Номер 25.10, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.10. Докажите тождество:

1) $\frac{tg\alpha + tg\beta}{tg\alpha - tg\beta} - \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} + \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin\alpha\sin\beta} = ctg\alpha + ctg\beta;$

2) $\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\sin\alpha\sin\beta} + \frac{\sin(\beta - x)}{\sin\beta\sin x} + \frac{\sin(x - \alpha)}{\sin x\sin\alpha} = 0.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую (ЛЧ) и правую (ПЧ) части.

Начнем с левой части:

ЛЧ = $ \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta} - \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} + \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin\alpha\sin\beta} $.

Упростим первое слагаемое, выразив тангенсы через синусы и косинусы: $ \operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} $.

Преобразуем числитель первой дроби:

$ \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} $.

Преобразуем знаменатель первой дроби:

$ \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} $.

Таким образом, первое слагаемое равно:

$ \frac{\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}} = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)} $.

Подставим полученное выражение обратно в левую часть:

ЛЧ = $ \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)} - \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)} + \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta} $.

Первые два слагаемых взаимно уничтожаются, и мы получаем:

ЛЧ = $ \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta} $.

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ): $ \operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}\beta $.

Выразим котангенсы через синусы и косинусы: $ \operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x} $.

ПЧ = $ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \frac{\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta} $.

Мы получили, что ЛЧ = ПЧ, так как оба выражения равны $ \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta} $. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть (ЛЧ).

ЛЧ = $ \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\sin\alpha\sin\beta} + \frac{\sin(\beta - x)}{\sin\beta\sin x} + \frac{\sin(x - \alpha)}{\sin x\sin\alpha} $.

Используем формулу синуса разности $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ и разделим каждую дробь на два слагаемых.

Первое слагаемое:

$ \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta} - \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \operatorname{ctg}\beta - \operatorname{ctg}\alpha $.

Второе слагаемое:

$ \frac{\sin(\beta - x)}{\sin\beta\sin x} = \frac{\sin\beta\cos x - \cos\beta\sin x}{\sin\beta\sin x} = \frac{\sin\beta\cos x}{\sin\beta\sin x} - \frac{\cos\beta\sin x}{\sin\beta\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \operatorname{ctg}x - \operatorname{ctg}\beta $.

Третье слагаемое:

$ \frac{\sin(x - \alpha)}{\sin x\sin\alpha} = \frac{\sin x\cos\alpha - \cos x\sin\alpha}{\sin x\sin\alpha} = \frac{\sin x\cos\alpha}{\sin x\sin\alpha} - \frac{\cos x\sin\alpha}{\sin x\sin\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos x}{\sin x} = \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}x $.

Теперь сложим полученные выражения:

ЛЧ = $ (\operatorname{ctg}\beta - \operatorname{ctg}\alpha) + (\operatorname{ctg}x - \operatorname{ctg}\beta) + (\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}x) $.

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

ЛЧ = $ (\operatorname{ctg}\beta - \operatorname{ctg}\beta) + (-\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha) + (\operatorname{ctg}x - \operatorname{ctg}x) = 0 + 0 + 0 = 0 $.

Левая часть равна 0, что соответствует правой части тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.