Номер 25.19, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.19. Докажите тождество:

1) $\sin(\alpha - \beta) + \sin(-\alpha)\cos(-\beta) = \cos\alpha\sin(-\beta);$

2) $\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = 2\cos\alpha\cos(-\beta);$

3) $\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta) = -2\sin(-\alpha)\cos(-\beta);$

4) $\sin(\beta - \alpha)\sin(\alpha + \beta) = \sin^2\beta - \sin^2\alpha.$

1) Для доказательства тождества $sin(a - \beta) + sin(-a)cos(-\beta) = cos(a)sin(-\beta)$ преобразуем обе его части, используя тригонометрические формулы.

Начнем с левой части (ЛЧ): $sin(a - \beta) + sin(-a)cos(-\beta)$.

Используем формулу синуса разности: $sin(a - \beta) = sin(a)cos(\beta) - cos(a)sin(\beta)$.

Также используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $sin(-a) = -sin(a)$ (синус — нечетная функция) и $cos(-\beta) = cos(\beta)$ (косинус — четная функция).

Подставим эти выражения в левую часть:

ЛЧ = $(sin(a)cos(\beta) - cos(a)sin(\beta)) + (-sin(a))cos(\beta)$

Упростим выражение:

ЛЧ = $sin(a)cos(\beta) - cos(a)sin(\beta) - sin(a)cos(\beta)$

Сократим подобные члены $sin(a)cos(\beta)$ и $-sin(a)cos(\beta)$:

ЛЧ = $-cos(a)sin(\beta)$

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ): $cos(a)sin(-\beta)$.

Используя свойство нечетности синуса $sin(-\beta) = -sin(\beta)$, получаем:

ПЧ = $cos(a)(-sin(\beta)) = -cos(a)sin(\beta)$

Сравнивая левую и правую части, видим, что ЛЧ = ПЧ, так как обе равны $-cos(a)sin(\beta)$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $cos(a - \beta) + cos(a + \beta) = 2cos(a)cos(-\beta)$ преобразуем левую и правую части.

Рассмотрим левую часть (ЛЧ): $cos(a - \beta) + cos(a + \beta)$.

Применим формулу косинуса разности: $cos(a - \beta) = cos(a)cos(\beta) + sin(a)sin(\beta)$.

Применим формулу косинуса суммы: $cos(a + \beta) = cos(a)cos(\beta) - sin(a)sin(\beta)$.

Подставим эти формулы в левую часть:

ЛЧ = $(cos(a)cos(\beta) + sin(a)sin(\beta)) + (cos(a)cos(\beta) - sin(a)sin(\beta))$

Сократим противоположные члены $sin(a)sin(\beta)$ и $-sin(a)sin(\beta)$:

ЛЧ = $cos(a)cos(\beta) + cos(a)cos(\beta) = 2cos(a)cos(\beta)$

Теперь рассмотрим правую часть (ПЧ): $2cos(a)cos(-\beta)$.

Используем свойство четности косинуса $cos(-\beta) = cos(\beta)$:

ПЧ = $2cos(a)cos(\beta)$

Сравнивая левую и правую части, получаем, что ЛЧ = ПЧ.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $sin(a - \beta) + sin(a + \beta) = -2sin(-a)cos(-\beta)$ преобразуем обе части.

Начнем с левой части (ЛЧ): $sin(a - \beta) + sin(a + \beta)$.

Используем формулу синуса разности: $sin(a - \beta) = sin(a)cos(\beta) - cos(a)sin(\beta)$.

Используем формулу синуса суммы: $sin(a + \beta) = sin(a)cos(\beta) + cos(a)sin(\beta)$.

Подставим эти выражения в левую часть:

ЛЧ = $(sin(a)cos(\beta) - cos(a)sin(\beta)) + (sin(a)cos(\beta) + cos(a)sin(\beta))$

Сократим противоположные члены $-cos(a)sin(\beta)$ и $cos(a)sin(\beta)$:

ЛЧ = $sin(a)cos(\beta) + sin(a)cos(\beta) = 2sin(a)cos(\beta)$

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ): $-2sin(-a)cos(-\beta)$.

Используем свойства нечетности синуса $sin(-a) = -sin(a)$ и четности косинуса $cos(-\beta) = cos(\beta)$:

ПЧ = $-2(-sin(a))(cos(\beta))$

Упростим выражение:

ПЧ = $2sin(a)cos(\beta)$

Сравнивая левую и правую части, видим, что ЛЧ = ПЧ.

Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $sin(\beta - a)sin(a + \beta) = sin^2\beta - sin^2a$ преобразуем левую часть.

Левая часть (ЛЧ) = $sin(\beta - a)sin(a + \beta)$.

Применим формулу синуса разности: $sin(\beta - a) = sin(\beta)cos(a) - cos(\beta)sin(a)$.

Применим формулу синуса суммы: $sin(a + \beta) = sin(a)cos(\beta) + cos(a)sin(\beta)$. Для удобства переставим слагаемые: $sin(a + \beta) = sin(\beta)cos(a) + cos(\beta)sin(a)$.

Теперь левая часть представляет собой произведение разности и суммы двух выражений, что равно разности их квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

ЛЧ = $(sin(\beta)cos(a) - cos(\beta)sin(a))(sin(\beta)cos(a) + cos(\beta)sin(a))$

ЛЧ = $(sin(\beta)cos(a))^2 - (cos(\beta)sin(a))^2$

ЛЧ = $sin^2\beta cos^2a - cos^2\beta sin^2a$

Чтобы привести выражение к виду правой части, используем основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$, откуда $cos^2x = 1 - sin^2x$.

Заменим $cos^2a$ на $1 - sin^2a$ и $cos^2\beta$ на $1 - sin^2\beta$:

ЛЧ = $sin^2\beta (1 - sin^2a) - (1 - sin^2\beta)sin^2a$

Раскроем скобки:

ЛЧ = $sin^2\beta - sin^2\beta sin^2a - (sin^2a - sin^2\beta sin^2a)$

ЛЧ = $sin^2\beta - sin^2\beta sin^2a - sin^2a + sin^2\beta sin^2a$

Сократим подобные члены $-sin^2\beta sin^2a$ и $sin^2\beta sin^2a$:

ЛЧ = $sin^2\beta - sin^2a$

Правая часть (ПЧ) = $sin^2\beta - sin^2a$.

Таким образом, ЛЧ = ПЧ.

Ответ: Тождество доказано.