Номер 24.21, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.21. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $ \sin\alpha + \cos\alpha $

2) $ \sin\alpha - \cos\alpha $

3) $ \sqrt{3} \cos\gamma - \sin\gamma $

4) $ \sin\beta + \sqrt{3} \cos\beta $

5) $ 2\sin\alpha - 3\cos\alpha $

6) $ 4\cos\gamma + 5\sin\gamma $

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражений вида $a \cdot \sin(x) + b \cdot \cos(x)$ используется метод введения вспомогательного угла. Этот метод основан на преобразовании исходного выражения к виду $R \cdot \sin(x + \phi)$ или $R \cdot \cos(x - \phi)$.

Рассмотрим выражение $E = a \sin x + b \cos x$. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{a^2+b^2}$:$E = \sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x \right)$.

Заметим, что числа $ \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} $ и $ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $ удовлетворяют основному тригонометрическому тождеству, так как сумма их квадратов равна 1:$ \left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 + \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2} = 1 $.

Следовательно, существует такой угол $\phi$, что $\cos\phi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $\sin\phi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.Тогда выражение преобразуется к виду, используя формулу синуса суммы:$E = \sqrt{a^2+b^2} (\cos\phi \sin x + \sin\phi \cos x) = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\phi)$.

Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(x+\phi) \le 1$, то для исходного выражения имеем:$ -\sqrt{a^2+b^2} \le \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\phi) \le \sqrt{a^2+b^2} $.

Таким образом, наибольшее значение выражения $ a \sin x + b \cos x $ равно $ \sqrt{a^2+b^2} $, а наименьшее значение равно $ -\sqrt{a^2+b^2} $.

Применим этот результат для решения задач.

1) $ \sin\alpha + \cos\alpha $

В этом выражении коэффициенты при синусе и косинусе равны $ a=1 $ и $ b=1 $ соответственно.Наибольшее значение: $ \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $.Наименьшее значение: $ -\sqrt{1^2+1^2} = -\sqrt{2} $.

Ответ: наибольшее значение $ \sqrt{2} $, наименьшее значение $ -\sqrt{2} $.

2) $ \sin\alpha - \cos\alpha $

В этом выражении коэффициенты $ a=1 $ и $ b=-1 $.Наибольшее значение: $ \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} $.Наименьшее значение: $ -\sqrt{1^2+(-1)^2} = -\sqrt{2} $.

Ответ: наибольшее значение $ \sqrt{2} $, наименьшее значение $ -\sqrt{2} $.

3) $ \sqrt{3}\cos\gamma - \sin\gamma $

Перепишем выражение в стандартном виде: $ -1 \cdot \sin\gamma + \sqrt{3} \cdot \cos\gamma $.Здесь коэффициенты $ a=-1 $ и $ b=\sqrt{3} $.Наибольшее значение: $ \sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $.Наименьшее значение: $ -\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2} = -2 $.

Ответ: наибольшее значение $ 2 $, наименьшее значение $ -2 $.

4) $ \sin\beta + \sqrt{3}\cos\beta $

Здесь коэффициенты $ a=1 $ и $ b=\sqrt{3} $.Наибольшее значение: $ \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $.Наименьшее значение: $ -\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = -2 $.

Ответ: наибольшее значение $ 2 $, наименьшее значение $ -2 $.

5) $ 2\sin\alpha - 3\cos\alpha $

Здесь коэффициенты $ a=2 $ и $ b=-3 $.Наибольшее значение: $ \sqrt{2^2+(-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} $.Наименьшее значение: $ -\sqrt{2^2+(-3)^2} = -\sqrt{13} $.

Ответ: наибольшее значение $ \sqrt{13} $, наименьшее значение $ -\sqrt{13} $.

6) $ 4\cos\gamma + 5\sin\gamma $

Перепишем выражение в стандартном виде: $ 5\sin\gamma + 4\cos\gamma $.Здесь коэффициенты $ a=5 $ и $ b=4 $.Наибольшее значение: $ \sqrt{5^2+4^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41} $.Наименьшее значение: $ -\sqrt{5^2+4^2} = -\sqrt{41} $.

Ответ: наибольшее значение $ \sqrt{41} $, наименьшее значение $ -\sqrt{41} $.