Номер 24.15, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.15. Докажите тождество:

1) $\sin(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\cos\beta = \cos\alpha \sin\beta$;

2) $\cos(\alpha - \beta) - \sin(-\alpha)\sin(-\beta) = \cos\alpha \cos\beta$;

3) $\sin(\alpha - \beta) + \cos(-\alpha)\sin(-\beta) = \sin\alpha \cos\beta$;

4) $\cos(\alpha + \beta) - \cos(-\alpha)\cos(-\beta) = -\sin\alpha \cos\beta$;

5) $\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha \cos\beta$;

6) $\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha \cos\beta$;

7) $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta$;

8) $\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta$.

1) sin(α + β) + sin(−α)cosβ = cosα sinβ

Для доказательства преобразуем левую часть тождества, используя формулу синуса суммы $sin(x+y) = sinx cosy + cosx siny$ и свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sinx$.

Левая часть: $sin(α + β) + sin(−α)cosβ = (sinα cosβ + cosα sinβ) + (−sinα)cosβ$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$sinα cosβ + cosα sinβ − sinα cosβ = cosα sinβ$.

Левая часть равна правой части: $cosα sinβ = cosα sinβ$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) cos(α − β) − sin(−α)sin(−β) = cosα cosβ

Преобразуем левую часть, используя формулу косинуса разности $cos(x-y) = cosx cosy + sinx siny$ и свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sinx$.

Левая часть: $cos(α − β) − sin(−α)sin(−β) = (cosα cosβ + sinα sinβ) − (−sinα)(−sinβ)$.

Упростим выражение:

$cosα cosβ + sinα sinβ − (sinα sinβ) = cosα cosβ$.

Левая часть равна правой части: $cosα cosβ = cosα cosβ$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) sin(α − β) + cos(−α)sin(−β) = sinα cosβ

Преобразуем левую часть, используя формулу синуса разности $sin(x-y) = sinx cosy - cosx siny$, свойство четности косинуса $cos(-x) = cosx$ и свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sinx$.

Левая часть: $sin(α − β) + cos(−α)sin(−β) = (sinα cosβ − cosα sinβ) + (cosα)(−sinβ)$.

Упростим выражение:

$sinα cosβ − cosα sinβ − cosα sinβ = sinα cosβ − 2cosα sinβ$.

Полученное выражение $sinα cosβ − 2cosα sinβ$ не равно $sinα cosβ$. Следовательно, в исходном виде равенство не является тождеством. Вероятно, в условии допущена опечатка. Если предположить, что вместо $sin(α − β)$ должно быть $sin(α + β)$, тождество будет верным. Докажем исправленное тождество: $sin(α + β) + cos(−α)sin(−β) = sinα cosβ$.

Левая часть: $sin(α + β) + cos(−α)sin(−β) = (sinα cosβ + cosα sinβ) + (cosα)(−sinβ) = sinα cosβ + cosα sinβ - cosα sinβ = sinα cosβ$.

Левая часть равна правой: $sinα cosβ = sinα cosβ$.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Доказано исправленное тождество $sin(α + β) + cos(−α)sin(−β) = sinα cosβ$.

4) cos(α + β) − cos(−α)cos(−β) = −sinα cosβ

Преобразуем левую часть, используя формулу косинуса суммы $cos(x+y) = cosx cosy - sinx siny$ и свойство четности косинуса $cos(-x) = cosx$.

Левая часть: $cos(α + β) − cos(−α)cos(−β) = (cosα cosβ − sinα sinβ) − (cosα)(cosβ)$.

Упростим выражение:

$cosα cosβ − sinα sinβ − cosα cosβ = −sinα sinβ$.

Полученное выражение $−sinα sinβ$ не равно $−sinα cosβ$ (в общем случае). Следовательно, в исходном виде равенство не является тождеством. Вероятно, в условии допущена опечатка в правой части. Если предположить, что правая часть должна быть $−sinα sinβ$, тождество будет верным. Докажем исправленное тождество: $cos(α + β) − cos(−α)cos(−β) = −sinα sinβ$.

Как мы показали выше, левая часть равна $−sinα sinβ$, что совпадает с исправленной правой частью.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Доказано исправленное тождество $cos(α + β) − cos(−α)cos(−β) = −sinα sinβ$.

5) cos(α + β) + cos(α − β) = 2cosα cosβ

Преобразуем левую часть, используя формулы косинуса суммы и разности.

$cos(α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ$

$cos(α − β) = cosα cosβ + sinα sinβ$

Сложим эти выражения:

$(cosα cosβ − sinα sinβ) + (cosα cosβ + sinα sinβ) = cosα cosβ + cosα cosβ − sinα sinβ + sinα sinβ = 2cosα cosβ$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6) sin(α + β) + sin(α − β) = 2sinα cosβ

Преобразуем левую часть, используя формулы синуса суммы и разности.

$sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ$

$sin(α − β) = sinα cosβ − cosα sinβ$

Сложим эти выражения:

$(sinα cosβ + cosα sinβ) + (sinα cosβ − cosα sinβ) = sinα cosβ + sinα cosβ + cosα sinβ − cosα sinβ = 2sinα cosβ$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

7) sin(α + β) sin(α − β) = sin²α − sin²β

Преобразуем левую часть, используя формулы синуса суммы и разности и формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a²-b²$.

Левая часть: $sin(α + β) sin(α − β) = (sinα cosβ + cosα sinβ)(sinα cosβ − cosα sinβ)$.

Применим формулу разности квадратов:

$(sinα cosβ)² − (cosα sinβ)² = sin²α cos²β − cos²α sin²β$.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin²x + cos²x = 1$, откуда $cos²x = 1 − sin²x$.

$sin²α(1 − sin²β) − (1 − sin²α)sin²β = sin²α − sin²α sin²β − sin²β + sin²α sin²β = sin²α − sin²β$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

8) cos(α + β) cos(α − β) = cos²α − sin²β

Преобразуем левую часть, используя формулы косинуса суммы и разности и формулу разности квадратов.

Левая часть: $cos(α + β) cos(α − β) = (cosα cosβ − sinα sinβ)(cosα cosβ + sinα sinβ)$.

Применим формулу разности квадратов:

$(cosα cosβ)² − (sinα sinβ)² = cos²α cos²β − sin²α sin²β$.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin²x + cos²x = 1$. Заменим $cos²β = 1 − sin²β$ и $sin²α = 1 - cos²α$.

$cos²α(1 − sin²β) − (1 − cos²α)sin²β = cos²α − cos²α sin²β − sin²β + cos²α sin²β = cos²α − sin²β$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.