Номер 24.17, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.17. Докажите тождество:

1) $\cos\alpha \cos(\beta + \gamma) - \cos\beta \cos(\alpha + \gamma) = \sin\gamma \sin(\alpha - \beta)$;

2) $\sin(\alpha - \beta) \sin\gamma + \sin(\beta - \gamma) \sin\alpha = \sin(\alpha - \gamma) \sin\beta$.

1) Для доказательства преобразуем левую часть тождества, начиная с раскрытия косинусов суммы по формуле $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$.
Исходное выражение: $cos(α)cos(β + γ) - cos(β)cos(α + γ)$.
Применим формулу косинуса суммы к $cos(β + γ)$ и $cos(α + γ)$:
$cos(α)(cos(β)cos(γ) - sin(β)sin(γ)) - cos(β)(cos(α)cos(γ) - sin(α)sin(γ))$
Раскроем скобки:
$= cos(α)cos(β)cos(γ) - cos(α)sin(β)sin(γ) - cos(β)cos(α)cos(γ) + cos(β)sin(α)sin(γ)$
Приведем подобные слагаемые. Члены $cos(α)cos(β)cos(γ)$ и $-cos(β)cos(α)cos(γ)$ взаимно уничтожаются:
$= cos(β)sin(α)sin(γ) - cos(α)sin(β)sin(γ)$
Вынесем общий множитель $sin(γ)$ за скобки:
$= sin(γ)(sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β))$
Выражение в скобках соответствует формуле синуса разности: $sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)$.
Подставив, получаем:
$= sin(γ)sin(α - β)$
Мы преобразовали левую часть тождества к правой. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства преобразуем левую часть тождества, используя формулу синуса разности $sin(x-y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$.
Исходное выражение: $sin(α - β)sin(γ) + sin(β - γ)sin(α)$.
Применим формулу синуса разности к $sin(α - β)$ и $sin(β - γ)$:
$= (sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β))sin(γ) + (sin(β)cos(γ) - cos(β)sin(γ))sin(α)$
Раскроем скобки:
$= sin(α)cos(β)sin(γ) - cos(α)sin(β)sin(γ) + sin(α)sin(β)cos(γ) - sin(α)cos(β)sin(γ)$
Приведем подобные слагаемые. Члены $sin(α)cos(β)sin(γ)$ и $-sin(α)cos(β)sin(γ)$ взаимно уничтожаются:
$= sin(α)sin(β)cos(γ) - cos(α)sin(β)sin(γ)$
Вынесем общий множитель $sin(β)$ за скобки:
$= sin(β)(sin(α)cos(γ) - cos(α)sin(γ))$
Выражение в скобках соответствует формуле синуса разности: $sin(α - γ) = sin(α)cos(γ) - cos(α)sin(γ)$.
Подставив, получаем:
$= sin(β)sin(α - γ)$
Переставим множители для соответствия правой части: $sin(α - γ)sin(β)$.
Мы преобразовали левую часть тождества к правой. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.