Номер 24.24, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.24. В одной координатной плоскости постройте графики функций и запишите координаты точек их пересечения:

1) $y=\frac{3}{x}$ и $y=x^2-3x;

2) $y=\frac{1}{x}$ и $y=-0.5x^3.$

1) $y = \frac{3}{x}$ и $y = x^2 - 3x$

Для построения графиков заданных функций, проанализируем каждую из них.

1. Функция $y = \frac{3}{x}$ — это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Так как коэффициент $3 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами для графика. Составим таблицу значений для построения:

2. Функция $y = x^2 - 3x$ — это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$
$y_0 = (1.5)^2 - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$
Вершина находится в точке $(1.5, -2.25)$.
Найдем точки пересечения с осью абсцисс (Ox), где $y=0$:
$x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 3$.
Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

Построим графики функций в одной координатной плоскости. График $y = \frac{3}{x}$ изображен синим цветом, а график $y = x^2 - 3x$ — красным.

Для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений:
$\left\{ \begin{array}{l} y = \frac{3}{x} \\ y = x^2 - 3x \end{array} \right.$
Приравняем правые части: $\frac{3}{x} = x^2 - 3x$.
Умножим обе части на $x$ (при условии $x \neq 0$):
$3 = x^3 - 3x^2$
$x^3 - 3x^2 - 3 = 0$
Данное кубическое уравнение не имеет целых или простых рациональных корней. Из графика видно, что парабола и гипербола пересекаются в одной точке, расположенной в первой четверти. Координаты этой точки можно определить только приблизительно по графику.

Ответ: графики пересекаются в одной точке с примерными координатами $(3.3, 0.9)$.

2) $y = \frac{1}{x}$ и $y = -0.5x^3$

1. Функция $y = \frac{1}{x}$ — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

2. Функция $y = -0.5x^3$ — кубическая парабола. Поскольку коэффициент $-0.5 < 0$, ее график расположен во II и IV координатных четвертях и проходит через начало координат.

Построим графики функций в одной координатной плоскости. График $y = \frac{1}{x}$ изображен синим цветом, а график $y = -0.5x^3$ — красным.

Найдем точки пересечения аналитически. Для этого приравняем правые части уравнений:
$\frac{1}{x} = -0.5x^3$
Умножим обе части на $x$ (при условии $x \neq 0$):
$1 = -0.5x^4$
Умножим на -2:
$-2 = x^4$ или $x^4 = -2$.
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как четвертая степень любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^4 \ge 0$). Следовательно, графики функций не пересекаются. Это также видно из графика: ветви гиперболы $y = \frac{1}{x}$ лежат в I и III четвертях (где $x$ и $y$ одного знака), а ветви кубической параболы $y = -0.5x^3$ лежат во II и IV четвертях (где $x$ и $y$ разных знаков), поэтому у них не может быть общих точек.

Ответ: точек пересечения нет.