Номер 25.16, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.16. Значения синусов двух острых углов треугольника равны 0,6 и 0,8. Найдите косинус третьего угла этого треугольника.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По свойству углов треугольника их сумма составляет $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Из условия задачи нам известны синусы двух острых углов. Пусть это будут углы $\alpha$ и $\beta$: $\sin(\alpha) = 0,6$ и $\sin(\beta) = 0,8$.

Требуется найти косинус третьего угла, $\cos(\gamma)$. Выразим третий угол $\gamma$ через два других: $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Теперь найдем косинус угла $\gamma$, используя формулу приведения для косинуса: $\cos(\gamma) = \cos(180^\circ - (\alpha + \beta)) = -\cos(\alpha + \beta)$.

Чтобы найти $\cos(\alpha + \beta)$, применим формулу косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$.

Нам необходимо найти значения $\cos(\alpha)$ и $\cos(\beta)$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$. Отсюда $\cos(x) = \pm\sqrt{1 - \sin^2(x)}$. Поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ по условию острые (находятся в первой четверти), их косинусы положительны.

Вычислим $\cos(\alpha)$: $\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (0,6)^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$.

Вычислим $\cos(\beta)$: $\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)} = \sqrt{1 - (0,8)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$.

Теперь мы можем подставить все известные значения в формулу для $\cos(\alpha + \beta)$: $\cos(\alpha + \beta) = (0,8) \cdot (0,6) - (0,6) \cdot (0,8) = 0,48 - 0,48 = 0$.

Наконец, находим искомый косинус третьего угла $\gamma$: $\cos(\gamma) = -\cos(\alpha + \beta) = -0 = 0$.

Так как $\cos(\gamma) = 0$, это означает, что угол $\gamma = 90^\circ$, и данный треугольник является прямоугольным.

Ответ: $0$.