Номер 25.8, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.8. Упростите выражение:

1) $\frac{\text{tg}^2 25^\circ - \text{tg}^2 15^\circ}{1 - \text{tg}^2 25^\circ \cdot \text{tg}^2 15^\circ}$;

2) $\frac{\text{tg}^2 1,8 - \text{tg}^2 1,2}{1 - \text{tg}^2 1,8 \cdot \text{tg}^2 1,2}$.

1)

Данное выражение имеет вид $ \frac{\text{tg}^2 25^\circ - \text{tg}^2 15^\circ}{1 - \text{tg}^2 25^\circ \cdot \text{tg}^2 15^\circ} $.
Мы можем заметить, что и числитель, и знаменатель можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Числитель: $ \text{tg}^2 25^\circ - \text{tg}^2 15^\circ = (\text{tg} 25^\circ - \text{tg} 15^\circ)(\text{tg} 25^\circ + \text{tg} 15^\circ) $.
Знаменатель: $ 1 - \text{tg}^2 25^\circ \cdot \text{tg}^2 15^\circ = (1 - \text{tg} 25^\circ \cdot \text{tg} 15^\circ)(1 + \text{tg} 25^\circ \cdot \text{tg} 15^\circ) $.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде: $ \frac{(\text{tg} 25^\circ - \text{tg} 15^\circ)(\text{tg} 25^\circ + \text{tg} 15^\circ)}{(1 - \text{tg} 25^\circ \cdot \text{tg} 15^\circ)(1 + \text{tg} 25^\circ \cdot \text{tg} 15^\circ)} $.
Сгруппируем множители так, чтобы получить известные тригонометрические формулы: $ \left( \frac{\text{tg} 25^\circ + \text{tg} 15^\circ}{1 - \text{tg} 25^\circ \cdot \text{tg} 15^\circ} \right) \cdot \left( \frac{\text{tg} 25^\circ - \text{tg} 15^\circ}{1 + \text{tg} 25^\circ \cdot \text{tg} 15^\circ} \right) $.
Первый множитель соответствует формуле тангенса суммы углов $ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta} $. $ \frac{\text{tg} 25^\circ + \text{tg} 15^\circ}{1 - \text{tg} 25^\circ \cdot \text{tg} 15^\circ} = \text{tg}(25^\circ + 15^\circ) = \text{tg} 40^\circ $.
Второй множитель соответствует формуле тангенса разности углов $ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta}{1 + \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta} $. $ \frac{\text{tg} 25^\circ - \text{tg} 15^\circ}{1 + \text{tg} 25^\circ \cdot \text{tg} 15^\circ} = \text{tg}(25^\circ - 15^\circ) = \text{tg} 10^\circ $.
Перемножив результаты, получаем итоговое упрощенное выражение: $ \text{tg} 40^\circ \cdot \text{tg} 10^\circ $.

Ответ: $ \text{tg} 40^\circ \cdot \text{tg} 10^\circ $.

2)

Выражение $ \frac{\text{tg}^2 1,8 - \text{tg}^2 1,2}{1 - \text{tg}^2 1,8 \cdot \text{tg}^2 1,2} $ имеет ту же структуру, что и в предыдущем задании. Углы 1,8 и 1,2 даны в радианах.
Используем тот же подход. Разложим числитель и знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $ \frac{(\text{tg} 1,8 - \text{tg} 1,2)(\text{tg} 1,8 + \text{tg} 1,2)}{(1 - \text{tg} 1,8 \cdot \text{tg} 1,2)(1 + \text{tg} 1,8 \cdot \text{tg} 1,2)} $.
Перегруппируем множители, чтобы применить формулы тангенса суммы и разности: $ \left( \frac{\text{tg} 1,8 + \text{tg} 1,2}{1 - \text{tg} 1,8 \cdot \text{tg} 1,2} \right) \cdot \left( \frac{\text{tg} 1,8 - \text{tg} 1,2}{1 + \text{tg} 1,8 \cdot \text{tg} 1,2} \right) $.
Применяем формулы:
Первый множитель: $ \text{tg}(1,8 + 1,2) = \text{tg} 3 $.
Второй множитель: $ \text{tg}(1,8 - 1,2) = \text{tg} 0,6 $.
Произведение этих двух выражений и будет упрощенным видом исходной дроби: $ \text{tg} 3 \cdot \text{tg} 0,6 $.

Ответ: $ \text{tg} 3 \cdot \text{tg} 0,6 $.