Номер 25.5, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.5. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\operatorname{tg} 20^{\circ}+\operatorname{tg} 25^{\circ}}{1-\operatorname{tg} 20^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 25^{\circ}}$;

2) $\frac{\operatorname{tg} 70^{\circ}-\operatorname{tg} 10^{\circ}}{1+\operatorname{tg} 70^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 10^{\circ}}$;

3) $\frac{\operatorname{tg} \frac{7 \pi}{24}-\operatorname{tg} \frac{\pi}{8}}{1+\operatorname{tg} \frac{7 \pi}{24} \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{8}}$;

4) $\frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{20}+\operatorname{tg} \frac{\pi}{5}}{1-\operatorname{tg} \frac{\pi}{20} \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{5}}$.

1) Данное выражение является формулой тангенса суммы двух углов: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$.
В нашем случае, $\alpha = 20^\circ$ и $\beta = 25^\circ$.
Применяя формулу, получаем:
$\frac{\text{tg}20^\circ + \text{tg}25^\circ}{1 - \text{tg}20^\circ \cdot \text{tg}25^\circ} = \text{tg}(20^\circ + 25^\circ) = \text{tg}(45^\circ)$.
Значение $\text{tg}(45^\circ)$ равно 1.
Ответ: 1.

2) Это выражение соответствует формуле тангенса разности двух углов: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$.
В данном случае, $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 10^\circ$.
Применяя формулу, получаем:
$\frac{\text{tg}70^\circ - \text{tg}10^\circ}{1 + \text{tg}70^\circ \cdot \text{tg}10^\circ} = \text{tg}(70^\circ - 10^\circ) = \text{tg}(60^\circ)$.
Значение $\text{tg}(60^\circ)$ равно $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

3) Данное выражение также является формулой тангенса разности: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$.
Здесь углы заданы в радианах: $\alpha = \frac{7\pi}{24}$ и $\beta = \frac{\pi}{8}$.
Найдем разность углов, приведя дроби к общему знаменателю 24:
$\alpha - \beta = \frac{7\pi}{24} - \frac{\pi}{8} = \frac{7\pi}{24} - \frac{3\pi}{24} = \frac{7\pi - 3\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, выражение равно $\text{tg}(\frac{\pi}{6})$.
Значение $\text{tg}(\frac{\pi}{6})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4) Это выражение соответствует формуле тангенса суммы: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$.
Углы заданы в радианах: $\alpha = \frac{\pi}{20}$ и $\beta = \frac{\pi}{5}$.
Найдем сумму углов, приведя дроби к общему знаменателю 20:
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{20} + \frac{4\pi}{20} = \frac{\pi + 4\pi}{20} = \frac{5\pi}{20} = \frac{\pi}{4}$.
Таким образом, исходное выражение равно $\text{tg}(\frac{\pi}{4})$.
Значение $\text{tg}(\frac{\pi}{4})$ равно 1.
Ответ: 1.