Номер 25.6, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.6. Упростите выражение:

1) $tg(\alpha + \beta) - tg\alpha \cdot tg\beta tg(\alpha + \beta)$;

2) $tg(\alpha + \beta) \cdot tg(\alpha - \beta) \cdot (1 - tg^2\alpha \cdot tg^2\beta)$.

1) Рассмотрим выражение $ \tg(\alpha + \beta) - \tg\alpha \cdot \tg\beta \cdot \tg(\alpha + \beta) $.

Первый шаг — вынести общий множитель $ \tg(\alpha + \beta) $ за скобки. Получим:

$ \tg(\alpha + \beta) \cdot (1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta) $

Далее воспользуемся тригонометрической формулой тангенса суммы двух углов:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

Подставим эту формулу в наше преобразованное выражение:

$ \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta} \cdot (1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta) $

Теперь можно сократить множитель $ (1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ 1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta \neq 0 $, что является условием существования $ \tg(\alpha + \beta) $). В результате получаем:

$ \tg\alpha + \tg\beta $

Ответ: $ \tg\alpha + \tg\beta $

2) Рассмотрим выражение $ \tg(\alpha + \beta) \cdot \tg(\alpha - \beta) \cdot (1 - \tg^2\alpha \cdot \tg^2\beta) $.

Применим формулы тангенса суммы и тангенса разности:

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

$ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \cdot \tg\beta} $

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$ \left( \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta} \right) \cdot \left( \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \cdot \tg\beta} \right) \cdot (1 - \tg^2\alpha \cdot \tg^2\beta) $

Перемножим две дроби. Для числителя и знаменателя воспользуемся формулой разности квадратов $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $.

Числитель: $ (\tg\alpha + \tg\beta)(\tg\alpha - \tg\beta) = \tg^2\alpha - \tg^2\beta $.

Знаменатель: $ (1 - \tg\alpha \cdot \tg\beta)(1 + \tg\alpha \cdot \tg\beta) = 1^2 - (\tg\alpha \cdot \tg\beta)^2 = 1 - \tg^2\alpha \cdot \tg^2\beta $.

После перемножения дробей выражение примет вид:

$ \frac{\tg^2\alpha - \tg^2\beta}{1 - \tg^2\alpha \cdot \tg^2\beta} \cdot (1 - \tg^2\alpha \cdot \tg^2\beta) $

Сократим дробь на множитель $ (1 - \tg^2\alpha \cdot \tg^2\beta) $. В итоге остается:

$ \tg^2\alpha - \tg^2\beta $

Ответ: $ \tg^2\alpha - \tg^2\beta $