Номер 25.7, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.7. Докажите тождество:

1) $\frac{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)-\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg}(\alpha+\beta)}=\operatorname{tg} \beta$;

2) $\operatorname{tg}(\alpha-\beta)+\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{tg}(\alpha-\beta)=\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta.$

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Разделим числитель почленно на знаменатель:
$\frac{\tg(\alpha + \beta) - \tg\alpha - \tg\beta}{\tg\alpha \cdot \tg(\alpha + \beta)} = \frac{\tg(\alpha + \beta)}{\tg\alpha \cdot \tg(\alpha + \beta)} - \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg\alpha \cdot \tg(\alpha + \beta)} = \frac{1}{\tg\alpha} - \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg\alpha \cdot \tg(\alpha + \beta)}$
Воспользуемся формулой тангенса суммы: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta}$.
Подставим это выражение во второй член нашего преобразования:
$\frac{1}{\tg\alpha} - \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{\tg\alpha \cdot \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta}}$
Упростим вторую дробь, умножив ее числитель и знаменатель на $(1 - \tg\alpha\tg\beta)$:
$\frac{1}{\tg\alpha} - \frac{(\tg\alpha + \tg\beta)(1 - \tg\alpha\tg\beta)}{\tg\alpha (\tg\alpha + \tg\beta)}$
Сократим дробь на $(\tg\alpha + \tg\beta)$, при условии что $\tg\alpha + \tg\beta \neq 0$:
$\frac{1}{\tg\alpha} - \frac{1 - \tg\alpha\tg\beta}{\tg\alpha}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1 - (1 - \tg\alpha\tg\beta)}{\tg\alpha} = \frac{1 - 1 + \tg\alpha\tg\beta}{\tg\alpha} = \frac{\tg\alpha\tg\beta}{\tg\alpha}$
Сократим на $\tg\alpha$:
$\tg\beta$
Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.
$\tg(\alpha - \beta) + \tg\alpha \cdot \tg\beta \cdot \tg(\alpha - \beta)$
Вынесем общий множитель $\tg(\alpha - \beta)$ за скобки:
$\tg(\alpha - \beta)(1 + \tg\alpha\tg\beta)$
Воспользуемся формулой тангенса разности: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha\tg\beta}$.
Подставим это выражение в полученное произведение:
$\frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha\tg\beta} \cdot (1 + \tg\alpha\tg\beta)$
Сократим дробь на $(1 + \tg\alpha\tg\beta)$, при условии что $1 + \tg\alpha\tg\beta \neq 0$:
$\tg\alpha - \tg\beta$
Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.