frac{sin(α + β)}{sinβ \cdot cosα} = \frac{sinα cosβ + cosα sinβ}{sinβ \cdot cosα}$

Сравнивая преобразованные левую и правую части, видим, что они не равны, так как в общем случае $cos(α - β) \neq sinα cosβ + cosα sinβ$.
Следовательно, данное в задании равенство не является тождеством. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка в числителе правой части. Правильное тождество должно выглядеть так:
$tgα + ctgβ = \frac{cos(α-β)}{sinβ \cdot cosα}$

Доказательство этого (исправленного) тождества было приведено выше при преобразовании левой части.
Ответ: Исходное равенство не является тождеством, так как при преобразовании левая часть равна $\frac{cos(α-β)}{sinβ \cdot cosα}$, а правая $\frac{sin(α+β)}{sinβ \cdot cosα}$. Вероятно, в условии допущена опечатка.