Номер 25.4, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.4. Выразите через тригонометрические функции угла α:

1) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$;

2) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$;

3) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$;

4) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$;

5) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)$;

6) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$.

Для решения данных задач мы будем использовать формулы сложения и вычитания для тангенса и котангенса:

• $tg(x \pm y) = \frac{tg(x) \pm tg(y)}{1 \mp tg(x)tg(y)}$
• $ctg(x \pm y) = \frac{ctg(x)ctg(y) \mp 1}{ctg(y) \pm ctg(x)}$

А также значения тригонометрических функций для стандартных углов:

• $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$
• $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
• $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$

1) tg($\frac{\pi}{4} + \alpha$);

Применяем формулу тангенса суммы $tg(x+y) = \frac{tg(x)+tg(y)}{1-tg(x)tg(y)}$ для $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha$.

$tg(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{tg(\frac{\pi}{4}) + tg(\alpha)}{1 - tg(\frac{\pi}{4}) \cdot tg(\alpha)}$

Подставляем значение $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$:

$tg(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{1 + tg(\alpha)}{1 - 1 \cdot tg(\alpha)} = \frac{1 + tg(\alpha)}{1 - tg(\alpha)}$

Ответ: $\frac{1 + tg(\alpha)}{1 - tg(\alpha)}$

2) ctg($\frac{\pi}{4} - \alpha$);

Применяем формулу котангенса разности $ctg(x-y) = \frac{ctg(x)ctg(y)+1}{ctg(y)-ctg(x)}$ для $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha$.

$ctg(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{ctg(\frac{\pi}{4})ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - ctg(\frac{\pi}{4})}$

Подставляем значение $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$:

$ctg(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1 \cdot ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - 1} = \frac{ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - 1}$

Ответ: $\frac{ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - 1}$

3) tg($\frac{\pi}{3} - \alpha$);

Применяем формулу тангенса разности $tg(x-y) = \frac{tg(x)-tg(y)}{1+tg(x)tg(y)}$ для $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$.

$tg(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{tg(\frac{\pi}{3}) - tg(\alpha)}{1 + tg(\frac{\pi}{3}) \cdot tg(\alpha)}$

Подставляем значение $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$:

$tg(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{\sqrt{3} - tg(\alpha)}{1 + \sqrt{3}tg(\alpha)}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - tg(\alpha)}{1 + \sqrt{3}tg(\alpha)}$

4) ctg($\frac{\pi}{3} + \alpha$);

Применяем формулу котангенса суммы $ctg(x+y) = \frac{ctg(x)ctg(y)-1}{ctg(y)+ctg(x)}$ для $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$.

$ctg(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{ctg(\frac{\pi}{3})ctg(\alpha) - 1}{ctg(\alpha) + ctg(\frac{\pi}{3})}$

Подставляем значение $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:

$ctg(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}ctg(\alpha) - 1}{ctg(\alpha) + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{ctg(\alpha) - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}ctg(\alpha) + 1}{\sqrt{3}}} = \frac{ctg(\alpha) - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}ctg(\alpha)}$

Ответ: $\frac{ctg(\alpha) - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}ctg(\alpha)}$

5) tg($\frac{\pi}{6} + \alpha$);

Применяем формулу тангенса суммы $tg(x+y) = \frac{tg(x)+tg(y)}{1-tg(x)tg(y)}$ для $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$.

$tg(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{tg(\frac{\pi}{6}) + tg(\alpha)}{1 - tg(\frac{\pi}{6}) \cdot tg(\alpha)}$

Подставляем значение $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:

$tg(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + tg(\alpha)}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}tg(\alpha)} = \frac{\frac{1 + \sqrt{3}tg(\alpha)}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - tg(\alpha)}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \sqrt{3}tg(\alpha)}{\sqrt{3} - tg(\alpha)}$

Ответ: $\frac{1 + \sqrt{3}tg(\alpha)}{\sqrt{3} - tg(\alpha)}$

6) ctg($\frac{\pi}{6} - \alpha$).

Применяем формулу котангенса разности $ctg(x-y) = \frac{ctg(x)ctg(y)+1}{ctg(y)-ctg(x)}$ для $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$.

$ctg(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{ctg(\frac{\pi}{6})ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - ctg(\frac{\pi}{6})}$

Подставляем значение $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$:

$ctg(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{\sqrt{3}ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - \sqrt{3}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - \sqrt{3}}$