Номер 24.25, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.25. На рисунке 77 изображен график функции $f(x) = ax^3 + bx + c$.

Используя этот график:

1) запишите координаты точки, которая является центром симметрии графика функции;

2) запишите множество значений функции, если переменная $x \in [-2; 2]$;

3) найдите значение выражения $2f(-2) - 3f(0) + 2f(1) + 2f(2)$;

4) найдите знак выражения $ac$ для функции $f(x) = ax^3 + bx + c$.

Рис. 77

Примечание: В условии задачи содержится опечатка. Судя по симметрии графика относительно точки на оси OY, а также наличию двух локальных экстремумов, функция должна иметь вид $f(x) = ax^3 + bx + c$, а не $f(x) = ax^3 + bx^2 + c$. Дальнейшее решение основано на исправленной формуле $f(x) = ax^3 + bx + c$.

1) Центром симметрии графика кубической функции является ее точка перегиба. Для функции вида $f(x) = ax^3+bx+c$ точка перегиба находится там, где вторая производная равна нулю: $f'(x) = 3ax^2+b$, $f''(x) = 6ax$. Уравнение $6ax = 0$ дает $x=0$.
Таким образом, центр симметрии лежит на оси OY. Чтобы найти его координаты, определим по графику значение функции при $x=0$.
Из графика видно, что при $x=0$ значение функции $y=1$.
Следовательно, координаты центра симметрии — $(0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$

2) Нам нужно найти множество значений функции $E(f)$ на отрезке $x \in [-2; 2]$. Для этого найдем наименьшее и наибольшее значения функции на данном отрезке. Рассмотрим значения функции на концах отрезка и в точках локальных экстремумов, попадающих в этот отрезок.
По графику определяем:
- Значение на левом конце отрезка: $f(-2) = -1$.
- Значение на правом конце отрезка: $f(2) = 3$.
- На отрезке $[-2; 2]$ есть точка локального максимума $x=-1$, где $f(-1) = 3$.
- На отрезке $[-2; 2]$ есть точка локального минимума $x=1$, где $f(1) = -1$.
Сравнивая эти значения, находим, что наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 2]$ равно $-1$, а наибольшее равно $3$.
Таким образом, множество значений функции на данном отрезке — это отрезок $[-1; 3]$.
Ответ: $[-1; 3]$

3) Для нахождения значения выражения $2f(-2) - 3f(0) + 2f(1) + 2f(2)$ определим необходимые значения функции по графику:
- $f(-2) = -1$
- $f(0) = 1$
- $f(1) = -1$
- $f(2) = 3$
Теперь подставим эти значения в выражение:
$2f(-2) - 3f(0) + 2f(1) + 2f(2) = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 = -2 - 3 - 2 + 6 = -1$.
Ответ: $-1$

4) Необходимо найти знак выражения $ac$ для функции $f(x) = ax^3 + bx + c$.
1. Определим знак коэффициента $a$. Поведение графика функции при $x \to +\infty$ определяется знаком старшего коэффициента $a$. Так как при увеличении $x$ график уходит вверх (значения $y$ растут), то коэффициент $a$ положителен: $a > 0$.
2. Определим знак коэффициента $c$. Коэффициент $c$ равен значению функции в точке $x=0$, то есть $c = f(0)$. По графику находим, что $f(0) = 1$. Следовательно, $c = 1$, что является положительным числом: $c > 0$.
3. Найдем знак произведения $ac$. Так как $a > 0$ и $c > 0$, их произведение также будет положительным: $ac > 0$.
Ответ: знак выражения $ac$ — положительный.