Номер 26.2, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.2. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\cos^2 \frac{\pi}{8}}{1 - \sin^2 \frac{\pi}{8}}$;

2) $\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{12}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{12}} + 1$;

3) $2 - \frac{2 \operatorname{tg} 75^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 75^\circ}$;

4) $2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ$;

5) $4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ \cos 30^\circ$;

6) $\cos^2 15^\circ \cos^2 75^\circ$.

1) В данном выражении $\frac{\cos^2 \frac{\pi}{8}}{1 - \sin^2 \frac{\pi}{8}}$ мы можем использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.
Применим это тождество к знаменателю нашего выражения, где $\alpha = \frac{\pi}{8}$:
$1 - \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos^2 \frac{\pi}{8}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{\cos^2 \frac{\pi}{8}}{\cos^2 \frac{\pi}{8}} = 1$.
Ответ: $1$.

2) Выражение $\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{12}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{12}} + 1$ содержит дробь, которая соответствует формуле тангенса двойного угла: $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{12}$. Применим формулу:
$\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{12}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{12}} = \operatorname{tg}(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})$.
Значение тангенса угла $\frac{\pi}{6}$ (или $30^\circ$) равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Теперь подставим найденное значение обратно в исходное выражение:
$\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) + 1 = \frac{\sqrt{3}}{3} + 1$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3} + 1$.

3) В выражении $2 - \frac{2 \operatorname{tg} 75^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 75^\circ}$ дробь является формулой тангенса двойного угла $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}$, где $\alpha = 75^\circ$.
$\frac{2 \operatorname{tg} 75^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 75^\circ} = \operatorname{tg}(2 \cdot 75^\circ) = \operatorname{tg}(150^\circ)$.
Чтобы найти значение $\operatorname{tg}(150^\circ)$, используем формулу приведения: $\operatorname{tg}(180^\circ - \beta) = -\operatorname{tg}(\beta)$.
$\operatorname{tg}(150^\circ) = \operatorname{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\operatorname{tg}(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$2 - (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = 2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

4) Выражение $2\sin15^\circ\cos15^\circ$ соответствует формуле синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Здесь $\alpha = 15^\circ$.
$2\sin15^\circ\cos15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ)$.
Значение $\sin(30^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

5) Рассмотрим выражение $4\sin15^\circ\cos15^\circ\cos30^\circ$. Его можно преобразовать следующим образом:
$4\sin15^\circ\cos15^\circ\cos30^\circ = 2 \cdot (2\sin15^\circ\cos15^\circ) \cdot \cos30^\circ$.
Выражение в скобках является синусом двойного угла (как в предыдущем пункте): $2\sin15^\circ\cos15^\circ = \sin(30^\circ)$.
Подставим это в наше выражение:
$2 \cdot \sin(30^\circ) \cdot \cos(30^\circ)$.
Это снова формула синуса двойного угла, но теперь для угла $30^\circ$:
$2\sin30^\circ\cos30^\circ = \sin(2 \cdot 30^\circ) = \sin(60^\circ)$.
Значение $\sin(60^\circ)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6) Для того чтобы найти значение выражения $\cos^2 15^\circ \cos^2 75^\circ$, воспользуемся формулой приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.
$\cos 75^\circ = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ$.
Следовательно, $\cos^2 75^\circ = \sin^2 15^\circ$.
Подставим это в исходное выражение:
$\cos^2 15^\circ \cos^2 75^\circ = \cos^2 15^\circ \sin^2 15^\circ = (\cos 15^\circ \sin 15^\circ)^2$.
Из формулы синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ выразим произведение $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$.
Для $\alpha=15^\circ$ получаем: $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{\sin(2 \cdot 15^\circ)}{2} = \frac{\sin(30^\circ)}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.
Теперь возведем результат в квадрат:
$(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.