Вопросы, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Для каких углов $\alpha$ и $\beta$ можно использовать формулы тангенса и котангенса суммы и разности этих углов?

2. Что означают знаки $\pm$ и $\mp$ в формулах суммы и разности тангенсов двух углов? Как их используют при применении формулы с этими знаками?

1. Для каких углов α и β можно использовать формулы тангенса и котангенса суммы и разности этих углов?

Формулы для тригонометрических функций суммы и разности углов можно применять только в том случае, когда все выражения, входящие в них, имеют смысл (определены). Это означает, что не должно происходить деления на ноль, а значения самих функций должны существовать.

Для формулы тангенса суммы и разности: $ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} $.

Данная формула применима при выполнении следующих условий:

1. Должен существовать $ \tan \alpha $. Тангенс угла определен, если косинус этого угла не равен нулю. Следовательно, $ \cos \alpha \neq 0 $, что означает $ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число.

2. Должен существовать $ \tan \beta $. Аналогично, $ \cos \beta \neq 0 $, что означает $ \beta \neq \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n $ — любое целое число.

3. Должен существовать $ \tan(\alpha \pm \beta) $. Это означает, что $ \cos(\alpha \pm \beta) \neq 0 $, то есть $ \alpha \pm \beta \neq \frac{\pi}{2} + \pi m $, где $ m $ — любое целое число. Это условие также гарантирует, что знаменатель $ 1 \mp \tan \alpha \tan \beta $ в правой части формулы не обращается в ноль.

Для формулы котангенса суммы и разности: $ \cot(\alpha \pm \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha} $.

Данная формула применима при выполнении следующих условий:

1. Должен существовать $ \cot \alpha $. Котангенс угла определен, если синус этого угла не равен нулю. Следовательно, $ \sin \alpha \neq 0 $, что означает $ \alpha \neq \pi k $, где $ k $ — любое целое число.

2. Должен существовать $ \cot \beta $. Аналогично, $ \sin \beta \neq 0 $, что означает $ \beta \neq \pi n $, где $ n $ — любое целое число.

3. Должен существовать $ \cot(\alpha \pm \beta) $. Это означает, что $ \sin(\alpha \pm \beta) \neq 0 $, то есть $ \alpha \pm \beta \neq \pi m $, где $ m $ — любое целое число. Это условие также гарантирует, что знаменатель $ \cot \beta \pm \cot \alpha $ в правой части формулы не обращается в ноль.

Ответ: Формулы тангенса суммы и разности можно использовать для таких углов $ \alpha $ и $ \beta $, для которых существуют значения $ \tan \alpha $, $ \tan \beta $ и $ \tan(\alpha \pm \beta) $. Формулы котангенса суммы и разности можно использовать для таких углов $ \alpha $ и $ \beta $, для которых существуют значения $ \cot \alpha $, $ \cot \beta $ и $ \cot(\alpha \pm \beta) $.

2. Что означают знаки ± и ∓ в формулах суммы и разности тангенсов двух углов? Как их используют при применении формулы с этими знаками?

Знаки $ \pm $ (плюс-минус) и $ \mp $ (минус-плюс) используются для того, чтобы компактно записать две похожие математические формулы в одной строке. Знак $ \pm $ означает, что на его месте может быть либо «+», либо «−». Знак $ \mp $ используется в паре со знаком $ \pm $ и означает противоположный знак.

Правило их использования заключается в согласовании знаков: если в формуле мы выбираем верхний знак из пары ($ \pm $ или $ \mp $), то его нужно выбирать во всех местах, где эти знаки встречаются. Аналогично, если мы выбираем нижний знак, его нужно использовать везде.

Рассмотрим это на примере формулы тангенса суммы и разности:

$ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} $

Эта запись объединяет две формулы:

1. Формула тангенса суммы. Чтобы ее получить, мы берем везде верхние знаки:

$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} $

2. Формула тангенса разности. Чтобы ее получить, мы берем везде нижние знаки:

$ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} $

Таким образом, использование знаков $ \pm $ и $ \mp $ является удобным способом сокращения записи.

Ответ: Знаки $ \pm $ и $ \mp $ служат для объединения двух формул в одну. При их использовании необходимо соблюдать правило: либо везде в выражении выбираются верхние знаки (чтобы получить одну формулу, например, для суммы), либо везде выбираются нижние знаки (чтобы получить другую формулу, например, для разности).