Номер 24.10, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.10. Упростите выражение:

1) $2\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sqrt{3} \sin\alpha;$

2) $\frac{1}{2}\cos\alpha - \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right);$

3) $\sqrt{2}\sin\alpha - 2\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right);$

4) $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\alpha.$

1) Упростим выражение $2\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) - \sqrt{3}\sin\alpha$.

Для этого воспользуемся формулой синуса суммы: $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.

Применим её к первому слагаемому:

$\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{6})\cos\alpha + \cos(\frac{\pi}{6})\sin\alpha$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем эти значения:

$\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Теперь подставим это выражение в исходное:

$2\left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) - \sqrt{3}\sin\alpha$.

Раскрываем скобки:

$2 \cdot \frac{1}{2}\cos\alpha + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha = \cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha$.

Приводим подобные слагаемые:

$\cos\alpha + (\sqrt{3}\sin\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha) = \cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$.

2) Упростим выражение $\frac{1}{2}\cos\alpha - \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$.

Используем формулу косинуса суммы: $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.

Применим её ко второму слагаемому:

$\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{3})\cos\alpha - \sin(\frac{\pi}{3})\sin\alpha$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем эти значения:

$\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{1}{2}\cos\alpha - \left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right)$.

Раскрываем скобки, меняя знаки:

$\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Приводим подобные слагаемые:

$(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

3) Упростим выражение $\sqrt{2}\sin\alpha - 2\sin(\alpha - \frac{\pi}{4})$.

Воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$.

Применим её ко второму слагаемому:

$\sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin\alpha \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos\alpha \sin(\frac{\pi}{4})$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем эти значения:

$\sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha)$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{2}\sin\alpha - 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha - \cos\alpha)\right) = \sqrt{2}\sin\alpha - \sqrt{2}(\sin\alpha - \cos\alpha)$.

Раскрываем скобки:

$\sqrt{2}\sin\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha + \sqrt{2}\cos\alpha$.

Приводим подобные слагаемые:

$(\sqrt{2}\sin\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha) + \sqrt{2}\cos\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha$.

Ответ: $\sqrt{2}\cos\alpha$.

4) Упростим выражение $\cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$.

Используем формулу косинуса разности: $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.

Применим её к первому слагаемому:

$\cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \cos\alpha \cos(\frac{\pi}{6}) + \sin\alpha \sin(\frac{\pi}{6})$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, подставляем эти значения:

$\cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\alpha \cdot \frac{1}{2}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$.

Приводим подобные слагаемые:

$(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha) + \frac{1}{2}\sin\alpha = \frac{1}{2}\sin\alpha$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sin\alpha$.